1、北师大版北师大版 八年级八年级 数学数学 下下册册 如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均 分给两个小朋友，要求两人所分的分给两个小朋友，要求两人所分的大小相同大小相同 ，请设计合理的解决方案；若平均分给四个，请设计合理的解决方案；若平均分给四个 小朋友，要求他们所分的小朋友，要求他们所分的大小都相同大小都相同，请设，请设 计合理的解决方案；计合理的解决方案； 想一想：想一想： 导入新知导入新知 如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分 给四个小朋友，要求四人所分的给四个小朋友，要求四人所分的形状和大小形状和大小 都相同，请设计合理
2、的解决方案都相同，请设计合理的解决方案. 想一想：想一想： 导入新知导入新知 已知已知:如图如图,A,B两地被池塘隔开两地被池塘隔开,在没有任何测量工具的在没有任何测量工具的 情况下情况下, 通过通过学习方法估测出了学习方法估测出了A,B两地之间的距离两地之间的距离:先在先在A B外选一点外选一点C,然后步测出然后步测出AC,BC的的中点中点M,N,并测出并测出MN的长的长, 由此他就知道了由此他就知道了A,B间的距离间的距离.你能说出其中的道理吗你能说出其中的道理吗? C M B A N 想一想：想一想： 导入新知导入新知 1. 理解三角形理解三角形中位线中位线的的概念，探索三角形中概念，探
3、索三角形中 位线定理位线定理. . 素养目标素养目标 2. 能够能够利用平行四边形的性质和判定证明利用平行四边形的性质和判定证明三三 角形的中位线定理角形的中位线定理. . 3. 能够能够利用利用中位线定理中位线定理解决相关问题解决相关问题 思考：思考： （1 1）你你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗? （2）连接连接每两边的中点每两边的中点,看看得到了什么样的图形看看得到了什么样的图形? 四个全等的三角形四个全等的三角形 探究新知探究新知 知识点 1 三角形的中位线及其性质三角形的中位线及其性质 连接三角形两边中点的线段叫做连接三角形两边中点的
4、线段叫做三角形的中位线三角形的中位线. A BC D E 两层含义两层含义: 如果如果DE为为ABC的中位线，的中位线， 那么那么 D,E分别为分别为AB,AC的的 . 如果如果D,E分别为分别为AB,AC的中点的中点,那么那么DE 为为ABC的的 ； 中位线中位线 中点中点 结论结论 探究新知探究新知 A BC （1）画）画出出ABC中所有的中中所有的中线线. （2）画）画出三角形的所有中线并说出中位线和中线的区别出三角形的所有中线并说出中位线和中线的区别. D E F 探究新知探究新知 做一做做一做 思考思考：你你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一
5、个与 其面积相等的平行四边形吗其面积相等的平行四边形吗？ 小明的做法：将小明的做法：将ADE绕点绕点E按按顺时针顺时针方向方向旋转旋转180到到 CFE的位置（的位置（如图如图），这样就得到了一个），这样就得到了一个与与ABC面积相面积相 等的平行四边形等的平行四边形DBCF. A DE F CB 探究新知探究新知 猜测：猜测：三角形三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证 明你的猜想吗？明你的猜想吗？ A DE F CB DE和边和边BC的关系的关系 数量关系：数量关系： 位置关系：位置关系： 平行平行 DE是是BC的一半的一半 能说出理由吗能说
6、出理由吗? 探究新知探究新知 测量：测量： ( (1) )ADE, ABC度数度数; ( (2) ) DE,BC 长度长度. 测量法验证：测量法验证： 探究新知探究新知 B E D C A 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，DE是是ABC的中位线的中位线. 求证：求证： DE BC,DE= BC. E A B C D F 1 2 证明证明: :如图如图,延长延长DE至至F,使使EF=DE,连接连接CF. AE=CE, AED=CEF, ADE CFE(SAS), AD=CF,A=ECF. CFAB. AD=BD, 四边形四边形DBCF是平行四边形是平行四边形. BD=CF. 证明证明法
7、验证：法验证： 探究新知探究新知 DFBC,DF=BC. DEBC, 11 . 22 D ED FB C 三角形中位线定理：三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 用符号语言表示用符号语言表示 D A BC EDE是是ABC的的中位线，中位线， DEBC, 1 . 2 D EBC 结论结论 探究新知探究新知 【定理的理解定理的理解】 (1)从条件看，以后我们看到从条件看，以后我们看到中点中点，尤其是两个或者两个以，尤其是两个或者两个以 上的中点时我们就要联想到上的中点时我们就要联想到三角形的中位线定理三角形的中位线
8、定理. (2)从结论看，它既可以得到线段的从结论看，它既可以得到线段的位置关系位置关系（平行平行），又），又 可以得到线段的可以得到线段的数量关系数量关系（倍分关系倍分关系），大家以后在解决），大家以后在解决 相关问题时要两方面结合起来灵活应用相关问题时要两方面结合起来灵活应用. 探究新知探究新知 A B C D E 中点中点 中点中点 （1）三角形中位线三角形中位线定理定理. A B C D 中点中点 （2）直角三角形斜边上的中直角三角形斜边上的中 线等于斜边的线等于斜边的一半一半. A B C 300 （3）直角三角形直角三角形300角所对的角所对的 直角边等于斜边的直角边等于斜边的一半一
9、半. CD = AB DE = BC BC = AB 2 1 2 1 2 1 证明证明线段倍分关系的方法常有三种线段倍分关系的方法常有三种： 探究新知探究新知 例例 如如图图,在在ABC中中,ACB=60,AC=1,D是边是边AB的中点的中点,E是是 边边BC上一点上一点.若若DE平分平分ABC的周长的周长,则则DE的长是的长是_. 3 2 三角形中位线定理三角形中位线定理素养考点素养考点 1 探究新知探究新知 证明证明: :延长延长BC至至M，使，使CM=CA，连接，连接AM，作，作CNAM于点于点N. DE平分平分ABC的周长，的周长，ME=EB. 又又AD=DB，DE= AM，DEAM.
10、 ACB=60，ACM=120. CM=CA， ACN=60，AN=MN. 1 2 3 sin= 2 ，ANACACN 3 2 ，AM 3 . 2 DE 探究新知探究新知 方法方法总结总结 与与中位线定理有关的辅助线作法中位线定理有关的辅助线作法 ( (1) )如果有如果有中线中线可将中线可将中线延长一倍延长一倍. ( (2) )如果有如果有线段倍分问题线段倍分问题时可考虑作时可考虑作中位线中位线. ( (3) )如果有如果有中点中点,可在同一三角形一边上取中点可在同一三角形一边上取中点,作中作中 位线位线,或或构造一个三角形构造一个三角形,使图形中的线段为所构造使图形中的线段为所构造 三角形
11、的三角形的中位线中位线. 探究新知探究新知 如如图图,在在RtABC中中,ACB=90,A=30,D,E,F分别分别为为AB,AC,AD 的中点的中点,若若BC=2,则则EF的长度的长度为为 ( ( ) ) A. B. 1 C. D. B 1 2 3 2 3 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 已知已知:如图如图,在四边形在四边形ABCD中中, E,F,G,H分分 别为各边的中点别为各边的中点. 求证求证:四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形. A B C H D E F G 分析分析: :将四边形将四边形ABCD分割为三角形分割为三角形,利用三角形的利用三角形的中位线中位线可转可转
12、化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明. 探究新知探究新知 中点多边形中点多边形知识点 2 思考思考: : 证明证明: :连接连接AC. E,F,G,H分别为各边的分别为各边的中点中点, EFHG, EF=HG. 四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形. A B C H D E F G EFAC, , 1 2 EFAC HGAC, . 1 2 HGAC 探究新知探究新知 顺次顺次连接四边形各边中点的线段组成一个连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形平行四边形. 顺次顺次连接矩形各边中点的线段组成一个连接矩形各边中点的线段组成一个 菱形
13、菱形. 结论结论 探究新知探究新知 猜测猜测: : 菱形菱形 （1） 顺次连结平行四边形各边中顺次连结平行四边形各边中 点所得的四边形是什么？点所得的四边形是什么？ （2）顺次连结菱形各边中点所得的）顺次连结菱形各边中点所得的 四边形是什么？四边形是什么？ （3）顺次连结正方形各边中点所）顺次连结正方形各边中点所 得的四边形是什么？得的四边形是什么？ 平行四边形平行四边形 矩形矩形 正方形正方形 做一做做一做: : 探究新知探究新知 （4）顺次连结梯形各边中点所）顺次连结梯形各边中点所 得的四边形是什么？得的四边形是什么？ （5）顺次连结等腰梯形各边中点）顺次连结等腰梯形各边中点 所得的四边形
14、是什么？所得的四边形是什么？ 平行四边形平行四边形 菱形菱形 探究新知探究新知 顺次连接四边形各边顺次连接四边形各边 中点所得到的四边形中点所得到的四边形一一 定是平行四边形定是平行四边形，但它，但它 是否是否特殊的平行四边形特殊的平行四边形 取决于什么呢？取决于什么呢？ 平行四边形 正方形 平行四边形 菱形 矩形 菱形 思考思考: : 探究新知探究新知 （6）顺次连结）顺次连结对角线相等对角线相等的四的四 边形各边中点所得的四边形是边形各边中点所得的四边形是 什么？什么？ （8）顺次连结）顺次连结对角线相等且垂对角线相等且垂 直直的四边形各边中点所得的四的四边形各边中点所得的四 边形是什么？
15、边形是什么？ （7）顺次连结）顺次连结对角线垂直对角线垂直的的 四边形各边中点所得的四边形四边形各边中点所得的四边形 是什么？是什么？ 菱形菱形 矩形矩形 正方形正方形 探究新知探究新知 原四边形两条对角线连接四边中点所得四边形 互相垂直互相垂直矩形矩形 相等相等菱形菱形 互相垂直且相等互相垂直且相等正方形正方形 既不互相垂直也不相等既不互相垂直也不相等平行四边形平行四边形 实际上实际上，顺次连接四边形各边中点所得到的四边形一定是平，顺次连接四边形各边中点所得到的四边形一定是平 行四边形，但它是否特殊的平行四边形取决于它的行四边形，但它是否特殊的平行四边形取决于它的对角线是对角线是 否垂直或者
16、是否相等否垂直或者是否相等，与是否互相平分无关，与是否互相平分无关. 探究新知探究新知 总结总结: : 例例 如如图图,平行四边形平行四边形ABCD的对角线的对角线AC,BD相交于点相交于点O,且且E,F,G,H 分别分别是是OA,OB,OC,OD的中点的中点. 求证求证:四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形. 中点多边形中点多边形素养考点素养考点 2 探究新知探究新知 证明证明：四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形, AB CD,AB= CD. E,F,G,H分别是分别是OA,OB,OC,OD的中点的中点, EF AB,EF= AB, GH CD,GH= CD. EF GH,
17、EF= GH, 1 2 1 2 四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形. 方法方法总结总结 关于关于中点多边形的几个结论中点多边形的几个结论 1.中点多边形与原多边形形状中点多边形与原多边形形状_. 2.中点多边形的各边与原多边形各边中点多边形的各边与原多边形各边_,且且等于等于原多边原多边 形各边的形各边的_. 3.中点多边形的周长等于原多边形周长的中点多边形的周长等于原多边形周长的_,面积面积等于等于 原多边形面积的原多边形面积的_. 不一定相不一定相同同 平行平行 一半一半 一半一半 1 4 探究新知探究新知 如如图图,点点E,F,G,H分别为四边形分别为四边形ABCD的四边的四边
18、AB,BC,CD,DA的中的中 点点,则关于四边形则关于四边形EFGH,下列说法正确的下列说法正确的为为( ( ) ) A.一定不是平行四边形一定不是平行四边形 B.可能是轴对称可能是轴对称图形图形 C.一定不是中心对称图形一定不是中心对称图形 D.以上说法都以上说法都不对不对 B 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 连接中考连接中考 （2020赤峰）如图，在赤峰）如图，在ABC中，点中，点D，E分别是边分别是边AB，AC的的 中点，点中点，点F是线段是线段DE上的一点，连接上的一点，连接AF，BF，AFB=90， 且且AB=8，BC=14，则，则EF的长是的长是 ( ( ) ) A.2 B.
19、3 C.4 D.5 B 1.如如图图,点点D,E分别是分别是ABC边边BA,BC的的中点中点,AC=3,则则DE 的长的长为为 ( ( ) ) A.2 B. C.3 D. D 4 3 3 2 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2.如果如果三角形的两边分别为三角形的两边分别为4和和6,那么连接该那么连接该三角形三三角形三边中点边中点 所得三角形的周长可能是所得三角形的周长可能是( ( ) ) A.6 B.8 C.10 D.12 B 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 3.如如图图,D是是ABC内一点内一点,BDCD,AD=6,BD=4,CD=3,E,F,
20、G,H分分 别是别是AB,AC,CD,BD的中点的中点,则则四边形四边形EFGH的周长是的周长是_. 11 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 4.如如图图,平行四边形平行四边形ABCD的对角线的对角线AC,BD相交于点相交于点O,E是是AB中点中点, 且且AE+EO=4,则则平行四边形平行四边形ABCD的周长的周长为为( ( ) ) A.20B. 16 C. 12 D.8 B 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 5.如如图图,在四边形在四边形ABCD中中,AB=CD,E,F,G分别为分别为AD,BD,BC 的中点的中点.若若FEG=25,ABD=20,
21、则则BDC的的度数度数为为 _. 70 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 1.如如图所示，图所示，已知已知点点E为平行四边形为平行四边形ABCD中中DC边的延长线边的延长线 上的一点，且上的一点，且CE=DC，连接，连接AE，分别交，分别交BC，BD于点于点F，G， 连接连接AC交交BD于点于点O，连接，连接OF. 求证：求证：AB=2OF 证明：证明：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形， ABCD，AD=BC CE=CD，ABCE， 四边形四边形ABEC为平行四边形为平行四边形 BF=FC，OF AB，即，即AB=2OF 1 2 课堂检测课堂检测 能 力 提
22、 升 题能 力 提 升 题 2.已知已知：如图所示，在：如图所示，在ABC中，中，ADDB，BEEC，AFFC 求证：求证：AE,DF互相平分互相平分 F E D B A 证明证明：连结连结DE,EF ADDB，BEEC， DEAC. 同理同理EFAB 四边形四边形ADEF是平行四边形是平行四边形 AE,DF互相互相平分平分 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 在在RtABC中中,AC=5,BC=12,D为为AC的中点的中点,E为为BC的中点的中点,则则DE 的长为的长为. 课堂检测课堂检测 解析解析: :当当AC,BC为直角边为直角边时时,根据根据勾股定理勾股定理得得:
23、AB= =13, 又又D为为AC的中点的中点,E为为BC的中点的中点,DE= AB= . 当当BC为斜边为斜边,AC为直角边为直角边时时,根据根据勾股定理勾股定理得得: AB= , 又又D为为AC的中点的中点,E为为BC的中点的中点,DE= AB= . 答案答案: : 或或 . 22 25144ACBC 1 2 13 2 22 BCAC14425119 1 2 119 2 13 2 119 2 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 三角形中三角形中 位线位线 定定 义义 连结三角形连结三角形两边中点两边中点的线段叫的线段叫 做三角形的做三角形的中位线中位线. 性 质性 质 三角形的中位线三角形的中位线平行于第三边平行于第三边， 并且并且等于第三边的一半等于第三边的一半. 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
