1、20.2.20.2.2 2 方方差差（1 1） 【课题】：20.2.20.2.2 2 方方差差（1 1） 【设计与执教者】： 【教学时间】 ：40 分钟 【学情分析】 ： （适用于特色班）学生在前面已经学过了刻画数据离散程度的量极差，在此基 础上在介绍方差和标准差，让学生更清晰如何正确地去刻画数据的离散程度 【教学目标】 ： 1、理解方差的定义，并会利用公式求出一组数据的方差 2、会用方差来比较两组数据的波动大小 【教学重点】 ：方差概念产生的过程及运用方差解决实际问题 【教学难点】 ：方差概念的理解 【教学突破点】 ：首先使学生知道为什么要学习方差和方差公式，然后了解学习方差的必要性 每个数
2、据与平均值的差完全平方后便可以反映出每个数据的波动大小，整体的波动大小可以通过对 每个数据的波动大小求平均值得到。所以方差公式是能够反映一组数据的波动大小的一个统计量， 【教法、学法设计】 ：合作交流、讲授、练习相结合。 【课前准备】 ：课件 【教学过程设计】 ： 教学 环节 教学活动 设计意图 一、一、创创 设问设问 题情题情 境，引境，引 出新出新 课课 问题： 小明和小兵两人参 加体育项目训练， 近期的 5 次测试 成绩如表所示， 谁 的成绩较为稳定? 为什么? (1)计算出两人的平均成绩。 (2)画出两人测试成绩的折线图 (3)观察发现什么? 归纳：归纳： 为了刻画一组数据的波动大小，
3、可以采用很多方法。统计中常采用下面的做 法： 设有 n 个数据 n xxx, 21 ，各数据与它们的平均数的差的平方分别是 22 2 2 1 )( ,)( ,)(xxxxxx n ，我们用他们的平均数，即用 )()()( 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n s n 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差方差，记作 S2 通常，如果一组数据与其平均值的离散程度（即数据在平均数附近的波 动）较小，我们就说它比较稳定。即： 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。 练习：练习： 1、 求数据 98、99、100、10
4、1、102 的方差； 2、 求一组数据：2，-2，0，4 的方差 测试次数 1 2 3 4 5 小明 13 14 13 12 12 小兵 10 13 16 14 15 通 过 创 设 问 题 情 境 激 发 学 生 的求知欲 通 过 学 生 动手画图， 观 察 体 会 数 据 的 波 动情况， 并 在 合 作 交 流 中 得 出 规律 二二、例例 题讲题讲 解解 例 1：在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧天鹅湖 ， 参加表演的女演员的身高（单位：cm）分别是 甲团：163 164 164 165 165 166 166 167 乙团：163 165 165 166 166 16
5、7 168 168 哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？ 我们也可以使用计算器的统计功能求方差。 通 过 实 际 问 题 的解决， 让 学 生 体 会 方 差 的 意 义 三三、巩巩 固固应应 用用 1、某工厂为了选拔 1 名车工参加加工直径为 10mm 的精密零件的技术比赛， 随机抽取甲、乙两名车工加工的 5 个零件，现测得的结果如下表，请你 用计算器比较S 2 甲、S 2 乙的大小 AS 2 甲S 2 乙 BS 2 甲S 2 乙 CS 2 甲S 2 乙 DS 2 甲S 2 乙 2、甲、乙两名同学在相同条件下各射击 5 次，命中的环数如下表：那么下列 结论正确的是( ) A甲的平均数是 7，方差
6、是 1.2 C甲的平均数是 8，方差是 1.2 B乙的平均数是 7，方差是 1.2 D乙的平均数是 8，方差是 0.8 3、甲、乙两台包装机同时包装重量为 200g 的糖果，从中抽出 10 袋，测得其 实际质量分别如下（单位：g） 甲：203，204，202，196，199，201，205，197，202，199 乙：201，200，208，206，210，209，200，193，194，194 （1） 分别计算两组数据的极差、平均数、方差 （2） 从计算结果看，哪台包装机包装的 10 袋糖果的平均质量更接近于 200g，哪台包装机包装的 10 袋糖果的质量比较稳定。 甲 10.05 10.0
7、2 9.97 9.96 10 乙 10 10.01 10.02 9.97 10 甲 8 5 7 8 7 乙 7 8 6 8 6 通 过 巩固训练， 让 学 生 更 好 地 掌 握 方 差 的 计 算 方 法 和 根 据 方 差 衡 量 数 据 波 动 大 小 的规律 四、拓四、拓 展提展提 高高 例 2：在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶.图 1 是其 中的甲、乙段台阶路的示意图.请你用所学过的有关统计知识（平均数、中 位数、方差和极差）回答下列问题： （1）两段台阶路有哪些相同点和不同点？ （2）哪段台阶路走起来更舒服？为什么？ （3）为方便游客行走，需要重新整修上山的 小路
8、.对于这两段台阶路，在台阶数不变的情 况下，请你提出合理的整修建议. 图 1 通 过 拓 展 训练， 让学 生 深 刻 感 受 平均 数、中位 数、方差 和极差的 意义 图 1 中的数字表示每一级 台阶的高度(单位:cm).并且数 15,16,16,14,14,15的 方 差 2 2 3 S 甲 , 数 据11,15,18, 17,10,19 的方差 2 35 . 3 S 乙 解析：解析： 本题是一道和平均数、中位数、方差和极差有关的综合型说理问题. 可以通过比较平均数、中位数、方差和极差等来说理. （1）因为15)151414161615( 6 1 甲 x 15)191017181511(
9、6 1 乙 x. 所以相同点：两段台阶路高度的平均数相同. 不同点：两段台阶路高度的中位数、方差和极差均不相同. （2）甲路段走起来更舒服一些，因为它的台阶高度的方差小. （3）每个台阶高度均为 15cm（原平均数） ，使得方差为 0. 标准差是方差的算术平方根， 它也是用来衡量一组数据的波动大小的重要标准差是方差的算术平方根， 它也是用来衡量一组数据的波动大小的重要 的量适当地选用极差、方差、标准差，我们就可以较的量适当地选用极差、方差、标准差，我们就可以较为方便地刻画一组数据的为方便地刻画一组数据的 波动情况和离散程度了。波动情况和离散程度了。 已知三组数据 1、2、3、4、5；11、12
10、、13、14、15 和 3、6、9、12、15 1、求这三组数据的平均数、方差和标准差。 平均数 方差 标准差 1、2、3、4、5 11、12、13、14、15 3、6、9、12、15 2、对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结论？ 例 3：某校团委为响应市教委倡导的“与奥运同行”的号召，举办了英语口语 竞赛，八年级（1）班和（2）班参赛选手的成绩如下（单位：分） 八（1）班：90，84，81，76，87，86，86 八（2）班：89，94，82，76，80，85，84 （1） 分别求出两个班参赛选手成绩的平均分和标准差（精确到 0.01） ； （2） 请判断哪个班的参赛选手的成绩比较稳定 分
11、析：本题主要考察平均数、标准差的概念及其求法，关键在于正确选择适 当的计算公式可使计算简便；要判断哪班参赛选手的成绩比较稳定， 只需通过比较它们的标准差即可解决。 答案： （1）八（1）班：平均数是 84.29 标准差是 4.15 八（2）班：平均数是 84.29 标准差是 5.40 （2）八（1）班参赛选手的成绩比较稳定 S = (x1-x)2+(x2-x)2+ +(xn-x)2 n 1 S = (x1-x)2+(x2-x)2+ +(xn-x)2 n 1 n 1 四、概四、概 括梳括梳 理，布理，布 置作置作 业业 小结： 1、 一组数据中每个数据与平均数差的平方的平均数，叫做这组数据的方差
12、. 2、 方差反映一组数据的波动大小，方差越大，数据的波动越大，方差越小数 据的波动越小. 3、 方差的公式： )()()( 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n s n 即： “先平均，再求差，然后平方，最后再平均” 课后作业课后作业。 1、求数据 98、99、100、101、102 的方差 2、甲、乙、丙三台机床生产直径为 60mm 的螺丝，为了检验产品质量，从三 台机床生产的螺丝中各抽查了 20 个测量其直径，进行数据处理后，发现这三 组数据的平均数都是 60mm，它们的方差依次为 S 2 甲=0.162，S 2 乙=0.058，S 2 丙 =0.149.根据以上提供的信息，你认为
13、生产螺丝质量最好的是_ _机 床. 通 过 回 顾 与反思， 让 学 生 熟 练 掌 握 求 方 差的方法， 并 能 合 理 地 选 用 统 计量来解 决 实 际 问 题 3、在一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下表，通过计算可知两组的 方差为，。下列说法：两组的平均数相同；甲组学 生成绩比乙组学生成绩稳定；甲组成绩的众数乙组成绩的众数；两组 成绩的中位数均为 80，但成绩80 的人数甲组比乙组多，从中位数来看，甲 组成绩总体比乙组好；成绩高于或等于 90 分的人数乙组比甲组多，高分段 乙组成绩比甲组好。其中正确的共有（ ）. 分数 50 60 70 80 90 100 人数 甲组 2 5
14、 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 A. 2 种 B. 3 种 C. 4 种 D. 5 种 4、在统计中，样本的标准差可以反映这组数据的（ ） A.平均状态 B.分布规律 C.离散程度 D.数值大小 5、市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的 甲、乙两名运动员进行了 8 次选拔比赛。他们的成绩（单位：m）如下： 甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67 乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75 (1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？ (2)哪位运动员的
15、成绩更为稳定？ (3)若预测，跳过 1.65m 就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位 运动员参赛？若预测跳过 1.70m 才能得冠军呢？ 6、为了从甲、乙两名学生中选择一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他 们的电脑知识进行了 10 次测验，成绩如下：(单位：分) (1)请完成下表： (2)利用以上信息，请从三个不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行分析 7、张老师为了从平时在班级里数学比较优秀的王军、张成两位同学中选拔一 人参加“全国初中数学联赛”，对两位同学进行了辅导，并在辅导期间进行 了 10 次测验，两位同学测验成绩记录如下表： 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次
16、第 5 次 第 6 次 第 7 次 第 8 次 第 9 次 第 10 次 王军 68 80 78 79 81 77 78 84 83 92 张成 86 80 75 83 85 77 79 80 80 75 利用表中提供的数据，解答下列问题： 甲成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84 乙成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78 平均数 中位数 众数 方差 85 分以上的频率 甲 84 84 144 03 乙 84 84 34 项 目 学 生 次 数 成 绩 姓 名 （1）填写完成下表： （2）张老师从测验成绩记录表中，求得王军 10 次测验成绩的
17、方差 2 S王=33.2， 请你帮助张老师计算张成 10 次测验成绩的方差 2 S张； （3）请你根据上面的信息，运用所学的统计知识，帮助张老师做出选择，并 简要说明理由。 8、为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A、B 两位同学在学校实习 基地现场进行加工直径为 20mm 的零件的测试， 他俩各加工的 10 个零件的相 关数据依次如下图表所示（单位：mm） 根据测试得到的有关数据，试解答下列问题： 考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为 的成绩好些； 计算出 SB2的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些； 考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过 10 个的实际情况，你 认为派谁
18、去参赛较合适？说明你 的理由。 平均成绩 中位数 众数 王军 80 79.5 张成 80 80 平均数 方差 完全符合 要求个数 A 20 0.026 2 B 20 SB2 答案：1、2 2、乙 3、D 4、C 5、【解】【解】（1）1.691.68xx 乙甲 （2） 2 0.0006s 甲 2 0.0035s 乙 22 ss 乙甲 故甲稳定 （3）可能选甲参加，因为甲 8 次成绩都跳过 1.65m 而乙有 3 次低于 1.65m 可能选乙参 加，因为甲仅 3 次超过 1.70m，当然学生可以有不同看法只要有道理 6、 【解】【解】 （1） 平均数 中位数 众数 方差 85 分以上的频率 甲
19、84 8484 84 14.4 0.3 乙 84 84 9090 34 0 0. .5 5 (2)甲成绩的众数是 84，乙成绩的众数是 90，从两人成绩的众数看，乙的成绩较好. 甲成绩的方差是 14.4，乙成绩的方差是 34，从成绩的方差看，甲的成绩相对稳定 甲成绩、乙成绩的中位数、平均数都是 84，但从 85 分以上的频率看，乙的成绩较好 项 目 学 生 A B 一 20.1 19.8 五 六 八 十 三 20.3 20.0 19.9 19.7 四 七 九 二 20.2 零件直径：mm 件数 7、【解】【解】（1） （2） 2 S张13 （3）略。 8、 【解】【解】B 2222 2 202 .20201 .20209 .19320205 10 1 B S 0.008 且026. 0 2 A S， 22 BA SS 在平均数相同的情况下，B 的波动性小，B 的成绩好些 从图中折线走势可知，尽管 A 的成绩前面起伏较大，但后来逐渐稳定，误差小，预测 A 的 潜力大，可选派 A 去参赛 平均成绩 中位数 众数 王军 80 79.5 78 张成 80 80 80
