1、第 1页（共 20页） 2021 年广西燕博园高考数学综合能力测试试卷年广西燕博园高考数学综合能力测试试卷（文科文科） （3 月份月份） （CAT） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |230AxZ xx， |24 x Bx，则(AB ) A( 1,2)B(2,3)C0，1D0，1，2 2 （5 分）下列函数中既是奇函数又在区间(0,)上单调递增的是() A 2 yxB|yx xC 1 yx x
2、Dsin 2 x yx 3 （5 分）已知实数x，y满足约束条件 2 1 22 x xy xy ，则3zyx的最大值为() A6B3C1D2 4 （5 分）若圆锥轴截面的面积为3 3，母线与底面所成的角为60，则该圆锥的体积为( ) A3B4C5D6 5 （5 分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃 圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱为调查居民生活垃圾的分类投放情况，现 随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾， 经分拣以后统计数据如表 （单位：) t 根 据样本估计本市生活垃圾的分类投放情况，则下列说法正确的是() “厨余垃圾”箱“可回收垃
3、圾”箱“其他垃圾”箱 厨余垃圾400100100 可回收垃圾3024030 其他垃圾202060 A厨余垃圾投放错误的概率为 2 3 B居民生活垃圾投放正确的概率为 3 10 C该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是其他垃圾 D厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收垃圾”箱、 “其他垃圾”箱的投放量的方差为 第 2页（共 20页） 20000 6 （5 分）已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是() A若/ /m，/ /n，则/ /mnB若m，n，则mn C若m，mn，则/ /nD若/ /m，mn，则n 7 （5 分）已知点(1,0)A，(3,0)B，若直线10kxy 上存在点P，
4、满足0PA PB ，则k 的取值范围是() A 4 ,0 3 B 4 0, 3 C 4 4 , 3 3 D(，0 8（5 分） 电表度数的 “度” 用字母 “KWH” 表示， 比如用电 88 度， 就可用字母88KWH 表示电动车的“用电效率”是指电动车每消耗1KWH所行驶的里程，如图描述了甲、 乙、丙三辆汽车在不同速度下的“用电效率”情况下列叙述中正确的是() A消耗1KWH电，乙车最多可行驶 5 千米 B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗的电量最多 C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗10KWH电 D某城市机动车最高限速 80 千米/小时相同条件下，在该市用丙车比用
5、乙车更省电 9 （ 5 分 ） 已 知 焦 点 为 1 F， 2 F的 双 曲 线 上 一 点P满 足 2112 2PF FPF F ， 1212 sin2sinF PFPF F，则双曲线的离心率为() A2B3C21D31 10 （5 分）每次从0 9这 10 个数字中随机取一个数字（取后放回） ，连续取n次，依次得 到n个数字组成的数字序列 若使该序列中的数字 0 至少出现一次的概率不小于 0.9， 则n的 第 3页（共 20页） 最小值是()（参考数据90.954)lg A23B22C21D20 11 （5 分）若( )f x的图象上两点关于原点对称，则称这两点是一对对偶点，若 3 23
6、 ,0 ( ) ,0 xa x f x xx x 的图象上存在两对对偶点，则实数a的取值范围是() A 2 (,0) 3 B(0,)C 1 ,1) 3 D( 2,0) 12 （5 分）已知函数( )sin()(f xAxA，均为正常数） ，相邻两个零点的差为 2 ， 对任意x，( )() 6 f xf 恒成立，则下列结论正确的是() Af（2）f（1）( 2)fBf（2）( 2)ff（1） C( 2)ff（1）f（2）Df（1）f（2）( 2)f 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13 （5 分）若复数2(1)zzi，其中
7、i为虚数单位，则复数z的模为 14 （5 分）已知 2 25 xy M，且 11 2 xy ，则M的值为 15 （5 分）已知数列 n a的前n项和为 n S且 1 1a ， n lgS是公差为3lg的等差数列，则 242n aaa 16 （5 分）设点Q是椭圆 22 1 369 xy 上异于长轴端点的任意一点， 1 F、 2 F为两焦点，动点 P满足 12 0PFPFPQ ，则动点P的轨迹方程为 三三、解答题解答题：共共 70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤第第 17-21 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第每个试题考生都必须作
8、答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：（一）必考题：共共 60 分分 17 （ 12 分 ）在ABC中 ，内 角A，B，C所 对的 边分 别是a，b，c， 已知 2 3,2sincoscAaC （1）求角C的大小； （2）求AB边上高的取值范围 18 （12 分）如图，在直角梯形AEFB中，AEEF，/ /AEBF，且24BFEFAE， 直角梯形 11 D EFC；可以通过直角梯形AEFB以直线EF为轴旋转得到 （1）求证：平面 11 C D EF 平面 1 BC F； 第 4页（共 20页） （2）若二面角 1 CEFB的大小为 3 ，求
9、三棱锥 1 AEFD的体积 19 （12 分）已知袋中装有大小、形状都相同的小球共 5 个，其中 3 个红球，2 个白球 （1）若从袋中任意摸出 4 个球，求恰有 2 个红球的概率； （2）若每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球即停止摸球，这样的摸球最多 四次， 1 表示停止时的摸球次数；又若每次随机地摸出一个球，记下颜色后不放回，摸到 白球即停止摸球， 2 表示停止时的摸球次数求 1 3且 2 3的概率 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左顶点为点A，左、右焦点分别为 1 F， 2 F， 1 |AF， 1 |OF， 2 |AF成等比数列 （1
10、）求椭圆C的离心率； （2）若点A为(2,0)，经过焦点 1 F， 2 F的圆M与y轴交于P，Q两点，直线AP，AQ 分别交椭圆于D，E两点，求证：四边形 12 EF DF是平行四边形 21 （12 分）已知 3 ( )(1)f xxaxlnx （1）若函数( )f x有三个不同的零点，求实数a的取值范围； （2）在（1）的前提下，设三个零点分别为 1 x， 2 x， 3 x且 123 xxx，当 13 2xx时，求 实数a的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计
11、分第一题计分作答时作答时，用用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑选修选修 4-4：坐标坐标 系与参数方程系与参数方程 22 （10 分）已知直线:( xt lt yat 为参数，0)a ，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为8cos6sin，圆C与极轴和直线l分别交于 点A，点B（异于坐标原点） （1）写出点A的极坐标及圆C的参数方程； 第 5页（共 20页） （2）求OC AB 的最大值 二、二、选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1|24|f xxx，( )3f xM 的解集为
12、 | 42xx （1）求M； （2）若正实数a，b，c满足abcM，求证： 222222 12 abbcca cab 第 6页（共 20页） 2021 年广西燕博园高考数学综合能力测试试卷年广西燕博园高考数学综合能力测试试卷（文科文科） （3 月份月份） （CAT） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |230AxZ xx， |24 x Bx，则(AB ) A(
13、 1,2)B(2,3)C0，1D0，1，2 【解答】解：因为集合 2 |230|(3)(1)0| 130AxZ xxxZxxxZx ，1，2， 又 2 |24 |22 |2 xx Bxxx x， 由集合交集的定义可知，0AB ，1 故选：C 2 （5 分）下列函数中既是奇函数又在区间(0,)上单调递增的是() A 2 yxB|yx xC 1 yx x Dsin 2 x yx 【解答】解：对于A， 2 yx为偶函数，不符合题意； 对于B， 2 2 ,0 | ,0 xx yx x xx 为奇函数，且在区间(0,)上单调递增，符合题意； 对于C， 1 yx x 为奇函数，在(0,1)上单调递减，在(
14、1,)上单调递增，不符合题意； 对于D，sin 2 x yx为奇函数， 1 cos 2 yx ，当(0,) 3 x 时， 1 cos0 2 yx ，函数 sin 2 x yx在(0,) 3 上单调递减，不符合题意 故选：B 3 （5 分）已知实数x，y满足约束条件 2 1 22 x xy xy ，则3zyx的最大值为() A6B3C1D2 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 第 7页（共 20页） 由图可知，(0,1)A， 由3zyx，得3yxz，由图可知，当直线3yxz过(0,1)A时， 直线在y轴上的截距最大，z有最大值为 1 故选：C 4 （5 分）若圆锥轴截面的面积为3 3，母线与
15、底面所成的角为60，则该圆锥的体积为( ) A3B4C5D6 【解答】解：圆锥轴截面面积为3 3，母线与底面所成角为60， 则圆锥的轴截面是正三角形，设底面半径为r， 则有 2 3 (2 )3 3 4 r，解得3r ，则圆锥的高为3 tan30 r ， 所以圆锥的体积为 2 1 33 3 r 故选：A 5 （5 分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃 圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱为调查居民生活垃圾的分类投放情况，现 随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾， 经分拣以后统计数据如表 （单位：) t 根 据样本估计本市生活垃圾的分类投放情
16、况，则下列说法正确的是() “厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“其他垃圾”箱 厨余垃圾400100100 可回收垃圾3024030 其他垃圾202060 A厨余垃圾投放错误的概率为 2 3 第 8页（共 20页） B居民生活垃圾投放正确的概率为 3 10 C该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是其他垃圾 D厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收垃圾”箱、 “其他垃圾”箱的投放量的方差为 20000 【解答】解：对于A，厨余垃圾投放错误的概率为 1001001 4001001003 ，所以A错误； 对于B，居民生活垃圾投放正确的概率为 400240607 100010 ，所以B错误； 对于C，厨余垃圾投
17、放正确的概率为 2 3 ，可回收垃圾投放正确的概率为 2404 30240305 ， 其他垃圾投放正确的概率为 603 2020605 ， 所以该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾，C错误； 对于D，计算平均数为 1 (400100100)200 3 ， 方差为 222 1 (400200)(100200)(100200) 20000 3 ， 所以厨余垃圾在 “厨余垃圾” 箱、 “可回收垃圾” 箱、 “其他垃圾” 箱的投放量的方差为 20000， D正确 故选：D 6 （5 分）已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是() A若/ /m，/ /n，则/ /mnB若m，n
18、，则mn C若m，mn，则/ /nD若/ /m，mn，则n 【解答】解：A若/ /m，/ /n，则m，n相交或平行或异面，故A错； B若m，n，则mn，故B正确； C若m，mn，则/ /n或n，故C错； D若/ /m，mn，则/ /n或n或n，故D错 故选：B 7 （5 分）已知点(1,0)A，(3,0)B，若直线10kxy 上存在点P，满足0PA PB ，则k 的取值范围是() A 4 ,0 3 B 4 0, 3 C 4 4 , 3 3 D(，0 【解答】解：因为点P在直线10kxy 上，设( ,1)P x kx ， 第 9页（共 20页） 则(1,1),(3,1)PAxkxPBxkx ，
19、所以 222 (1)(3)(1)(1)(24)40PA PBxxkxkxkx ， 因为方程有解， 所以 22 (24)44(1) 0kk，解得 4 0 3 k 故选：A 8（5 分） 电表度数的 “度” 用字母 “KWH” 表示， 比如用电 88 度， 就可用字母88KWH 表示电动车的“用电效率”是指电动车每消耗1KWH所行驶的里程，如图描述了甲、 乙、丙三辆汽车在不同速度下的“用电效率”情况下列叙述中正确的是() A消耗1KWH电，乙车最多可行驶 5 千米 B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗的电量最多 C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗10KWH电 D某城市机动
20、车最高限速 80 千米/小时相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省电 【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40/km时，乙车耗电量大于5/km KWH， 所以当速度大于40/km KWH时，消耗1KWH，乙车的行驶距离大于5km，故选项A错 误； 对于B，由图象可知，当速度相同时，甲车的耗电量最高，即速度相同时，消耗1KWH， 甲车的行驶路程最远， 所以以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗的电量最少，故选项B错误； 对于C，由图象可知，当速度为80/km KWH时，甲车的耗电效率为10/km KWH，即 第 10页（共 20页） 甲车行驶10km时，耗电量1KWH， 故行驶 1 小时，
21、路程为80km，耗电量为8KWH，故选项C错误； 对于D， 由图象可知， 当速度小于80/km KWH时， 丙车的耗电效率小于乙车的耗电效率， 所以用丙车比乙车更省电，故选项D正确 故选：D 9 （ 5 分 ） 已 知 焦 点 为 1 F， 2 F的 双 曲 线 上 一 点P满 足 2112 2PF FPF F ， 1212 sin2sinF PFPF F，则双曲线的离心率为() A2B3C21D31 【解答】解：设 12 PF F，则 21 2PF F， 12 3F PF， 由 1212 sin2sinF PFPF F，即sin32sin， 可得sincos2cossin22sin， 即有
22、2233 sin(12sin)2sincossin2sin2sin2sin 3 3sin4sin2sin， 解得 1 sin 2 ， 由0 2 ，可得 6 ， 所以 12 3 2 FPF ， 则 1 | 2 cos3PFcc， 2 |2 sinPFcc， 由双曲线的定义可得 12 |32PFPFcca， 即有(13)ca， 所以31 c e a 故选：D 10 （5 分）每次从0 9这 10 个数字中随机取一个数字（取后放回） ，连续取n次，依次得 到n个数字组成的数字序列 若使该序列中的数字 0 至少出现一次的概率不小于 0.9， 则n的 最小值是()（参考数据90.954)lg A23B2
23、2C21D20 【解答】解：有放回地排列n个数字，得 10 n 个基本事件，其中不含 0 的基本事件为 9 n 第 11页（共 20页） 由题意得 9 10.9 10 n n ，即 0.9 n 0.1， n 0.11 21.74 0.991 lg lglg n最小取 22 故选：B 11 （5 分）若( )f x的图象上两点关于原点对称，则称这两点是一对对偶点，若 3 23 ,0 ( ) ,0 xa x f x xx x 的图象上存在两对对偶点，则实数a的取值范围是() A 2 (,0) 3 B(0,)C 1 ,1) 3 D( 2,0) 【解答】解：当0 x 时，( )f x关于原点对称的函数
24、为 3 ( )()g xfxxx ， ( )f x恰有两对“对偶点” ， 3 ( )g xxx与( )23f xxa恰好有两个交点，(0)x ， 即3ya与 3 ( )3k xxx在(0,)上恰有两个不同交点， 因为 2 ( )333(1)(1)k xxxx， 当1x 或1x 时，( )0k x，原函数递增， 当11x 时，( )0k x，原函数递减， 且(0)0k，k（1）2 ， ， 故230a ，即 2 0 3 a， 故选：A 12 （5 分）已知函数( )sin()(f xAxA，均为正常数） ，相邻两个零点的差为 2 ， 对任意x，( )() 6 f xf 恒成立，则下列结论正确的是(
25、) Af（2）f（1）( 2)fBf（2）( 2)ff（1） 第 12页（共 20页） C( 2)ff（1）f（2）Df（1）f（2）( 2)f 【解答】解：函数( )sin()(f xAxA，均为正常数） ，相邻两个零点的差为 1 2 22 ，2 对任意x，( )() 6 f xf 恒成立， 故( )f x在 6 x 处取得最大值， 即22 62 k ，kZ， 6 ，( )sin(2) 6 f xAx ，周期为 故函数( )f x在( 3 ，) 6 上是增函数，在( 6 ， 2 ) 3 上是减函数， 在一个单调减区间( 6 ， 2 ) 3 上，1x 离函数图象的对称轴 6 x 较近，2x 离
26、函数图象的 对称轴 6 x 较远， 故f（2）f（1） 而( 2)( 2)ff ，2(1,2) ，f（2）( 2)ff （1） ，即f（2）( 2)ff （1） ， 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13 （5 分）若复数2(1)zzi，其中i为虚数单位，则复数z的模为 10 2 【解答】解：因为2(1)zzi， 所以(1)2zii， 所以 2(2)(1)13 1(1)(1)2 iiii z iii ， 故 10 | 2 z 故答案为： 10 2 14 （5 分）已知 2 25 xy M，且 11 2 xy ，则
27、M的值为5 2 【解答】解：因为 2 25 xy M， 所以 2 logxM， 5 2logyM，即 5 1 log 2 yM， 又 11 2 xy ， 所以 25 12 log22log5log2log5 loglog MMMM MM 22 log (2 5 )log502 MM ， 所以 2 50M， 第 13页（共 20页） 又0M ，且1M ， 所以505 2M 故答案为：5 2 15 （5 分）已知数列 n a的前n项和为 n S且 1 1a ， n lgS是公差为3lg的等差数列，则 242n aaa 91 4 n 【解答】解： 11 1Sa，则 1 10lgSlg， n lgS是
28、公差为3lg的等差数列， 1 (1)33n n lgSnlglg ，则 1 3n n S ， 当2n时， 122 1 332 3 nnn nnn aSS ， 2 2a ，当2n时， 1 1 2 2 3 3 2 3 n n n n a a ， 数列 n a自第二项起构成公比为 3 的等比数列， 可得 242 2(19 )91 194 nn n aaa 故答案为： 91 4 n 16 （5 分）设点Q是椭圆 22 1 369 xy 上异于长轴端点的任意一点， 1 F、 2 F为两焦点，动点 P满足 12 0PFPFPQ ，则动点P的轨迹方程为 2 2 1(2) 4 x yx 【解答】解：设( ,
29、)P x y， 0 (Q x， 0) y，又 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c， 0 (6)x ， 1 (,)PFcxy ， 2 (,)PFccy ， 0 (PQxx ， 0 )yy， 动点P满足 12 0PFPFPQ ，则 0 3xx， 0 3yy， 22 99 1 369 xy ， 即 2 2 1 4 x y，(2)x ， 故答案为：即 2 2 1(2) 4 x yx 三三、解答题解答题：共共 70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤第第 17-21 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第每个试题考生都必须作答，第 22、23
30、 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：（一）必考题：共共 60 分分 第 14页（共 20页） 17 （ 12 分 ）在ABC中 ，内 角A，B，C所 对的 边分 别是a，b，c， 已知 2 3,2sincoscAaC （1）求角C的大小； （2）求AB边上高的取值范围 【解答】解： （1）2sincosAaC，且0a ，sin0A ， 可得 2 sincos a AC ， 由正弦定理 sinsin ac AC ，可得 2 32 sincosCC ， 可得tan3C ， (0, )C， 3 C （2） 3 C ，2sincosAaC， 4sinaA，4sin
31、bB， 设AB边上高CDh，则 11 sin 22 hcabC， 1222 4sinsin4sinsin()4sinsin(coscossin) 4333 habABAAAAA 2 2 3sincos2sin3sin21cos22sin(2)1 6 AAAAAA ， 2 (0,) 3 A， 7 2(,) 66 6 A ， 2sin(2)1(0,3 6 A ， (0h ，3 18 （12 分）如图，在直角梯形AEFB中，AEEF，/ /AEBF，且24BFEFAE， 第 15页（共 20页） 直角梯形 11 D EFC；可以通过直角梯形AEFB以直线EF为轴旋转得到 （1）求证：平面 11 C
32、D EF 平面 1 BC F； （2）若二面角 1 CEFB的大小为 3 ，求三棱锥 1 AEFD的体积 【解答】 （1）证明：/ /AEBF，AEEF， BFEF， 直角梯形AEFB绕EF转到 11 D EFC， 1 C FEF， （2 分） 又 1 C FBFF ， 1 C F 平面 1 BC F，BF 平面 1 BC F， EF平面 1 BC F， EF 平面 11 C D EF， 平面 11 C D EF 平面 1 BC F （5 分） （2）直角梯形AEFB绕EF转到 11 D EFC， 1 DEEF， AEEF且 1 AED EE ， AE平面 1 AD E， （7 分） 且 1
33、AED为二面角 1 CEFB的平面角， 1 3 AED ， （9 分） 又 1 AED E， 1 AED为等边三角形， 1 2 33 43 44 AED SAE， （11 分） 11 114 3 43 333 A EFDAED VSEF （12 分） 第 16页（共 20页） 19 （12 分）已知袋中装有大小、形状都相同的小球共 5 个，其中 3 个红球，2 个白球 （1）若从袋中任意摸出 4 个球，求恰有 2 个红球的概率； （2）若每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球即停止摸球，这样的摸球最多 四次， 1 表示停止时的摸球次数；又若每次随机地摸出一个球，记下颜色后不放回，摸到
34、白球即停止摸球， 2 表示停止时的摸球次数求 1 3且 2 3的概率 【解答】解： （1）袋中装有大小、形状都相同的小球共 5 个，其中 3 个红球，2 个白球 设事件A为“从袋中任意摸 4 个球，恰有 2 个红球” ， 从袋中任意摸出 4 个球，基本事件总数 4 5 nC， 恰有 2 个红球包含的基本事件个数 2 3 mC， 恰有 2 个红球的概率 2 3 4 5 3 ( ) 5 C P A C （2） 1 33218 (3) 555125 P， 2 3122 (3) 5235 P， 1212 18118 3333 1255625 PP yP y且 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :
35、1(0) xy Cab ab 的左顶点为点A，左、右焦点分别为 1 F， 2 F， 1 |AF， 1 |OF， 2 |AF成等比数列 （1）求椭圆C的离心率； （2）若点A为(2,0)，经过焦点 1 F， 2 F的圆M与y轴交于P，Q两点，直线AP，AQ 分别交椭圆于D，E两点，求证：四边形 12 EF DF是平行四边形 【解答】解： （）因为 1 |AF， 1 |OF， 2 |AF成等比数列，所以 2 112 |OFAFAF， 第 17页（共 20页） 即 2 ()()cac ac， 所以 22 2ca，所以 2 2 e （3 分） （）解：因为点A为(2,0)，所以2,1,1abc， 所以
36、椭圆 2 2 :1 2 x Cy，即 22 220 xy，左焦点坐标为( 1,0) （4 分） 设直线DE方程为(DE不垂直于y轴）: xmyn， 1 (D x， 1) y， 2 (E x， 2) y， 联立 22 220 xy xmyn ，消去x得： 222 (2)220mymnyn， 则0， 12 2 2 2 mn yy m ； 2 12 2 2 2 n y y m ，（6 分） 同时有 11 xmyn， 22 xmyn， 直线AD的方程为： 1 1 (2) 2 y yx x ， 令0 x ，得 1 1 2 2 p y y x ，所以点 1 1 2 (0,) 2 y P x ， 同理可得，
37、点 2 2 2 (0,) 2 y Q x ， （8 分） 由已知可得PQ是圆M的直径，所以 11 FPFQ ，即 11 0FP FQ ， 因为 1 1 1 2 (1,) 2 y F P x ， 2 1 2 2 (1,) 2 y FQ x ， 所以 12 11 12 2 10 (2)(2) y y FP FQ xx ，得 121212 2()220 x xxxy y， （10 分） 代入 11 xmyn， 22 xmyn， 化简得： 22 1212 (2)(2)()(2)0my ym nyyn， 代入得： 22 2 2 2(2)(2)0 2 mn nm nn m ， 因为2n ，所以有 2 0
38、2 n m ，即0n ， 所以直线DE方程为：xmy， （11 分） 所以点D，E关于原点O对称， 又因为点 1 F， 2 F关于原点O对称， 所以四边形 12 EF DF是平行四边形 （12 分） 第 18页（共 20页） 21 （12 分）已知 3 ( )(1)f xxaxlnx （1）若函数( )f x有三个不同的零点，求实数a的取值范围； （2）在（1）的前提下，设三个零点分别为 1 x， 2 x， 3 x且 123 xxx，当 13 2xx时，求 实数a的取值范围 【解答】解： （1）当1x 时，( )0f x ，令 3 ( )1g xxax， 当1x 时，( )f x的零点与函数(
39、 )(0)g x x 的零点相同， 当0a时，( )0(0)g xx，所以( )f x只有一个零点，不合题意， 故0a ，又函数( )f x有三个不同的零点， 所以( )(0)g x x 有两个均不等于 1 的不同零点， 令 2 ( )30g xxa，解得 3 a x （舍去负值） ， 所以当(0,) 3 a x时，( )0g x，( )g x是减函数， 当(,) 3 a x时，( )0g x，( )g x是增函数， 因为(0)10, ()10gga ， 所以当()0 3 a g，即 3 3 2 2 a 时，( )(0)g x x 有两个不同零点， 又因为g（1）0时， 3 3 2 2 2 a
40、 ， 所以函数( )f x有三个不同的零点，实数a的取值范围是 3 3 2 (,2)(2,) 2 （2）因为 123 xxx， 13 2xx，所以 3 1x，所以g（1）20a， 所以 1 1x ，所以 1 x， 3 x是( )0g x 的两个根， 又因为 32322 ( 2 )821844(12 )0gaaaaaaa ， 所以( )0g x 有一个小于 0 的根，不妨设为 0 x， 根据( )0g x 有三个根 0 x， 1 x， 3 x可知 3 013 ( )1()()()g xxaxxxxxxx ， 所以 013 0 xxx，即 130 xxx ，因为 13 2xx，所以 0 2x ，
41、所以( 2)8210ga ，即 7 2 a ， 显然 7 2 2 ，所以a的取值范围是 7 ( ,) 2 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第 19页（共 20页） 第一题计分第一题计分作答时作答时，用用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑选修选修 4-4：坐标坐标 系与参数方程系与参数方程 22 （10 分）已知直线:( xt lt yat 为参数，0)a ，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程
42、为8cos6sin，圆C与极轴和直线l分别交于 点A，点B（异于坐标原点） （1）写出点A的极坐标及圆C的参数方程； （2）求OC AB 的最大值 【解答】解： （1）直线:( xt lt yat 为参数，0)a ，转换为直角坐标方程为：yax 圆C的极坐标方程为8cos6sin，整理得： 2 8 cos6 sin， 根据 222 cos sin x y xy ，转换为直角坐标方程为 22 86xyxy， 222 (4)(3)5xy，令0y ， 2 (4)16x ， 8x或 0（舍) (8,0)A 圆C的参数方程为 45cos ( 35sin x y 为参数） ， （1）0(0,0)，(4,3
43、)C， (4,3)OC ， (8,0)A，(45cos ,35sin )B (5cos4,5sin3)AB ， 34 20cos1615sin95(3sin4cos )725( sincos )725sin()7 55 OC AB ， （其中 34 cos,sin) 55 第 20页（共 20页） OC AB 的最大值为 18 二、二、选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1|24|f xxx，( )3f xM 的解集为 | 42xx （1）求M； （2）若正实数a，b，c满足abcM，求证： 222222 12 abbcca cab 【解答】解： （1）由题意可得4，2 为方程( )3f xM的两根， 即有f（2）( 4)93fM， 即有6M ， 检验可得( ) 9f x 的解集为 | 42xx ， 故6M ； （2）证明： 222222 222 ()()() abbccaabbccacbcaab abc cabcabbcacba 2()abc，当且仅当abc时，等号成立， 又6abc， 所以 222222 12 abbcca cab
