1、 数学活动 利用双曲线探索数量关系 一、导学 1.活动导入 问题 1：矩形的面积一定时，矩形的长和宽成什么关系？ 问题 2：如果把矩形的一个顶点固定，拖动这个固定顶点的对角顶点，拖动 时必须保证矩形的面积不变，猜猜看，这个对角顶点的运动轨迹会是什么图象 呢？ 2.活动目标 （1）通过活动感受面积为定值的矩形的长与宽与反比例函数的关系. （2）通过活动建立反比例函数模型，解释杠杆平衡原理. 3.活动重、难点 重点：两个活动. 难点：第二个活动. 二、活动过程 活动 1 探索矩形顶点的运动轨迹 1.活动指导 （1）活动内容：教材 P19 活动 1：探索矩形顶点的运动轨迹. （2）活动时间：10 分
2、钟. （3）活动方法：完成活动参考提纲. （4）活动参考提纲： 下表是 10 个面积相等的矩形的长与宽，请补齐表格. 设A 为这 10 个矩形的公共角，在下面的坐标系中画出这 10 个矩形(假 设每个小正方形的边长都是 1 cm，矩形的长对应横坐标，宽对应纵坐标)，然后 取A 的 10 个对角的顶点，并把这 10 个点用平滑的曲线连接起来. 这条曲线是 反比例函数图象的一支吗？为什么？(是，它是双曲线的一支.) 如图，过 y= k x 的图象上任意一点 P 作两坐标轴的垂线段,则图中矩形的面 积 S 是定值吗？是多少？（是，k） 第题图 第题图 如图，过 y= k x 的图象上任意一点 P 作
3、某一坐标轴的垂线段，则图中三角 形的面积为 2 k S . 2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习. 3.助学 （1）师助生： 明了学情：了解学生是否会画图. 差异指导：把全班学生分成 4 个组，依次以图中网格的四个角处的格点为 A 的顶点，分别画图. （2）生助生：小组内互相交流. 4.强化 （1）把面积为定值的矩形的一个顶点固定，拖动这个固定顶点的对角顶点， 这个对角顶点的运动轨迹是反比例函数图象的一支. （2）反比例函数的 k 的几何意义. 活动 2 探索力与力到支点距离的关系 1.活动指导 （1）活动内容：教材 P19 活动 2：探索力与力到支点距离的关系. （2）活动时间：10 分
4、钟. （3）活动方法：完成活动参考提纲. （4）活动参考提纲： 如图，取一根长 100 cm 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点 O 并将其吊 起来.在中点 O 的左侧距离中点 O 25 cm 处挂一个重 9.8 N 的物体，在中点 O 右 侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态.改变弹簧测力计与中点 O 的 距离 L（单位：cm） ，看弹簧测力计的示数 F（单位：N）有什么变化，并填写 下表： 以 L 的数值为横坐标，以 F 的数值为纵坐标建立直角坐标系，在坐标系 内描出以上表中的数对为坐标的各点，用平滑曲线连接这些点； 这条曲线是反比例函数图象的一支吗？为什么？点（50，4.9）在这条
5、曲 线上吗？ 是，因为它是双曲线的一支，点（50,4.9）在这条曲线上. 2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习. 3.助学 （1）师助生： 明了学情：看学生是否能顺利完成实验，关注学生处理实验误差的能力. 差异指导： 学生 4 人一组分组实验收集数据， 然后各自完成后续活动任务. （2）生助生：小组内互相交流. 4.强化：弹簧秤的示数 F 与它到点 O 的距离 L 成反比. 三、评价 1.学生学习的自我评价：这节课你有什么收获？有哪些不足？ 2.教师对学生的评价： （1）表现性评价：从学生回答问题，动手操作能力等方面进行评价. （2）纸笔评价：课堂评价检测. 3.教师的自我评价（教学反思）
6、. 本节课通过数学活动，利用双曲线来探索数量关系.在探索矩形顶点的运动 轨迹这一活动中，我们通过描点、作图、算面积来感受面积为定值的矩形的长与 宽与反比例函数的关系.在探索力与力到支点距离的关系活动中，我们通过建立 反比例函数模型来解释杠杆平衡原理. 整个活动过程应充分发挥学生的主动性， 对活动过程中存在问题的学生及时 给予帮助，增强与学生的互动与交流. 一、基础巩固（60 分） 1.(10 分)如图是反比例函数 y= k x 在第二象限内的图象， 若图中的矩形 OABC 的面积为 2，则 k=-2. 第 1 题图 第 2 题图 2.（10 分）如图，若点 A 在反比例函数 y= k x (k
7、0)的图象上，AMx 轴于 点 M，AMO 的面积为 3，则 k=-6. 3.（20 分）如图：李老师家有个边长为 4 米的正方形院子 AOBC，他想在院 子里修建一个矩形水池 DOEF，水池一面 DO 靠墙 AO，另一面 OE 靠墙 OB，设 OD=x（米） ，OE=y（米）. （1）若矩形水池的面积为 2 平方米，则 y 与 x 的函数关系式为： 2 y x ， 在图中画出能建水池的 F 点的位置,并用 l1标记； （2）若周长为 6 米（包含两边靠墙的地方） ，则 y 与 x 的关系式为 y=-x+3， 在图中画出满足条件的水池一角 F 的所有位置,并用 l2 标记； （3）有没有同时满
8、足条件（1） （2）的水池?若有请帮忙找出这一点，并在 图中画出来；若没有，请说明理由. 解：存在两点 M(1,2)和 N(2，1)同时满足条件（1） （2）. 4.（20 分）如图 1，张老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自 制类似天平的仪器的左边固定托盘 A 中放置一个重物，在右边的活动托盘 B(可 左右移动)中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘 B 与点 O 的距离 x(cm)，观察活动托盘 B 中砝码的质量 y(g)的变化情况实验数据记录如 下表： （1）把上表中（x，y）的各组对应值作为点的坐标，描在如图 2 所示的坐 标系中，并用平滑的曲线将这些点连接起来
9、； （2）观察所画的图象，猜测 y 与 x 之间的函数关系； （3）当砝码的质量为 50 g 时，活动托盘 B 与点 O 的距离是多少？ （4）当活动托盘 B 往右移动时，应往活动托盘 B 中添加还是减少砝码？ 解： （1）如图； （2） 300 y x ;(3)当 y=50 g 时，由 300 y x 得 x= 300 50 =6(cm); (4)减少砝码. 二、综合应用（20 分） 5.（20 分）如图 1，小华设计了一个探索杠杆平衡条件的实验：在一根匀质 的木杆中点 O 左侧固定位置 B 处悬挂重物 A，在中点 O 的右侧用一个弹簧测力 计向下拉木杆，改变弹簧测力计与点 O 的距离 x（
10、单位：cm） ，观察弹簧测力计 的示数 y（单位：N）的变化情况，实验数据记录如下： （1） 把上表中（x，y）的各组对应值作为点的坐标，在图 2 所示的坐标 系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象， 猜测 y 与 x 之间的函数关系，并求出函数关系式； （2） 当弹簧测力计的示数为24N时， 弹簧测力计与点O的距离是多少厘米？ 随着弹簧测力计与O点的距离不断减小， 弹簧测力计的示数将发生怎样的变化？ 解： （1）y 与 x 成反比例函数关系，y=300 x. (2)当 y=24N 时，由 y= 300 x 得 x= 300 24 =12.5（cm） ，弹簧测力计的示数不断 变
11、大. 三、拓展延伸（20 分） 6.（20 分）2010 年世博会期间，上海黄浦江上出现一艘白色的豪华游船在 水中徜徉，高高扬起的风帆由太阳能电池板拼装而成，天气晴好之时，航行所用 的动力可完全使用太阳能.图 1 是游船的某一部件的设计图纸 （其中A，B， C 是直角，DE 是双曲线的一部分，AE 的长为 30 cm，AB 的长为 40 cm，BC 的长为 60 cm） （1）请你求出 DC 的长； （2）如图 2 所示，有一块矩形材料 ABCD，其中 AB=40 cm、AD=60 cm， 在距 AD 边 15 cm、距 CD 边 10 cm 处有一小孔，请你判断此材料是否可用，请 说明理由. 解： （1） 以点 B 为坐标原点建立直角坐标系， 如图所示， 则 E 点坐标为 （30， 40） ，曲线 DE 的关系式为 1200 y x ,D 点的横坐标为 60， 1200 20 60 y , DC 的长为 20 cm； (2)可用，小孔坐标为（50,25） ，所处位置在图 1 图形 ABCDE 之外.
