1、第 1页 共 14页第 2页 共 14页 “祖冲之杯祖冲之杯”数学竞赛模拟试卷数学竞赛模拟试卷 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 32 分）分） 1.（2005中考模拟） 若方程x2+ px+ 10 的二根之差为 1，则 p 的值为（ ） A. 2B. 4C.3 D.5 2.（2020-2021湖北月考试卷） 已知关于 x 的一元二次方程(m 2)2x2+ (2m + 1)x + 1 = 0 有两个不相等的实数 根，则 m 的取值范围是（ ） A.m 3 4 B.m 3 4 C.m 3 4且 m 2 D.m 3 4且 m 2 3.（2019-20
2、20辽宁期末试卷） 在ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，若A:B:C 1:2:3则 a:b:c（ ） A.1: 3:2B. 3:1:2C.1:1:2D.1:2:3 4.（2017湖北中考模拟） 某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了 x%，第三季度的产值又比第二季 度的产值增长了 x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（ ） A.2x%B.1 + 2x%C.(1 + x%)x%D.(2 + x%)x% 5.（2013中考模拟） 如图，A，B，C 两两不相交，且半径均为 0.5，则图中三个阴影部分的面积之 和为（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 6.（20
3、05中考模拟） 已知|a|1，那么代数式1 a |a|的值为（ ） A.0B.0 或 2 C. 2D. 5 7.（2016-2017四川月考试卷） 已知：如图，ABC 中，ADBC 于 D，下列条件： （1）B +DAC90； （2）BDAC； （3）CD AD = AC AB； （4）AB2BDBC 其中一定能够判定ABC 是直角三角形的有（ ） A.0 个B.1 个C.2 个 D.3 个 8.（2009同步练习） 某校计划在校园内修建一座周长为 12 米的花坛，同学们设计出正三角形、正方形和圆 共三种图案，其中使花坛面积最大的图案是（ ） A.正三角形B.正方形C.圆D.不能确定 二、填空
4、题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 1.（2005中考模拟） 方程 8x x2+1 + x2+1 2x = 3 所有的解的积为_ 2.（2005中考模拟） 如图ABC 的面积是 1 平方厘米，DC2BD，AE3ED，则ACE 的面积是_平 方厘米 3.（2015-2016浙江期中试卷） 如果一元一次不等式组 x 3 x a 的解集为 x 3，则 a 的取值范围是_ 4.（2005中考模拟） 如图，在大小为 4 4 的正方形方格中，ABC 的顶点 A、B、C 在单位正方形的顶点上， 请在图中画一个A1B1C1，使A1B1C1ABC（相似比不为
5、 1） ，且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点 上_ 第 3页 共 14页第 4页 共 14页 5.（2010-2011山东期末试卷） 已知 x + 2y 6z = 0，3x y = 4z，则2002xy+y 24z2 xyyz+xz 的值为_ 6.（2016-2017四川期末试卷） 如图，矩形纸片 ABCD 中，AD9，AB3，将其折叠，使点 D 与点 B 重合， 折痕为 EF，那么折痕 EF 的长为_ 三、解答题（共三、解答题（共 4 小题，满分小题，满分 44 分）分） 1.（2005中考模拟） 如果互异实数 a，b 满足方程a2 6a + 20，b2 6b + 20，求a b +
6、b a的值 2.（2005中考模拟） 如图：已知ABC 内接于O，ADBC 于点 D，试问在O 上是否存在点 E，使得 AB AD = AE AC成立，为什么？ 3.（2016-2017江苏月考试卷） 如图，有两条公路 OM，ON 相交成30，沿公路 OM 方向离两条公路的交叉 处 O 点 80 米的 A 处有一所希望小学，当拖拉机沿 ON 方向行驶时，路两旁 50 米内会受到噪音影响，已知有 两台相距 30 米的拖拉机正沿 ON 方向行驶，它们的速度均为 5 米/秒，问这两台拖拉机沿 ON 方向行驶时给 小学带来噪音影响的时间是多少？ 4.（2007-2008江苏期末试卷） 下表显示了去年夏
7、天钓鱼比赛的部分结果这个表记录了钓到 n 条鱼的选手 有多少名，n 取不同的数 n 0123 131415 钓到 n 条鱼的选手数95723521 在赛事新闻中报道了： (1)冠军钓到了 15 条鱼； (2)钓到 3 条或更多条的哪些选手每人平均钓到 6 条鱼； (3)钓到 12 条或更少条鱼的哪些选手每人平均钓到 5 条鱼 问：在整个比赛中共钓到了多少条鱼？ 第 5页 共 14页第 6页 共 14页 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 “祖冲之杯祖冲之杯”数学竞赛模拟试卷数学竞赛模拟试卷 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 32 分）分） 1.
8、 【答案】 D 【考点】 根与系数的关系 【解析】 设方程x2+ px+ 10 的二根为x1，x2，根据根与系数的关系先求出(x1 x2)2的值即可得出答案 【解答】 设方程x2+ px+ 10 的二根为x1，x2， 为x1+ x2 p，x1x21， 又 二根之差为 1， (x1 x2)2x1 2 2x1x2+ x2 2， (x1+ x2)2 4x1x2， p2 41， 解得：p5 【点评】 本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是方程x2+ px+ q0 的两根时，x1+ x2 p，x1x2 q 2. 【答案】 C 【考点】 根的判别式 一元二次方程的定义 【解析】 在与一
9、元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件： （1）二次项系数不为零； （2）在有不相等的实数根下必须满足b2 4ac 0 【解答】 解：根据题意列出方程组 (2m + 1)2 4(m 2)2 0， m 2 0， 解之得 m 3 4且 m 2 故选 C. 【点评】 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件 3. 【答案】 A 【考点】 三角形内角和定理 勾股定理 【解析】 先根据A:B:C1:2:3，求出三个角的度数，然后根据直角三角形的性质进行解答即可 【解答】 若A:B:C1:2:3，则根据三角形的内角和定理，得A30，B60，C90 设
10、 ax，根据30所对的直角边是斜边的一半，得 c2x，再根据勾股定理，得 b =3x， 则 a:b:c1: 3:2 【点评】 熟记30的直角三角形的三边比是 1: 3:2 4. 【答案】 D 【考点】 一元二次方程的应用 【解析】 设第一季度产值为 1，第二季度比第一季度增长了 x%，则第二季度的产值为 1 (1 + x%)，那么第三季度的产 值是由第二季度产值增长了 x%来确定，则其产值为 1 (1 + x%) (1 + x%)，化简即可 【解答】 第三季度的产值比第一季度的增长了(1 + x%) (1 + x%) 1(2 + x%)x% 【点评】 本题考查一元二次方程的应用，关键在于理清第
11、一季度和第二季度的产值增长关系 5. 【答案】 S 阴影 = 180 360 （1 2） 2 = 8因此选择 B 【考点】 三角形内角和定理 扇形面积的计算 【解析】 由于三角形的内角和为 180 度，所以三个阴影扇形的圆心角的和为180，由于它们的半径都为 0.5，因此可 根据扇形的面积公式直接求出三个扇形的面积和 【解答】 S阴影= 180 360 ( 1 2) 2 = 8 因此选择 B 【点评】 本题利用了三角形内角和定理，扇形的面积公式求解 6. 【答案】 B 第 7页 共 14页第 8页 共 14页 【考点】 列代数式求值 【解析】 根据绝对值的性质可求出 a 的值，然后代入求解结果
12、 【解答】 |a|1， a 1， 当 a1 时， 1 a |a| = 1 10， 当 a 1 时， 1 a |a| = 1 1 2， 【点评】 基础题，主要考查绝对值的性质 7. 【答案】 不能， ADBC，B +BAD90，B +DAC90，BADDAC， 无法证明 ABC 是直角三角形； 能，BDAC，则BADC，B +BADC +DAC180 290； 能 CD:ADAC:AB，ADBADC90， RtABDRtCAD（直角三角形相似的判定定理） ， ABDCAD；BADACD ABD +BAD90 CAD +BAD90 BACCAD +BAD BAC90； D 【考点】 相似三角形的性
13、质与判定 【解析】 根据已知对各个条件进行分析，从而得到答案 【解答】 不能， ADBC，B +BAD90，B +DAC90，BADDAC， 无法证明 ABC 是直角三角形； 能，BDAC，则BADC，B +BADC +DAC180 290； 能 CD:ADAC:AB，ADBADC90， RtABDRtCAD（直角三角形相似的判定定理） ， ABDCAD；BADACD ABD +BAD90 CAD +BAD90 BACCAD +BAD BAC90； 能， 能说明CBAABD，ABC 一定是直角三角形 共有 3 个 故选：D 【点评】 通过计算角相等和边成比例，判断出两个三角形是否相似，进而判断
14、出是否为直角 8. 【答案】 C 【考点】 圆的有关概念 【解析】 根据周长分别求得正三角形，正方形，圆的面积，从而比较可得到面积最大的是什么形状 【解答】 当设计成正三角形，则边长是 4 米，则面积是 342 4 = 4 3平方米； 当设计成正方形时，边长是 3 米，则面积是 9 平方米； 当设计成圆时，半径是12 2 = 6 米，则面积是( 6 ) 2 = 36 平方米 这三个数中36 最大， 使花坛面积最大的图案是圆 【点评】 周长一定的所有平面图形中，圆的面积最大，是需要记忆的内容 二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小
15、题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 1. 【答案】 1 【考点】 无理方程 【解析】 先两边平方，再设 x x2+1 = y，化为关于 y 的一元二次方程即可求解 【解答】 方程 8x x2+1 + x2+1 2x = 3， 两边平方得： 8x x2+1 + 2 4 + x2+1 2x = 9， 8x x2+1 + x2+1 2x = 5， 设 x x2+1 = y，则原方程可化为 8y + 1 2y = 5， 16y2 10y + 10， 第 9页 共 14页第 10页 共 14页 解得：y = 1 2或 y = 1 8， 当 x x2+1 = 1 2时，解得：x1； 当
16、x x2+1 = 1 8，解得：x4 15， 经检验均为方程的根， 所有的解的积为：1 (4 +15)(4 15)1 【点评】 本题考查了无理方程，属于基础题，关键是掌握用换元法解无理方程 2. 【答案】 1 2 【考点】 三角形的面积 【解析】 本题可根据ABC 的面积是 1 平方厘米，DC2BD，得出ACD 的面积，然后再根据 AE3ED，得出答案 【解答】 SABC1，DC2BD， SACD= 2 3， 又 AE3ED， SACE= 3 4SACD = 3 4 2 3 = 1 2cm 2 【点评】 本题主要考查三角形面积的知识点，还考查相似三角形面积性质的应用，根据题中条件，结合图形，找
17、出相 应关系即可 3. 【答案】 a 3 【考点】 解一元一次不等式组 【解析】 由题意不等式组中的不等式分别解出来为 x 3，x a，已知不等式解集为 x 3，再根据不等式组解集的口 诀：同大取大，得到 a 的范围 【解答】 由题意 x 3，x a， 元一次不等式组 x 3 x a 的解集为 x 3， a 3 【点评】 主要考查了一元一次不等式组解集的求法，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找， 大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集反过来求 a 的范围 4. 【答案】 答案如图 【考点】 作图-相似变换 【解析】 在 4 4 的方格纸中，使A1B1C1与格点三角形
18、ABC 相似，根据对应边相似比相等，对应角相等，可知要画 一个 135 度的钝角，钝角的两边只能缩小，又要在格点上所以要缩小为 1 和 2，画出这样的两边长后，三角 形的三点就确定了 【解答】 如图 【点评】 本题主要考查了相似三角形的画法，根据的主要是相似三角形的性质注意根据本题中的要求只能画缩小的 相似图形 5. 【答案】 2002 【考点】 列代数式求值方法的优势 【解析】 先由 x + 2y 6z = 0 两边同乘以 3 得到 3x + 6y = 18z，再与 3x y = 4z 相减得出 y = 2z，然后再求出 x = 2z，再 把 x、y 的值代入代数式即可 【解答】 解：由 x
19、 + 2y 6z = 0 两边同乘以 3 得 3x + 6y = 18z， 又 3x y = 4z， 得：y = 2z， 把它代入得：x = 2z， 把它们代入2002xy+y 24z2 xyyz+xz = 20022z2z+4z24z2 4z22z2+2z2 = 2002， 故答案为：2002 【点评】 本题考查了三元一次方程组的解法和代数式求值，解题时主要运用了加减消元法和代入法 6. 【答案】 10 【考点】 翻折变换（折叠问题） 【解析】 先判定三角形 BDE 是等腰三角形，再根据勾股定理及三角形相似的性质计算 【解答】 第 11页 共 14页第 12页 共 14页 连接 BD，交 E
20、F 于点 G， 由折叠的性质知，BEED，BEGDEG， 则BDE 是等腰三角形， 由等腰三角形的性质：顶角的平分线是底边上的高，是底边上的中线， BGGD，BDEF， 则点 G 是矩形 ABCD 的中心， 所以点 G 也是 EF 的中点， 由勾股定理得，BD3 10，BG = 3 10 2 ， BDEF， BGFC90， DBCDBC， BGFBCD， 则有 GF:CDBG:CB， 求得 GF = 10 2 ， EF =10 【点评】 本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的 形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、矩形的性质，
21、相似三角形的判定和性质，勾股定理， 等腰三角形的性质求解 三、解答题（共 4 小题，满分 44 分） 三、解答题（共三、解答题（共 4 小题，满分小题，满分 44 分）分） 1. 【答案】 a2 6a + 20，b2 6b + 20， 实数 a，b 是方程x2 6x + 20 的两根， a + b = 6 a b = 2 则a b + b a = (a+b)22ab ab = 364 2 = 16 【考点】 根与系数的关系 【解析】 由题意可得 a、b 是一个一元二次方程的两个根然后利用根与系数关系求解 【解答】 a2 6a + 20，b2 6b + 20， 实数 a，b 是方程x2 6x +
22、 20 的两根， a + b = 6 a b = 2 则a b + b a = (a+b)22ab ab = 364 2 = 16 【点评】 解决本题的关键是把所求的代数式整理成与根与系数有关的形式 2. 【答案】 AE 是直径， ACE90， 又ABD，AEC 是弧 AC 所对的圆周角， ABDAEC， 又 ADBC， ADB90， 在ABD 和AEC 中， ABD =AEC ADB =ACE ， ABDAEC(AA)， AB AD = AE AC 【考点】 相似三角形的性质与判定 三角形的外接圆与外心 【解析】 由垂直的定义得ADB 的度数为90，圆周角定理得ABDAEC，ACE90，两个
23、对应角相等证明 ABDAEC，其性质得AB AD = AE AC 【解答】 在O 上存在点 E，使得AB AD = AE AC成立 延长 AO 交O 于 E， 连接 CE， 【点评】 本题综合考查了垂直的定义，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，辅助线的作法等相关知识点，重点掌 握相似三角形的判定与性质，难点是作辅助线构建相似三角形 3. 【答案】 这两台拖拉机沿 ON 方向行驶给小学带来噪音影响的时间是 18 秒 第 13页 共 14页第 14页 共 14页 【考点】 点与圆的位置关系 作图应用与设计作图 【解析】 过点 A 作 ACON，求出 AC 的长，第一台到 B 点时开始对学校有噪音
24、影响，第一台到 C 点时，第二台到 B 点也开始有影响，第一台到 D 点，第二台到 C 点，直到第二台到 D 点噪音才消失 【解答】 如图， 过点 A 作 ACON， MON30，OA80 米， AC40 米， 当第一台拖拉机到 B 点时对学校产生噪音影响，此时 AB50， 由勾股定理得：BC30， 第一台拖拉机到 D 点时噪音消失， 所以 CD30 由于两台拖拉机相距 30 米，则第一台到 D 点时第二台在 C 点，还须前行 30 米后才对学校没有噪音影响 所以影响时间应是：90 518 秒 【点评】 本题考查的是点与圆的位置关系，根据拖拉机行驶的方向，速度，以及它在以 A 为圆心，50 米
25、为半径的圆 内行驶的 BD 的弦长，求出对小学产生噪音的时间 4. 【答案】 共钓鱼 943 条 【考点】 二元一次方程组的应用行程问题 【解析】 本题可设表中未知的选手总数为 x，他们钓到鱼的总数为 y，因为冠军钓到了 15 条鱼；钓到 3 条或更多条的 哪些选手每人平均钓到 6 条鱼；钓到 12 条或更少条鱼的哪些选手每人平均钓到 5 条鱼，依此列方程求解 【解答】 解：设表中未知的选手总数为 x，他们钓到鱼的总数为 y 由题意得： 3 23 + y + 13 5 + 14 2 + 15 = 6(23 + x + 5 + 2 + 1) 0 9 + 1 5 + 2 7 + 3 23 + y = 5(9 + 5 + 7 + 23 + x) 解得： x = 123 y = 747 共钓鱼的条数为：(123 + 9 + 5 + 7 + 23) 5 + 13 5 + 14 2 + 15 = 943（条） 【点评】 此类题目的解决需仔细分析图表，从中寻找信息，并利用方程组解决问题
