1、理科数学试题 第 1页（共 18页）理科数学试题 第 2页（共 18页） 内装订线 外装订线 学校：_姓名：_班级：_考号：_ 绝密绝密启用前启用前 2021 年高考数学模拟考场仿真演练卷（全国卷）03 理科数学 （考试时间：120 分钟试卷满分：150 分） 注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2回答第卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4考试结束后，将
2、本试卷和答题卡一并交回。 第卷 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） 1已知集合)ln(|NxxeyxA，11，B，则BA的子集个数为（） 。 A、4B、8C、16D、32 2在复平面内，复数 2 1 1 1i i i z 对应的点位于（） 。 A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限 3如图所示，在ABCRt中， 90C， 30B，在BAC内过点A任作一射线与BC相交于点D，使 得 30DAC的概率为（） 。 A、 5 1 B、 4 1 C、 3 1 D、 2 1 4函数|2|sin)()(xeexf xx
3、 的图像可能是（） 。 A、B、C、D、 5 如图所示， 图中小正方形的边长为1， 粗线画出的是某空间几何体的三视图， 则该几何体的表面积为 （） 。 A、2416 B、2417 C、2418 D、2420 6已知函数)(xfy 对任意实数x都满足)()(xfxf，当) 2 ( ，x时，xxftan)(，若) 1 (fa ， )2(fb ，)3(fc ，则a、b、c的大小关系为（） 。 A、cbaB、cabC、bacD、abc 7 过双曲线1 4 2 2 2 t y x的右焦点 2 F作垂直于x轴的直线交双曲线于M、N两点， 1 F为左焦点， 当 1 MNF 的面积为58时，双曲线的离心率为（
4、） 。 A、2B、3C、2D、5 8 九章算术中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍， 小鼠日自半， 问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题， 现执行该程序框图， 输入的d的值为33， 则输出的i的值为（） 。 A、4 B、5 C、6 D、7 9下列说法正确的是（） 。 A、将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍 B、若四条线段的长度分别是1、3、5、7，从中任取3条，则这3条线段能构成三角形的概率为 2 1 C、线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D、设两个独立事件A和B都不
5、发生的概率为 9 1 ，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率 相同，则事件A发生的概率为 3 2 10 已知正三棱柱 111 CBAABC 的各棱长均为2， 底面ABC与底面 111 CBA的中心分别为O、 1 O，P是 1 OO上 一动点，记三棱锥ABCP 与三棱锥 111 CBAP 的体积分别为 1 V、 2 V，则 21 VV 的最大值为（） 。 A、 3 1 B、 3 3 C、 3 2 D、 3 32 11关于函数|sin| ) 4 sin(2|)(xxxf 有下述四个结论：)(xf的最小正周期为；)(xf的最大值 为21；)(xf的最小值为 2 2 ；)(xf在区间) 2
6、, 4 ( 上单调递增；其中所有正确结论的编号是（） 。 A、B、C、D、 12已知点)20(，A，椭圆E：1 2 2 2 2 b y a x (0 ba)的离心率为 2 3 ，F是椭圆E的右焦点，直线AF的 理科数学试题 第 3页（共 18页）理科数学试题 第 4页（共 18页） 内装订线 此卷只装订不密封 外装订线 斜率为 3 32 ，O为坐标原点。设过点A的动直线l与E相交于P、Q两点，当OPQ的面积最大时，直线l 的斜率为（） 。 A、 2 1 B、 2 2 C、 2 3 D、 2 7 第卷 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13如图所示，已知1|OA、2|
7、OB、3|OC，OBOC ， 30AOC，若OByOAxOC，则 yx。 14如图所示，在BCD中，已知 3 6 cosB，A为边BD上的一点，且满足 3 5 ACAB， 60ACD， 则AD。 15若对任意的) 1 2 1 (，x，都有 n n xaxaxaa xx x 2 210 2 21 ，n为正整数，则 31 aa 。 16已知双曲线C：1 2 2 2 2 b y a x (0a，0b)的一个焦点与抛物线E：pxy2 2 (0p)的焦点F重合， 两曲线的一个交点P满足xPF 轴，则双曲线C的离心率为，在点P处双曲线C的切线与抛物线 E的切线所成角的正切值为。(本题第一空 2 分，第二空
8、 3 分) 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 已知各项均为正数的数列 n a的前n项和为 n S，且 nn Sa21。 （1）求数列 n a的通项公式 n a； （2）设数列) 1( 1 nn n aa n 的前n项和为 n T，求 2021 T。 18 （本小题满分 12 分） 如图， 在三棱柱 111 CBAABC 中， 1 ABC为边长为2的等边三角形， 平面 1 ABC平面CCAA 11 ， 四边形CCAA 11 为菱形， 60 11 CAA， 1 AC与CA1相交于点D。 （1）求证：CABD 1 ；
9、 （2）求二面角CABC 1 的余弦值。 19 （本小题满分 12 分） 甲、乙两人玩闯关游戏，游戏规则如下：每人每次同时投掷2颗骰子，由甲先掷自己手中骰子一次，然后乙 掷自己手中骰子一次，然后甲再掷，如此轮流投掷，谁先投掷出的2颗骰子的点数之和为n，则闯关成功， 并停止游戏。 （1）记一次投掷出的骰子中2颗的点数之和为X，求X的数学期望； （2）在甲投掷骰子一次闯关成功的概率最大的条件下，若甲投掷不超过k(2k， Nk)次能确定胜负， 请证明：甲获胜的概率大于乙获胜的概率。 20 （本小题满分 12 分） 已知函数50)( 3 mxxxf在2x处取得极值，Rm。 （1）求m的值与)(xf的单
10、调区间； （2）设20 t，已知函数 t xf xg 16 )( )(，若对于任意 1 x、2 2 ttx，都有1| )()(| 21 xgxg，求实数t 的取值范围。 21 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系中，椭圆C：1 2 2 2 2 b y a x (0 ba)的离心率为 2 2 ，右焦点为F，过点F作斜率为 2 2 的直线l与椭圆C交于A、B两点，已知AOBS AOB tan 4 3 (O为坐标原点)。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若与l平行的动直线m与椭圆C有两个不同的交点M、N，问在椭圆C上是否存在点P(与M、N不 重合)，使PM、PN的斜率存在且乘积恒为 2 1
11、？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目 计分 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 sin22 cos2 y x (为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为 极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为()0，R)。 （1）求曲线C的极坐标方程； （2）若在曲线C上恰好存在3个点到直线l的距离等于1，求的值。 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数| 12| 1|)(xxxf。 （1）解不等式3)(xf
12、； （2）若关于x的不等式axf)(的解集不是空集，求实数a的取值范围。 理科数学试题 第 5页（共 18页）理科数学试题 第 6页（共 18页） 内装订线 外装订线 学校：_姓名：_班级：_考号：_ 2021 年高考数学模拟考场仿真演练卷（全国卷）03 理科数学全解全析 123456789101112 CADABBDCDABD 1已知集合)ln(|NxxeyxA，11，B，则BA的子集个数为（） 。 A、4 B、8 C、16 D、32 【答案】C 【解析】由0 xe且Nx得210，A，则2101，BA， 则BA的子集个数为1624，故选 C。 2在复平面内，复数 2 1 1 1i i i z
13、 对应的点位于（） 。 A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 【答案】A 【解析】i iii ii i z 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 )1)(1 ( )1 ( 2 ， 则z在复平面内对应的点为) 2 1 2 1 ( ，在第一象限，故选 A。 3如图所示，在ABCRt中， 90C， 30B，在BAC内过点A任作一射线与BC相交于点D，使 得 30DAC的概率为（） 。 A、 5 1 B、 4 1 C、 3 1 D、 2 1 【答案】D 【解析】由于在BAC内所做的射线是等可能的，且 60BAC， 故使得 30DAC的概率为 2 1 60 30 P，故选 D。 4函
14、数|2|sin)()(xeexf xx 的图像可能是（） 。 A、B、C、D、 【答案】A 【解析】|2|sin)()(xeexf xx 定义域为R， 且)(|2|sin)(|2|sin)()(xfxeexeexf xxxx ， 则)()(xfxf为奇函数，排除了 B、C， 当 2 x时，00)(| 2 2|sin)() 2 ( 2222 eeeef， 当 2 0 x时，根据指数函数 x ey 单调递增性可知， xx ee ，且0|2|sinx， ) 2 0( ，x时0)(xf，故选 A。 5 如图所示， 图中小正方形的边长为1， 粗线画出的是某空间几何体的三视图， 则该几何体的表面积为 （）
15、 。 A、2416 B、2417 C、2418 D、2420 【答案】B 【解析】由三视图可知，该几何体为一个半圆柱挖去一个半球所得， 故所求几何体的表面积241712146622 222 S，故选 B。 6已知函数)(xfy 对任意实数x都满足)()(xfxf，当) 2 ( ，x时，xxftan)(，若) 1 (fa ， )2(fb ，)3(fc ，则a、b、c的大小关系为（） 。 A、cba B、cab C、bac D、abc 【答案】B 【解析】)()(xfxf，)14. 2()1() 1 (fff， )14. 357. 1 () 2 (， x，xxftan)(在) 2 ( ， 时单调递
16、增， 理科数学试题 第 7页（共 18页）理科数学试题 第 8页（共 18页） 内装订线 此卷只装订不密封 外装订线 )()3() 1 ()2() 2 ( fffff，则cab，故选 B。 7 过双曲线1 4 2 2 2 t y x的右焦点 2 F作垂直于x轴的直线交双曲线于M、N两点， 1 F为左焦点， 当 1 MNF 的面积为58时，双曲线的离心率为（） 。 A、2 B、3 C、2 D、5 【答案】D 【解析】由中点弦公式得 22 2 28)4(2 2 |tt a b MN， 又顶点 1 F到底边MN的高为 2222 52)4(1222ttbac， 则5852)28( 2 1 22 1 t
17、tS MNF ，即0 2 t， 则此双曲线的标准方程为1 4 2 2 y x，此时1a、2b、5c，5e，故选 D。 8 九章算术中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍， 小鼠日自半， 问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题， 现执行该程序框图， 输入的d的值为33， 则输出的i的值为（） 。 A、4 B、5 C、6 D、7 【答案】C 【解析】0i，0S，1x，1y，开始执行程序框图， 1i，11S，2x， 2 1 y， 2i， 2 1 211S，4x， 4 1 y， 5i，33) 16 1 8 1 4 1 2 1 1 ()168421
18、 (S， 32x， 32 1 y，再执行一行，ds 退出循环，输出6i，故选 C。 9下列说法正确的是（） 。 A、将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍 B、若四条线段的长度分别是1、3、5、7，从中任取3条，则这3条线段能构成三角形的概率为 2 1 C、线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D、设两个独立事件A和B都不发生的概率为 9 1 ，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率 相同，则事件A发生的概率为 3 2 【答案】D 【解析】将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的 2 a倍，A 错， 从
19、中任取3条共有4种，若三段能构成三角形,则只有3、5、7一种， 则构成三角形的概率是 4 1 ，B 错， 1|r，两个变量的线性相关性越强，0|r，线性相关性越弱，C 错， 由题意可知， 9 1 )()(BPAP，)()()()(BPAPBPAP，设xAP)(，yBP)(， 则 )1 ()1 ( 9 1 )1)(1 ( yxyx yx ，得 yx xyyx 9 1 1 ，得 9 1 12 2 xx，即 9 1 ) 1( 2 x， 得 3 1 1x（舍）或 3 1 1x，得 3 2 x，即事件A发生的概率为 3 2 ， D 对， 故选 D。 10 已知正三棱柱 111 CBAABC 的各棱长均为
20、2， 底面ABC与底面 111 CBA的中心分别为O、 1 O，P是 1 OO上 一动点，记三棱锥ABCP与三棱锥 111 CBAP的体积分别为 1 V、 2 V，则 21 VV 的最大值为（） 。 A、 3 1 B、 3 3 C、 3 2 D、 3 32 【答案】A 【解析】正三棱柱 111 CBAABC 的各棱长均为2， 360sin22 2 1 111 CBAABC SS，且2 1 OO， 3 32 3 1 )( 3 1 3 1 3 1 11121 111 OOSPOOPSPOSOPSVV ABCABCCBAABC ， 理科数学试题 第 9页（共 18页）理科数学试题 第 10页（共 1
21、8页） 内装订线 外装订线 学校：_姓名：_班级：_考号：_ 由 3 32 2 2121 VVVV得： 3 1 21 VV，当且仅当点P为 1 OO的中点时等号成立， 21 VV 的最大值为 3 1 ，故选 A。 11关于函数|sin| ) 4 sin(2|)(xxxf 有下述四个结论：)(xf的最小正周期为；)(xf的最大值 为21；)(xf的最小值为 2 2 ；)(xf在区间) 2 , 4 ( 上单调递增；其中所有正确结论的编号是（） 。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】| ) 4 sin(2| xy和|sin|xy 的最小正周期均为， |sin| ) 4 sin(2|)(xx
22、xf 的最小正周期为，故正确， 当0 ，x时， 4 cossin2 ) 4 0cos |sin|cossin|)( ， ， xxx xx xxxxf， 当) 4 0 ，x时， 1 2 2 ()(，xf， 当 4 ，x时，)sin(5cossin2)(xxxxf，其中 2 1 tan， 1 2 1 tan，可设) 4 0( ，由 22 x，又 22 ， )(xf在) 24 ， 上单调递增，在 2 ( ，上单调递减， 5)( max xf， 2 2 )( min xf，错误，正确， ) 24 ) 24 ( ，)(xf在) 24 ( ， 上单调递增，正确，故选 B。 12已知点)20(，A，椭圆E：
23、1 2 2 2 2 b y a x (0ba)的离心率为 2 3 ，F是椭圆E的右焦点，直线AF的 斜率为 3 32 ，O为坐标原点。设过点A的动直线l与E相交于P、Q两点，当OPQ的面积最大时，直线l 的斜率为（） 。 A、 2 1 B、 2 2 C、 2 3 D、 2 7 【答案】D 【解析】F坐标)03(，则2a、1b、3c，则E的方程为1 4 2 2 y x ，直线l存在斜率， 则设2 kxy，设)( 11 yxP，、)( 22 yxQ，将2 kxy代入1 4 2 2 y x 得： 01216)41 ( 22 kxxk，由0)34(16 2 k得 4 3 2 k， 14 3414 4)
24、(1| 2 22 21 2 21 2 k kk xxxxkPQ， 又点O到直线PQ的距离 1 2 2 k d， 令tk34 2 ，则 t t t t PQdS OPQ 4 4 4 4 | 2 1 2 ， 则4 4 t t，当且仅当2t时 2 7 k时等号成立，且满足0，1 OPQ S， 当OPQ的面积最大时直线l的斜率为 2 7 ，故选 D。 13如图所示，已知1|OA、2|OB、3|OC，OBOC ， 30AOC，若OByOAxOC，则 yx。 【答案】 2 5 【解析】建系，根据题意可知，)01 ( ，A、)31(，B、) 2 3 2 3 ( ，C， OByOAxOC，则)31()01 (
25、) 2 3 2 3 (，yx， y yx 3 2 3 2 3 ， 2 1 y，2x， 2 5 yx。 理科数学试题 第 11页（共 18页）理科数学试题 第 12页（共 18页） 内装订线 此卷只装订不密封 外装订线 14如图所示，在BCD中，已知 3 6 cosB，A为边BD上的一点，且满足 3 5 ACAB， 60ACD， 则AD。 【答案】362 【解析】令CAD，由题意可得： 3 1 1cos22coscos 2 BB， 3 22 sin， 6 322 60sincos60cossin)60sin(sin D， 在ACD中，由正弦定理得 60sinsin AD D AC ，于是3626
26、0sin sin D AC AD。 15若对任意的) 1 2 1 (，x，都有 n n xaxaxaa xx x 2 210 2 21 ，n为正整数，则 31 aa 。 【答案】4 【解析】 n n xaxaxaa xx x 2 210 2 21 ， )()21 ( 2 210 2 n n xaxaxaaxxx 3 123 2 012100 )2()2()(xaaaxaaaxaaa 02 02 1 0 123 012 10 0 aaa aaa aa a ，解得 3 1 1 0 3 2 1 0 a a a a ，4 31 aa。 16已知双曲线C：1 2 2 2 2 b y a x (0a，0b
27、)的一个焦点与抛物线E：pxy2 2 (0p)的焦点F重合， 两曲线的一个交点P满足xPF 轴，则双曲线C的离心率为，在点P处双曲线C的切线与抛物线 E的切线所成角的正切值为。(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 【答案】)21(，12 【解析】 由题意知， 焦点)0 2 (， p F， 且双曲线C的半焦距 2 p c ， 又xPF 轴， p a b 2 ， 从而c a b 2 2 ， acb2 2 ，即acac2 22 ，则012 2 ee，得双曲线C的离心率12 e， 不妨设点P在第一象限，则在点)( 2 a b cP，处双曲线C的切线方程为1 2 2 a y a cx ， 设其倾斜角为
28、，则12tan a c ， 在) 2 (p p P，处抛物线E的切线方程为) 2 ( p xppy，即 2 p xy，斜率为1， 倾斜角为 4 ，则两切线所成的锐角为 4 ，12 22 2 1tan 1tan ) 4 tan( 。 17 （12 分）已知各项均为正数的数列 n a的前n项和为 n S，且 nn Sa21。 （1）求数列 n a的通项公式 n a； （2）设数列) 1( 1 nn n aa n 的前n项和为 n T，求 2021 T。 【解析】 （1） nn Sa21， nn Sa4) 1( 2 ，即 4 12 2 nn n aa S，1 分 当1n时， 4 12 1 2 1 1
29、 aa a，即0) 1( 2 1 a，解得1 1 a，2 分 当2n时， 4 22 4 12 4 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 nnnnnnnn nnn aaaaaaaa SSa，3 分 化简得)()(2 11 2 1 2 1 nnnnnnnn aaaaaaaa， 又数列 n a各项均为正数，0 1 nn aa，2 1 nn aa，4 分 数列 n a是首项为1、公差为2的等差数列， 122) 1(1nnan；6 分 （2）设 1 ) 1( nn n n aa n b， 由（1）得) 12 1 12 1 () 1( 4 1 ) 12() 12( ) 1( nnnn n b nn n
30、 ，9 分 则 2021212021 bbbT ) 4043 1 4041 1 () 1( 4 1 ) 5 1 3 1 () 1( 4 1 ) 3 1 1 1 () 1( 4 1 202121 ) 4043 1 4041 1 5 1 3 1 3 1 1 1 ( 4 1 ) 4043 1 1( 4 1 4041 1011 。12 分 18 （12 分）如图，在三棱柱 111 CBAABC 中， 1 ABC为边长为2的等边三角形，平面 1 ABC平面CCAA 11 ， 四边形CCAA 11 为菱形， 60 11 CAA， 1 AC与CA1相交于点D。 （1）求证：CABD 1 ； （2）求二面角C
31、ABC 1 的余弦值。 理科数学试题 第 13页（共 18页）理科数学试题 第 14页（共 18页） 内装订线 外装订线 学校：_姓名：_班级：_考号：_ 【解析】 （1）已知侧面CCAA 11 是菱形，D是 1 AC的中点， 1 BCBA， 1 ACBD ，平面 1 ABC平面CCAA 11 ，且BD平面 1 ABC，2 分 平面 1 ABC平面 111 ACCCAA，BD平面CCAA 11 ，CABD 1 ；4 分 （2）如图，以D为原点， 以DA、DB、DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 由已知可得2 1 AC，1AD，3 1 DCDABD，6BC，5 分 )000(
32、，D，)001 (，A，)300(，B，)001( 1 ，C，)030(，C，6 分 设平面ABC的一个法向量)(zyxm，)301(，AB，)330(，BC， 由 0 0 mBC mAB ，得 033 03 zy zx ，可得) 113(，m，8 分 平面 1 ABC平面CCAA 11 ，CAAC 11 ，CD平面 1 ABC， 平面 1 ABC的一个法向量是)030(，DC，10 分 5 5 | cos DCm DCm BDm，11 分 设二面角CABC 1 的平面角为，经观察为锐角， 则 5 5 |cos|cosBDm，。12 分 19 （12 分）甲、乙两人玩闯关游戏，游戏规则如下：每
33、人每次同时投掷2颗骰子，由甲先掷自己手中骰子 一次，然后乙掷自己手中骰子一次，然后甲再掷，如此轮流投掷，谁先投掷出的2颗骰子的点数之和为n， 则闯关成功，并停止游戏。 （1）记一次投掷出的骰子中2颗的点数之和为X，求X的数学期望； （2）在甲投掷骰子一次闯关成功的概率最大的条件下，若甲投掷不超过k(2k， Nk)次能确定胜负， 请证明：甲获胜的概率大于乙获胜的概率。 【解析】 （1）X的所有可能取值分别为2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，1 分 由112得 36 1 6 1 6 1 )2(XP，由12213得 18 1 2 6 1 6 1 )3(XP， 由2213314得 12
34、 1 3 6 1 6 1 )4(XP， 由233214415得 9 1 4 6 1 6 1 )5(XP， 由33244215516得 36 5 5 6 1 6 1 )6(XP， 由3443255216617得 6 1 6 6 1 6 1 )7(XP， 由44355326628得 36 5 5 6 1 6 1 )8(XP， 由455436639得 9 1 4 6 1 6 1 )9(XP， 由55466410得 12 1 3 6 1 6 1 )10(XP， 由566511得 18 1 2 6 1 6 1 )11(XP， 由6612得 36 1 6 1 6 1 )12(XP，3 分 X的分布列为：
35、X23456789101112 P 36 1 18 1 12 1 9 1 36 5 6 1 36 5 9 1 12 1 18 1 36 1 X的数学期望为： 36 5 6 9 1 5 12 1 4 18 1 3 36 1 2)(XE 7 36 1 12 18 1 11 12 1 10 9 1 9 36 5 8 6 1 7， 6 分 （2）由（1）知7n时，甲投掷骰子一次闯关成功且概率最大为 6 1 ， 记甲在k(2k， Nk)次投掷后才闯关成功的概率为 k P， 则甲、乙前) 1( k次闯关均失败， 6 1 ) 6 5 ( )1(2 k k P， k P为在甲投掷不超过k(2k， Nk)次的情
36、况下甲获胜的概率，9 分 记乙在k(2k， Nk)次投掷后才关成功的概率为 k P， 则甲前k次闯关失败，乙前) 1( k次闯关失败，则 6 1 6 5 ) 6 5 ( )1(2 k k P， k P为在甲投掷不超过k(2k， Nk)次的情况下乙获胜的概率， kkk PPP 6 5 ，故甲获胜的概率大于乙获胜的概率。12 分 20 （12 分）已知函数50)( 3 mxxxf在2x处取得极值，Rm。 （1）求m的值与)(xf的单调区间； （2）设20t，已知函数 t xf xg 16 )( )(，若对于任意 1 x、2 2 ttx，都有1| )()(| 21 xgxg，求实数t 的取值范围。
37、【解析】 （1）由题意得)(xf的定义域为R，mxxf 2 3)(，1 分 函数50)( 3 mxxxf在2x处取得极值， 043)2(mf，解得12m，3 分 理科数学试题 第 15页（共 18页）理科数学试题 第 16页（共 18页） 内装订线 此卷只装订不密封 外装订线 则由0)2)(2(3123)( 2 xxxxf得2x或2x，4 分 x、)(xf、)(x f 的关系如下表： x)2(，2)22(，2)2(， )(xf 00 )(x f 极大值极小值 函数)(xf的单调递增区间为)2(，、)2(，单调递减区间为)22(，；6 分 （2）由（1）得函数5012)( 3 xxxf， 当20
38、t时，对任意 1 x、2 2 ttx，都有1| )()(| 21 xgxg，7 分 即当2ttx，时，txfxf16)()( minmax ，8 分 )(xf在22，上单调递减，222tt，)(xf在2tt，上单调递减， 则50)2(12)2()2()( 3 max tttfxf，5012)()( 3 min tttfxf，9 分 则tttxfxf1616126)()( 2 minmax ， 即08236 2 tt，解得2t或 3 4 t，结合20t，得2 3 4 t，11 分 故实数t的取值范围为2 3 4 | tt。12 分 21 （12 分）在平面直角坐标系中，椭圆C：1 2 2 2 2
39、 b y a x (0ba)的离心率为 2 2 ，右焦点为F，过点F作 斜率为 2 2 的直线l与椭圆C交于A、B两点，已知AOBS AOB tan 4 3 (O为坐标原点)。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若与l平行的动直线m与椭圆C有两个不同的交点M、N，问在椭圆C上是否存在点P(与M、N不 重合)，使PM、PN的斜率存在且乘积恒为 2 1 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 【解析】 （1）由椭圆C的离心率 2 2 e得ca2，又 222 cba，cb ，1 分 又直线l的方程为)( 2 2 cxy， 与1 2 2 2 2 2 c y c x 联立消去y得：022 22
40、 ccxx，0恒成立，3 分 设)( 11 yxA，、)( 22 yxB，则cxx 21 、 2 2 21 c xx，4 分 4 )( 2 1 2 2 212121 c cxxcxxyy， 4 3 2 2121 c yyxx，5 分 由AOBS AOB tan 4 3 得AOBAOBOBOAtan 4 3 sin| 2 1 ， 即 2 3 cos|AOBOBOA，即 2 3 OBOA，即 2 3 4 3 2 2121 c yyxx， 2 2 c，2 2 b、4 2 a，椭圆C的标准方程为1 24 22 yx ；7 分 （2）设直线m的方程为nxy 2 1 (1n)， 由 nxy yx 2 1
41、1 24 22 得：022 22 nnxx， 028)2(4)2( 222 nnn，得2|n且1n，9 分 设)( 33 yxM，、)( 44 yxN，则nxx2 43 ，2 2 43 nxx， nnxxyy2)( 2 1 4343 ， 2 2 ) 2 1 )( 2 1 ( 2 4343 n nxnxyy， 设)( 00 yxP， 则 2 1 22 2 2 )( )( 2 0 2 0 2 0 2 0 43430 2 0 43430 2 0 40 40 30 30 nnxx n nyy xxxxxx yyyyyy xx yy xx yy kk PNPM ， 整理得0)2(22 00 2 0 2
42、0 xynxy， 由题意知 2 1 PNPM kk，与n无关，则 02 02 00 2 0 2 0 xy xy ，11 分 得 00 2yx ，代入1 24 2 0 2 0 yx 中得1 0 y， 则满足条件的点P的坐标为) 12(，或) 12(，。12 分 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 sin22 cos2 y x (为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为()0，R)。 （1）求曲线C的极坐标方程； （2）若在曲线C上恰好存在3个点到直线l的距离等于1，求的值。 【解析】 （1）由曲线C的参数方程 sin22 cos2
43、y x (为参数)得：4)2( 22 yx，2 分 即04 22 yyx，又由 222 yx 、cosx、siny得： 0sin4 2 ，即sin4，曲线C的极坐标方程为sin4；4 分 （2）由（1）知曲线C为圆，且其圆心为)20( ，C，半径为2，过原点，5 分 又直线l：的直角坐标方程为0cossinyx，7 分 理科数学试题 第 17页（共 18页）理科数学试题 第 18页（共 18页） 内装订线 外装订线 学校：_姓名：_班级：_考号：_ 若在曲线C上恰好存在3个点到直线l的距离等于1，8 分 则1 )cos(sin |cos2| 22 ，即 2 1 |cos|，又)0， 3 或 3
44、 2 。10 分 23 （10 分）设函数| 12| 1|)(xxxf。 （1）解不等式3)(xf； （2）若关于x的不等式axf)(的解集不是空集，求实数a的取值范围。 【解析】 （1）化简得 2 1 3 2 1 12 13 )( xx xx xx xf ， ， ， ，2 分 画出函数)(xf的图像如图所示： 则)(xf在) 2 1 (，上是减函数，在) 2 1 (，上为增函数，4 分 当 2 1 x时，令3)(xf，解得1x，则当1x时3)(xf， 当 2 1 x时，令3)(xf，解得1x，则当1x时3)(xf， 综上所述，不等式3)(xf的解集为11|xxx或；6 分 （2）由图可知，当 2 1 x时，)(xf取最小值 2 3 ) 2 1 (f， axf)(的解集不是空集， min )(xfa ，即 2 3 a， a的取值范围为) 2 3 (，。10 分
