1、北师大版北师大版 八年级八年级 数学数学 下下册册 导入新知导入新知 观察下面图片，说说它们都是由什么图形组成的？观察下面图片，说说它们都是由什么图形组成的？ 思考：思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形 的判定定理是什么呢？的判定定理是什么呢？ 1. 能能用所学的知识证明用所学的知识证明等边三角形等边三角形的的判定判定定定 理理. 2. 掌握掌握含含30角角的的直角三角形直角三角形的性质并解决的性质并解决 有关问题有关问题. 素养目标素养目标 探究新知探究新知 知识点知识点 1等边三角形的判定等边三角形的判定 （2） 一个三
2、角形满足什么条件时是等边三角形？一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ （3）一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形）一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形? 有一个角是有一个角是60的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形. 三条边相等的三角形是等边三角形（定三条边相等的三角形是等边三角形（定 义义）. . 三个角相等的三角形是三个角相等的三角形是等边三角形等边三角形. . （1）等边三角形有哪些性质？等边三角形有哪些性质？ 等边三角形的三条边相等，三个角相等，等边三角形的三条边相等，三个角相等，“三线合一三线合一”. . 思考：思考： 你能证明这你能证明这 些定理吗？些定理吗？
3、 探究新知探究新知 A B C 已知：如图，已知：如图，A= B=C. 求证：求证： AB=AC=BC. A= B, AC=BC. B=C, AB=AC. AB=AC=BC. 证明：证明： 三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形. .证明：证明： A B C 已知：已知： 若若AB=AC , A= 60. 求证：求证： AB=AC=BC. AB=AC , A= 60 ， BC (180A)2= 60. A= B=C. AB=AC=BC. 证明：证明： 有一个角是有一个角是60的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形.证明：证明： 证明完整吗证明完整吗？是？是
4、不是不是还有另一种还有另一种 情形呢？情形呢？ 探究新知探究新知 证明证明:AB=AC,B=60(已知已知), C=B=60(等边对等角等边对等角)， A=60(三角形内角和定理三角形内角和定理) A=B =C=60 ABC是等边三角形是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形). 已知已知:如图如图,在在ABC中，中，AB=AC,B=60 求证求证:ABC是等边三角形是等边三角形 第二种情况：有一个底角是第二种情况：有一个底角是60. A CB 60 探究新知探究新知 1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形定义：三条边都相等的三角形是等边三角形. 等边
5、三角形的判定方法：等边三角形的判定方法： 3.定理：有一个角等于定理：有一个角等于60的等腰三角形是的等腰三角形是等边三角形等边三角形 2.定理：三个角都相等的三角形是等边三角形定理：三个角都相等的三角形是等边三角形. 推导过程：推导过程：ABBCCA， ABC是等边三角形是等边三角形. 推导过程：推导过程：A B C， ABC是等边三角形是等边三角形. 推导过程：推导过程：ABAC，A 60， ABC等边三角形等边三角形. C B A 结论结论 探究新知探究新知 等边等边 三角形三角形 性质性质判定的条件判定的条件 三条边都三条边都相等相等 “三线合一三线合一”,即等腰三角即等腰三角 形顶角
6、平分线，底边上的形顶角平分线，底边上的 中线、高线互相重合中线、高线互相重合 有一角是有一角是60的等腰的等腰 三角形三角形是等边三角形是等边三角形 等边三角形等边三角形三个内角都相三个内角都相 等等，且每个角都是，且每个角都是60 三个角都相等的三三个角都相等的三 角形角形是等边三角形是等边三角形 归纳归纳总结总结 探究新知探究新知 三条边都三条边都相等的三相等的三 角形角形是等边三角形是等边三角形 等边三角形的判定等边三角形的判定素养考点素养考点 1 探究新知探究新知 例例 如如图图,在等边在等边ABC中中,ABC与与ACB的的平分线平分线相交于相交于 点点O,且且ODAB,OEAC. (
7、 (1) )试判定试判定ODE的形状的形状,并说明你的理由并说明你的理由. 解：解： ODE是是等边三角形等边三角形. 理由：理由：ABC是等边三角形是等边三角形,ABC=ACB=60, ODAB,OEAC, ODE=ABC=60,OED=ACB=60, ODE是等边三角形是等边三角形. 探究新知探究新知 ( (2) )线段线段BD,DE,EC三者有什么关系三者有什么关系?写出你的判断过程写出你的判断过程. 解：解：BD=DE=EC. 理由理由:OB平分平分ABC,且且ABC=60, ABO=OBD=30, ODAB,BOD=ABO=30, DBO=DOB,DB=DO,同理同理,EC=EO,
8、DE=OD=OE,BD=DE=EC. 方法方法总结总结 探究新知探究新知 选用选用等边三角形判定方法的等边三角形判定方法的技巧技巧 ( (1) )如果已知如果已知三边关系三边关系,则选用则选用等边三角形定义等边三角形定义来判定来判定. ( (2) )若已知若已知三角关系三角关系,则选用则选用三角相等的三角形是等边三三角相等的三角形是等边三 角形角形来判定来判定. ( (3) )若已知是若已知是等腰三角形等腰三角形,则选用则选用有一个角是有一个角是60的等腰的等腰 三角形是等边三角形三角形是等边三角形来判定来判定. 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 在在ABC中，中，A=60，要使，要使ABC
9、是等边三角形，是等边三角形， 则需添加的一个条件是则需添加的一个条件是 . ABAC或或BC 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 如如图图,在等边三角形在等边三角形ABC中，中，DEBC, 求证求证：ADE是等边三角形是等边三角形.A CB DE 证明：证明： ABC是等边三角形，是等边三角形， A= B= C. DE/BC, ADE= B, AED= C. A= ADE= AED. ADE是等边三角形是等边三角形. 想一想：想一想：本题还有本题还有 其他证法吗？其他证法吗？ 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 上上题中题中,若将条件若将条件DEBC改为改为AD=AE, ADE还是还是 等边三
10、角形吗等边三角形吗?试说明理由试说明理由.A CB DE 如如图图,在等边三角形在等边三角形ABC中，中，AD=AE, 求证：求证：ADE是等边三角形是等边三角形. 证明：证明： ABC是等边三角形是等边三角形， A= B= C=60. AD=AE, ADE是是等腰三角形等腰三角形. ADE是等边三角形是等边三角形. 又又 A=60. 探究新知探究新知 知识点 2含含3030角的直角三角形的性质角的直角三角形的性质 操作操作:用两个含有用两个含有30角的三角板，你能拼成一个怎样的角的三角板，你能拼成一个怎样的 三角形？能拼出一个等边三角形吗三角形？能拼出一个等边三角形吗 ? 猜想：猜想：在在直
11、角三角形中，直角三角形中，30角所对的直角边与斜边角所对的直角边与斜边 有怎样的大小关系有怎样的大小关系? 303030 30 3030 3030 30角所对的直角边等于斜边的一半角所对的直角边等于斜边的一半. 证明证明猜想：猜想：在直角三角形中在直角三角形中, 30角所对的直角边等于斜角所对的直角边等于斜 边的一半边的一半. 已知已知:如图如图,在在ABC中中,ACB=90，A=30. 求证求证:BC= AB. 1 2 A 30 BC 分析分析：证明证明“线段的倍、分线段的倍、分”问题问题 转转 化化 “线段相等线段相等”问题问题 3030 探究新知探究新知 ACB=90 (已知已知)， A
12、CD=90， 在在ABC与与ADC中，中， BC=DC，（作图）（作图） ACB=ACD，（已证）（已证） AC=AC，（公共边）（公共边） ABC ADC（SAS） ， AB=AD. ACB=90,BAC=30 (已知已知) ， B=60， ABD是等边三角形是等边三角形， BC= BD= AB 30 A BCD 证明证明: 延长延长BC至至D,使使CD=BC,连接连接AD， 1 2 1 2 探究新知探究新知 探究新知探究新知 结论结论 定理定理 在在直角三角形直角三角形中，如果一个锐角等于中，如果一个锐角等于30， 那么它那么它所对的直角边等于斜边的一半所对的直角边等于斜边的一半 A C
13、B 推导过程推导过程：RtABC中中 A30 BC AB 1 2 含含3030角的直角三角形的性质角的直角三角形的性质素养考点素养考点 2 探究新知探究新知 已知：如已知：如图，在图，在ABC中中，AB=AC,B=15, CD是是 腰腰AB上的上的高高. 求证：求证：CD= AB. 例 求证：如果等腰三角形的底角为求证：如果等腰三角形的底角为15，那么腰上，那么腰上 的高是腰长的一半的高是腰长的一半. 1 2 CB A D 证明：证明：AB=AC,B=15, B=ACB=15， DAC=B+ACB= 15+15=30， ADC=90，CD= AC= AB 1 2 探究新知探究新知 CB A D
14、 1 2 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 如图如图,在在ABC中中,B=C=60,点点D在在AB边上边上,DEAB,并并 与与AC边交于点边交于点E.如果如果AD=1,BC=6,那么那么CE等于等于( () ) A.5B.4C.3D.2 B 解析：解析：在在ABC中中,B=C=60, A=60, ABC是等边三角形是等边三角形. DEAB,AED=30, AD=1,AE=2, BC=6,AC=BC=6, CE=AC-AE=6-2=4. 巩固练习巩固练习 方法方法总结总结 含含30角的直角三角形角的直角三角形的性质是表示的性质是表示线段倍线段倍 分关系分关系的一个重要的依据的一个重要的依据,
15、如果问题中出现探如果问题中出现探 究线段倍分关系的结论时究线段倍分关系的结论时,要联想此性质要联想此性质. 连接中考连接中考 （2020恩施州）如图，直线恩施州）如图，直线l1l2，点，点A在直线在直线l1上，点上，点B在直在直 线线l2上上，AB=BC，C=30，1=80，则，则2= . 40 1.下列下列条件中条件中,不能得到等边三角形的是不能得到等边三角形的是( ( ) ) A.有两个内角是有两个内角是60的三角形的三角形 B.三边都相等的三角形三边都相等的三角形 C.有一个角是有一个角是60的等腰三角形的等腰三角形 D.有两个外角相等的有两个外角相等的等腰三角形等腰三角形 D 课堂检测
16、课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2. 三角形三角形三边长分别为三边长分别为a，b，c,它们满足它们满足(a-b)2+|b-c|=0,则则 该三角形该三角形是是 ( ( ) ) A.等腰三角形等腰三角形 B.直角三角形直角三角形 C.等边三角形等边三角形 D.等腰直角三角形等腰直角三角形 C 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 3.如如图图,在正方体的两个面上画了两条对角线在正方体的两个面上画了两条对角线AB,AC,则则 BAC等于等于( ( ) ) A.60B.75 C.90D.135 A 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 4.在在AB
17、C中，中，B90，C30，AB3 则则AC=_，BC=_ 6 A BC 3 30 3 3 课堂检测课堂检测 5.在在ABC中中,AB=AC=10 cm，BD是是高，且高，且ABD=30， 则则CD=_. 5cm或或15cm 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 证明：证明：A=30，CDAB，ACB=90 BC= B=60， BD= BD= 1、已知已知:如图如图,在在ABC中，中，ACB=90， A=30，CDAB于于D 求证求证:BD= 4 AB D A C B 30 2 AB ， 2 CB ，. 4 AB 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 BCD=30， 2、如如图
18、图,ADBC,BD平分平分ABC,A=120,C=60, CD=4 cm,求求BC的长的长. 证明证明: :ADBC,A=120,A+ABC=180. 即即ABC=180-A=180-120=60, ABD=DBC=30. BDC是直角三角形是直角三角形(BDC=90). 又又CD=4 cm，BC=2CD=24=8(cm). 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 又又C=60, 如图如图:ABC是等边三角形是等边三角形,点点D,E,F分别在分别在BC,AB,CA边延边延 长线长线上上,且且BE=AF=CD. 求证求证:DEF是等边三角形是等边三角形. 证明：证明：ABC为等边
19、三角形为等边三角形, BAC=ABC=60,AB=AC=BC, EAF=EBD=120, BE=CD,BE+AB=BC+CD,即即AE=BD, 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 在在AEF和和BDE中中, AEF BDE(SAS),EF=ED, 同理可得同理可得AEF CFD, EF=FD,EF=ED=FD, DEF为等边三角形为等边三角形. = = = BEAF EBDEAF BDAE ， ， ， 课堂检测课堂检测 课堂小结课堂小结 等腰三角形等腰三角形 的拓展的拓展 三条边都相等的三角形三条边都相等的三角形是等边三角形是等边三角形 等边三角形等边三角形 的判定的判定 特殊的直角三特殊的直角三 角形的性质角形的性质 三个角都相等的三角形三个角都相等的三角形是等边三角形是等边三角形 有一个角等于有一个角等于60的等腰三角形的等腰三角形是是等边三角形等边三角形 在直角三角形中在直角三角形中, , 如果如果有一个锐角等于有一个锐角等于30, ,那那 么么它所对的直角边等于斜边的它所对的直角边等于斜边的一半一半 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
