1、北师大版北师大版 八年级八年级 数学数学 下下册册 平行四平行四 边形的边形的 性质性质 边边 平行四边形的对边平行平行四边形的对边平行 平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等 角角 平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等 平行四边形的邻角互补平行四边形的邻角互补 平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分 对称性对称性平行四边形是中心对称图形平行四边形是中心对称图形 对角线对角线 知识知识回顾：回顾： 导入新知导入新知 思考思考: : 周末周末，小明的爸爸带着他回到了老家，看望，小明的爸爸带着他回到了老家，看望乡下的乡下的爷爷爷爷.午午 饭饭后，小明的爷爷准备给他心爱的小菜园扎
2、篱笆，地上散落着后，小明的爷爷准备给他心爱的小菜园扎篱笆，地上散落着 很多长短不一的细很多长短不一的细木棒木棒.这时这时小明的爸爸说：小明的爸爸说：“小明，你们现在小明，你们现在 已经开始学习平行四边形了，你能不能挑四根细木棒拼一个平已经开始学习平行四边形了，你能不能挑四根细木棒拼一个平 行四边形呢？行四边形呢？” (2)(2)他他怎样才能拼接成平行四边形怎样才能拼接成平行四边形？ 为什么为什么？ 你能为小明出谋划策吗？你能为小明出谋划策吗？ (1)(1)他他应该选什么规格的细木棒？应该选什么规格的细木棒？ 导入新知导入新知 1. 经历经历平行四边形平行四边形判定判定方法的方法的探究过程，掌探
3、究过程，掌 握说理的基本方法握说理的基本方法. . 2. 平行四边形平行四边形判定方法的理解和灵活判定方法的理解和灵活应用应用. . 素养目标素养目标 活动活动：用用两根长两根长30cm的木条和两根长的木条和两根长20cm的木条作为四边形的木条作为四边形 的四条边，能否拼成一个平行四边形？与同伴进行交流的四条边，能否拼成一个平行四边形？与同伴进行交流. 猜测：两组对边分别相等的四边形是猜测：两组对边分别相等的四边形是 平行四边形平行四边形. 20cm 30cm 探究新知探究新知 知识点 1 平行四边形的判定定理平行四边形的判定定理1 1 已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCD中，中，
4、AB=CD,AD=CB. 求证：四边形求证：四边形ABCD是平行四边形是平行四边形. 根据平行四边形定义证明根据平行四边形定义证明 证明四边形两组对边分别平行证明四边形两组对边分别平行 通过角之间的关系得到平行通过角之间的关系得到平行 通过三角形全等找到角之通过三角形全等找到角之 间的关系间的关系 通过作辅助线可以构造出全通过作辅助线可以构造出全 等三角形等三角形 猜想验证：猜想验证： 思路：思路： 探究新知探究新知 已知：已知： 四边形四边形ABCD中，中，AB=CD，AD=CB. 求证：求证： 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形. 连接连接BD， 在在ABD和和CDB中中, AB
5、=CD, BD=DB, AD=CB, ABD CDB(SSS). 1=2 , 3=4. ABCD , ADCB 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形. 证明：证明： A B C D 1 4 2 3 探究新知探究新知 两组对边两组对边分别相等分别相等的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形. AB=CD， AD=BC， 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形. 几何语言：几何语言： 平行四边形判定定理平行四边形判定定理1 1： B D C A 结论结论 探究新知探究新知 例例 如如图图1,窗框和窗扇窗框和窗扇用用“滑块铰链滑块铰链”连接连接,图图2是图是图1中中“滑块滑块 铰链铰链
6、”的的平面示意图平面示意图,滑轨滑轨MN安装在窗框上安装在窗框上,托悬臂托悬臂DE安装在安装在 窗扇上窗扇上,交交点点A处装有滑块处装有滑块,滑块可以左右滑动滑块可以左右滑动,支点支点B,C,D始终在始终在 一直线上一直线上,延长延长DE交交MN于点于点F.已知已知AC=DE=20 cm,AE=CD=10 cm,BD=40 cm. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形素养考点素养考点 1 探究新知探究新知 ( (1) )窗扇完全打开窗扇完全打开,张角张角CAB=85,求求 此时窗扇与窗框的夹角此时窗扇与窗框的夹角DFB的度数的度数. ( (2) )窗扇部分打
7、开窗扇部分打开,张角张角CAB=60,求此时点求此时点A,B之间的之间的距距 离离(精确到精确到0.1 cm). (参考数据参考数据: 1.732, 2.449)36 探究新知探究新知 解：解：( (1) )AC=DE=20 cm,AE=CD=10 cm, 四边形四边形ACDE是平行四边形是平行四边形,ACDE,DFB=CAB, CAB=85,DFB=85. ( (2) )作作CGAB于点于点G, AC=20 cm，CGA=90,CAB=60, AG= AC=10 cm, CG= cm, BD=40 cm，CD=10 cm, CB=30 cm, BG= (cm), AB=AG+BG=10+10
8、 10+102.449=34.4934.5(cm), 即即A,B之间的距离之间的距离约约为为34.5 cm. 1 2 22 10 3ACAG 22 3010 3106 （） 6 探究新知探究新知 方法方法总结总结 从从两边的角度证明平行四边形的方法两边的角度证明平行四边形的方法 ( (1) )两组对边分别两组对边分别_的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形. ( (2) )两组对边分别两组对边分别_的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形. 平行平行 相等相等 探究新知探究新知 如图所示，平行四边形如图所示，平行四边形ABCD中，中，AE=CG，DH=BF，则四边，则四边 形形EFGH是是
9、. 平行四边形平行四边形 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 小小明的爸爸又考验小明的爸爸又考验小明：明：“小明啊，如果只用两根相等的小明啊，如果只用两根相等的 细木棒，你能不能摆成细木棒的四个端点恰好是一个平行四细木棒，你能不能摆成细木棒的四个端点恰好是一个平行四 边形的四个顶点呢？边形的四个顶点呢？” （2）如果）如果四边形有一组对边相等，那么还需要添四边形有一组对边相等，那么还需要添 加什么条件，才能使它成为平行四边形加什么条件，才能使它成为平行四边形？ （1）你）你认为小明能做到吗？认为小明能做到吗？ 探究新知探究新知 平行四边形的判定定理平行四边形的判定定理2 2 知识点 2 思考思
10、考: : AB C D 猜想：猜想： 一组对边一组对边 的四边的四边 形是形是平行四边形平行四边形. 平行且相等平行且相等 探究新知探究新知 将将两根两根同样长同样长的木条的木条AD，BC平行放置平行放置,再用木条再用木条AB，DC 加固加固,得到的四边形得到的四边形ABCD是平行四边形是平行四边形. A B C D 猜想：猜想：一组对边一组对边平行且相等平行且相等的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形. 思考思考: : 探究新知探究新知 证明方法证明方法1：根据平行：根据平行 四边形定义证明四边形定义证明 你能想到几种证你能想到几种证 明方法？明方法？ 证明方法证明方法2：根据两组：根据两
11、组 对边分别相等的四边形对边分别相等的四边形 是平行四边证明是平行四边证明 连接四边形对角线连接四边形对角线 构造全等三角形构造全等三角形 如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AB CD.求证：四边形求证：四边形ABCD是是 平行四边形平行四边形. 猜想验证：猜想验证： 探究新知探究新知 证明：证明：连接连接AC. ABCD， BAC=DCA. 又又 AB=CD , AC=CA, BAC DCA. ACB=CAD. 四边形四边形ABCD是是平行四边形平行四边形. BCDA. 如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AB CD.求证：四边形求证：四边形ABCD是是 平行四边形平行四边
12、形. 方法方法1 1： 探究新知探究新知 证明：证明：连接连接AC. ABCD, BAC=DCA. 又又 AB=CD AC=CA, BAC DCA. BC=AD. 四边形四边形ABCD是是平行四边形平行四边形. 如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AB CD.求证：四边形求证：四边形 ABCD是平行四边形是平行四边形. 方法方法2 2： 探究新知探究新知 一组对边一组对边平行且相等平行且相等的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形. AB=CD， ABCD， 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形. 几何语言：几何语言： 平行四边形判定定理平行四边形判定定理2 2 B D C A
13、 结论结论 探究新知探究新知 例例1 如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，已知中，已知AE,CF分别是分别是DAB, BCD的角平分线，试证明四边形的角平分线，试证明四边形AFCE是平行四边形是平行四边形 证明：证明：在平行四边形在平行四边形ABCD中，中， AE,CF分别是分别是DAB, BCD的的角平分线角平分线, B=D,AB=CD, ADBC, BAE=DCF= DAB= BCD. 1 2 1 2 ABE CDF(ASA). BE=DF.AF=CE. AFCE, 四边形四边形AFCE是平行四边形是平行四边形(一组对边平行且相等一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形的四边形
14、是平行四边形）. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形素养考点素养考点 2 探究新知探究新知 如如图，图，AC/DE,点点B在在AC上，且上，且AB=DE=BC.找出图中的平行找出图中的平行 四边形，并说明四边形，并说明理由理由. 解：解：AC/DE且且AB=DE， 四边形四边形ABDE是是平行四边形平行四边形. AC/DE且且DE=BC, 四边形四边形BCDE是是平行四边形平行四边形. 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 如图，在如图，在平行四边形平行四边形ABCD中，中，E,F分别是分别是AD和和BC的中点的中点 求证：四边形求证：四边形BFDE是平
15、行四边形是平行四边形. 证明：证明： 四边形四边形ABCD是是平行四边形平行四边形, AD=CB， AD/BC. 又又E,F分别是分别是AD和和CB的的中点中点, ED=FB，EDFB. 四边形四边形BFDE是是平行四边形平行四边形. ED= AD, BF= BC. 2 1 2 1 例2 探究新知探究新知 方法方法总结总结 从从边的角度判定平行四边形的边的角度判定平行四边形的“两点注意两点注意” (1)已知已知两组对边两组对边:可以通过判定这可以通过判定这两组对边分别平行两组对边分别平行,也可以通也可以通 过判定这过判定这两组对边分别相等两组对边分别相等来证明四边形是平行四边形来证明四边形是平
16、行四边形. (2)已知已知一组对边一组对边:需要证明这需要证明这一组对边平行且相等一组对边平行且相等. 探究新知探究新知 四边形四边形ABCD中中,AB=CD,ABCD,则下列结论中错误则下列结论中错误的是的是 ( ( ) ) A.A=C B.ADBC C.A=B D.对角线互相平分对角线互相平分 C 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 我们我们可以从角出发来判定一个四可以从角出发来判定一个四 边形是否为平行四边形吗？边形是否为平行四边形吗？ A B C D 你能根据你能根据平行四边形的定义平行四边形的定义证明它们吗？证明它们吗？ 探究新知探究新知 知识点 3由由定义拓展判定定义拓展判定平行四
17、边形平行四边形 思考思考: : 已知：四边形已知：四边形ABCD中，中，A=C，B=D， 求证：四边形求证：四边形ABCD是平行四边形是平行四边形. A B C D 又又A=C，B=D, A+C+B+D=360, 2A+2B=360, 即即A+B=180. ADBC. 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形. 同理得同理得 AB CD, 证明：证明： 定义拓展判定定义拓展判定： 两组对角分别相等的两组对角分别相等的 四边形是四边形是平行四边形平行四边形. . 验证：验证： 探究新知探究新知 已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCD中，中，B=D，1=2，求求 证：四边形证：四边形
18、ABCD是是平行四边形平行四边形. 1 2 证明证明1 1：在在ABC和和CDA中，中， B=D，1=2，CA=AC, ABC CDA. AB=DC，BC=DA. 四边形四边形ABCD是是平行四边形平行四边形. 巩固练习巩固练习 证明证明2 2：在在ABC和和CDA中，中， B=D，1=2，CA=AC, ABC CDA. AB=CD，ABCD. 四边形四边形ABCD是是平行四边形平行四边形. 巩固练习巩固练习 1 2 证明证明3 3：在在ABC和和CDA中，中， B=D，1=2， BCA=DAC. ABCD，ADBC. 四边形四边形ABCD是是平行四边形平行四边形. 连接中考连接中考 （202
19、0鸡西）如图，在四边形鸡西）如图，在四边形ABCD中，中，ADBC， 在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条 件件 ，使四边形，使四边形ABCD是平是平 行四边形（填一个即可）行四边形（填一个即可）. ABCD（答案不唯一）（答案不唯一） 1.在四边形在四边形ABCD中中,若若AD=8,AB=4,那么当那么当BC=_, CD=_时时,四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形. 8 4 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2.如如图所示图所示,在四边形在四边形ABCD中中,ADCB,且且ADBC,BC=6 cm,动动 点点P,
20、Q分别从分别从A,C同时出发同时出发,P以以1 cm/s的速度的速度由由A向向D运动运动,Q以以2 cm/s的速度由的速度由C向向B运动运动,则则_秒秒后四边形后四边形ABQP为平行四为平行四 边形边形. 2 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 3.如图如图,在四边形在四边形ABCD中中,ABCD,要使四边形要使四边形ABCD是平行四边是平行四边 形形,下列添加的条件不正确的下列添加的条件不正确的是是( ( ) ) B A.AB=CD B.BC=AD C.A=C D.BCAD 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 4.如图如图,在四边形在四边形ABCD中中
21、,ADBC,要使四边形要使四边形ABCD成为成为平行四平行四 边形边形,则应增加的条件则应增加的条件是是( ( ) ) B A.AB=CD B.BAD=DCB C.AC=BD D.ABC+BAD=180 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 5.如如图图,在平行四边形在平行四边形ABCD中中,E,F分别是分别是AB,CD上上的点的点,且且 EFBC,DEBF,则图中共有则图中共有_个个平行四边形平行四边形.(平行四平行四 边形边形ABCD除外除外). 3 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 1.如如图图,BD是是ABC的角平分线的角平分线,点点E,F分别在
22、分别在BC,AB上上,且且 DEAB,BE=AF.求证求证:四边形四边形ADEF是平行四边形是平行四边形. 证明证明: : BD是是ABC的角平分线的角平分线, ABD=DBE. DEAB, ABD=BDE. DBE=BDE.BE=DE. BE=AF,AF=DE. AFDE, 四边形四边形ADEF是平行四边形是平行四边形. 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 2.如如图图,已知已知ABC,分别以分别以ABC的三边为边在的三边为边在ABC的同侧作的同侧作 三个等边三角形三个等边三角形:ABE,BCD,ACF,求证求证:四边形四边形DEAF是平是平 行四边形行四边形. 证明证明
23、: : ABE,BDC都是都是等边三角形等边三角形, BE=AB,BD=BC,EBA=DBC=60, DBE=60-DBA,ABC=60-DBA, DBE=ABC.在在DBE和和ABC中中, DBE CBA(SAS),DE=AC. BEAB DBECBA BDBC ， ， ， 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 又又ACF是等边三角形是等边三角形,AC=AF,DE=AF. 同理可得同理可得:ABC FDC,DF=AB=AE. DE=AF,EA=DF,四边形四边形DEAF为平行四边形为平行四边形. 如如图图,在在 ABCD中中,点点E,F在对角线在对角线AC上上,且且AE=C
24、F.求证求证:四边形四边形 DEBF是平行四边形是平行四边形. 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 证明证明: :方法一方法一:(利用两组对边分别相等利用两组对边分别相等) 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形,ADCB,AD=CB, DAE=BCF. 在在ADE和和CBF中中, ADE CBF,DE=BF, 同理可得同理可得,ABE CDF,BE=DF, 四边形四边形DEBF是平行四边形是平行四边形. ADCB DAEBCF AECF ， ， ， 课堂检测课堂检测 方法二方法二:(利用一组对边平行且相等利用一组对边平行且相等) 四边形四边形ABCD是平行四边形是平
25、行四边形,ADCB,AD=CB, DAE=BCF. 在在ADE和和CBF中中, ADE CBF.DE=BF,ADE=CBF. DEF=DAE+ADE,BFE=BCF+CBF, DEF=BFE.DEBF.又又DE=BF, 四边形四边形DEBF是平行四边形是平行四边形. ADCB DAEBCF AECF ， ， ， 课堂检测课堂检测 平 行 四 边平 行 四 边 形 的 判 定形 的 判 定 定义拓展法定义拓展法 判定定理判定定理1 判定定理判定定理2 已知已知一组对边平行一组对边平行，可以，可以 证证另一组对边平行另一组对边平行；也可证；也可证 这组对边这组对边相等相等. 已知已知一组对边相等一组对边相等，可以证，可以证 另一组对边相等另一组对边相等；也可证这组；也可证这组 对边对边平行平行. 已知已知一组对角相等一组对角相等，再证，再证 另一组对角相等另一组对角相等. 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
