1、高三数学试题第 1页（共 5 页） 南京市 2021 届高三年级第三次模拟考试 数数学学202105 注意事项：注意事项： 1本试卷考试时间为本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷分，考试形式闭卷 2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分 3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上 第 I 卷（选择题共 60 分） 一一、单项选择题单项选择题(本大题共本大题共 8
2、 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题只有一项是符合题 目要求的目要求的) 1已知集合 Ax|2x4，Bx|x22x30，则 AB A1，2)B(2，3C(1，3D(，3 2已知 i 为虚数单位，若复数 z1 2 3 2 i，则复数1 z的虚部为 A 3 2 B 3 2 C 3 2 iD 3 2 i 3函数 yln|x|cosx 的大致图象是 x y O x y O x y O x y O ABCD 4将 5 名学生分配到 A，B，C，D，E 这 5 个社区参加义务劳动，每个社区分配 1 名学生，且学生甲不能 分配
3、到 A 社区，则不同的分配方法种数是 A72B96C108D120 5已知 cos( 6 )3 4 ，则 sin(2 6 )cos2( 2 12)的值为 A1 4 B1 2 C3 7 8 D1 6声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强通常人耳能听到声音的最小声强为 I010 12(瓦/ 米 2)对于一个声音的声强 I，用声强 I 与 I0比值的常用对数的 10 倍表示声强 I 的声强级，单位是“分 贝”，即声强 I 的声强级是 10lgI I0 (分贝)声音传播时，在某处听到的声强 I 与该处到声源的距离 s 的平 方成反比，即 I k s2 (k 为常数)若在距离声源 15 米的地方
4、，听到声音的声强级是 20 分贝，则能听到 该声音(即声强不小于 I0)的位置到声源的最大距离为 A100 米B150 米C200 米D1510米 高三数学试题第 2页（共 5 页） 7在正方形 ABCD 中，O 为两条对角线的交点，E 为边 BC 上的动点若AEACDO（，0） ， 则2 1 的最小值为 A2B5C9 2 D14 3 8已知 a，b，c 均为不等于 1 的正实数，且 lnaclnb，lncblna，则 a，b，c 的大小关系是 AcabBbcaCabcDacb 二二、多项选择题多项选择题(本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的四
5、个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要有多项符合题目要 求全部选对的得求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分) 9面对新冠肺炎疫情的冲击，我国各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展均取得显著成效下表显 示的是 2020 年 4 月份到 12 月份中国社会消费品零售总额数据，其中同比增长率是指和去年同期相比 较的增长率，环比增长率是指与上个月份相比较的增长率，则下列说法正确的是 中国社会消费品零售总额中国社会消费品零售总额 月份零售总额（亿元）同比增长环比增长累计（亿元） 4281787.506.53106758 531973
6、2.8013.47138730 6335261.804.86172256 7322031.103.95204459 8335710.504.25238029 9352953.305.14273324 10385764.309.30311901 11395145.002.43351415 12405664.602.66391981 A2020 年 4 月份到 12 月份，社会消费品零售总额逐月上升 B2020 年 4 月份到 12 月份，11 月份同比增长率最大 C2020 年 4 月份到 12 月份，5 月份环比增长率最大 D第 4 季度的月消费品零售总额相比第 2 季度的月消费品零售总额，方
7、差更小 10定义曲线：a 2 x2 b 2 y2 1 为椭圆 C：x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)的伴随曲线，则 A曲线有对称轴B曲线没有对称中心 C曲线有且仅有 4 条渐近线D曲线与椭圆 C 有公共点 11已知正四棱台的上底面边长为 2，下底面边长为 2 2，侧棱长为 2，则 A棱台的侧面积为 6 7 B棱台的体积为 14 3 高三数学试题第 3页（共 5 页） A B C D O E F x x 2x 2y 图 1 C棱台的侧棱与底面所成的角的余弦值为1 2 D棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为 7 7 12已知函数 f(x)3sin2x4cos2x，g(x)f(x)|f(x)
8、|若存在 x0R，对任意 xR，f(x)f(x0)，则 A任意 xR，f (xx0)f (xx0) B任意 xR，f (x)f(x0 2) C存在0，使得 g(x)在(x0，x0)上有且仅有 2 个零点 D存在5 12，使得 g(x)在(x 05 12，x 0)上单调递减 第 II 卷（非选择题共 90 分） 三、填空题三、填空题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分) 13(3x21 x3 )5的展开式中的常数项为_ 14写出一个离心率为 5，渐近线方程为 y2x 的双曲线方程为_ 15 早在 15 世纪， 达芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法： 如
9、图 1， 先制作三张一样的黄金矩形 ABCD (短边 长边 51 2 )，然后从长边 CD 的中点 E 出发，沿着与短边平行的方向剪开一半，即 OE1 2 AD，再 沿着与长边 AB 平行的方向剪出相同的长度，即 OFOE，将这三个矩形穿插两两垂直放置，连结所 有顶点即可得到一个正二十面体，如图 2若黄金矩形的短边长为 4，则按如上制作的正二十面体的 表面积为_，其外接球的表面积为_ 16已知直线 ykxb 与曲线 yx2cosx 相切，则k 2 b 的最大值为_ 图 2 高三数学试题第 4页（共 5 页） 四、解答题四、解答题(本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答时应写出文字
10、说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分) 已知四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 E，AB2BC2CD4 （1）若ADC2 3 ，AC3，求 cosCAD； （2）若 AECE，BE2 2，求ABC 的面积 18(本小题满分 12 分) 已知等差数列an满足：a13，a3，a4成等差数列，且 a1，a3，a8成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）在任意相邻两项 ak与 ak1(k1，2，)之间插入 2k个 2，使它们和原数列的项构成一个新的数 列bn记 Sn为数列bn的前 n 项和，求满足 Sn500 的 n 的最大
11、值 19(本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为直角梯形，ADBC，ABC90， AD2BC2AB 4，PAD 为等边三角形，E 为 PD 的中点，直线 AB 与 CE 所成角的大小为 45 （1）求证：平面 PAD平面 ABCD； （2）求平面 PAB 与平面 PCD 所成角的正弦值 P E DA C B （第 19 题图） 高三数学试题第 5页（共 5 页） 20(本小题满分 12 分) 某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学 40 局接球训练成绩，每局训练时教 练连续发 100 个球，该同学接球成功得 1 分，否则不得分，且每局训练
12、结果相互独立，得到如图所示 的频率分布直方图 （1）若同一组数据用该区间的中点值作代表， 求该同学 40 局接球训练成绩的样本平均数 x ； 若该同学的接球训练成绩 X 近似地服从正态分布 N(，100)，其中近似为样本平均数 x ，求 P(54X64)的值； （2）为了提高该同学的训练兴趣，教练与他进行比赛一局比赛中教练连续发 100 个球，该同学得 分达到 80 分为获胜，否则教练获胜若有人获胜达 3 局，则比赛结束，记比赛的局数为 Y以 频率分布直方图中该同学获胜的频率作为概率，求 E(Y) 参考数据：若随机变量参考数据：若随机变量N(，2)，则，则 P()0.6827， P(22)0.
13、9545，P(33)0.9973 21(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C：y24x，经过 P(t，0)(t0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点 （1）若 t4，求 AP 长度的最小值； （2）设以 AB 为直径的圆交 x 轴于 M，N 两点，问是否存在 t，使得OMON4？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 22(本题满分 12 分) 已知函数 f(x)ae x x alnx，aR （1）若 ae，求函数 f(x)的单调区间； （2）若 ae，求证：函数 f(x)有且仅有 1 个零点 O 5060708090 100 分数 频率 组距 0.0
14、05 0.010 0.020 0.045 （第 20 题图） 高三数学试题第 6页（共 5 页） 南京市 2021 届高三年级第三次模拟考试 数学参考答案数学参考答案及评分标准及评分标准 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1D2A3C4B5D6B7C8A 二、多项选择题二、多项选择题：本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题分在每小题给出的四个选项
15、中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9BCD10AC11ACD12BD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 1327014x2y 2 4 1(答案不唯一)1580 3，(408 5)16 2 4 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分 17(本题满分 10 分) 解：(1)在ACD 中，由正弦定理，得 AC sinADC CD sinCAD， 所以 sinCADCDsinADC AC
16、2sin2 3 3 3 3 2 分 因为 0CAD 3， 因此 cosCAD 1sin2CAD1( 3 3 )2 6 3 4 分 (2)方法 1 设 AECEx，AEB 在ABE 中，8x24 2xcos16 在BCE 中，8x24 2xcos()4，即 8x24 2xcos46 分 相加，解得 x 2 ，即 AECE 2 8 分 将 x 2 代入，解得 cos3 4 因为 0，所以 sin 1cos2 7 4 ， 所以ABC 的面积 SABC2SABE21 2AEBEsin 2(1 2 22 2 7 4 ) 710 分 方法 2 高三数学试题第 7页（共 5 页） 因为 AECE，所以BE1
17、 2 (BABC)， 两边平方得 4BE2BA2BC22|BA|BC|cosABC， 即 32164242cosABC， 得 cosABC3 4，又 0ABC， 所以 sinABC 1cos2ABC 7 4 8 分 所以ABC 的面积 SABC1 2 ABBCsinABC1 2 42 7 4 710 分 18(本题满分 12 分) 解：(1)设数列an的公差为 d， 因为 a13，a3，a4成等差数列，所以 2a3a13a4，即 2(a12d)a13a13d， 解得 d3， 2 分 因为 a1，a3，a8成等比数列，所以 a32a1a8，即(a16)2a1(a121)， 解得 a14， 4 分
18、 所以 an43(n1)3n1 5 分 (2)因为 bn0，所以Sn是单调递增数列 6 分 因为 ak1前的所有项的项数为 k21222kk2k 12， 所以 Sk2k12(a1a2ak)2(21222k) k(43k1) 2 22(12 k) 12 3k 25k 2 2k 248 分 当 k6 时，S132321500；当 k7 时，S26159950010 分 令 S132a72(n133)500，即 321222(n133)500，解得 n211.5 所以满足 Sn500 的 n 的最大值为 21112 分 19.解：(1)取 AD 中点 O，连接 CO，OE 在梯形 ABCD 中，因为
19、 ADBC，AD2BC， 所以四边形 ABCO 为平行四边形，所以 COAB， 所以OCE 即为异面直线 AB 与 CE 所成的角或补角 2 分 在等边PAD 中，因为 E 为 PD 的中点，所以 OE1 2PA 1 2AD2 在OCE 中，OCAB2，即 OEOC2， 所以OCE 为锐角，从而OCEOEC45， 所以COE90，即 OCOE 4 分 高三数学试题第 8页（共 5 页） 因为ABC90，所以四边形 ABCO 为矩形，所以 OCAD 又 ADOEO，AD，OE平面 PAD，所以 OC平面 PAD 又因为 OC平面 ABCD，所以平面 PAD平面 ABCD 6 分 (2)连接 PO
20、，在等边PAD 中，因为 O 为 AD 中点，所以 POAD 由(1)得 OC平面 PAD，PO平面 PAD，所以 OCPO 以 O 为原点，OC，OD，OP 所在直线分别为 x，y，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz， 则 A(0，2，0)，C(2，0，0)，D(0，2，0)，B(2，2，0)， P(0，0，2 3)， 故AP(0，2，2 3)，AB(2，0，0)，PD(0，2，2 3)， CD(2，2，0) 设平面 PAB 的法向量为 m(x，y，z)，由 mAP2y2 3z0， mAB2x0， 不妨取 z1，得 m(0， 3，1) 8 分 设平面 PCD 的法向量为 n(x
21、，y，z)，由 nPD2y2 3z0， nCD2x2y0， 不妨取 z1，得 n( 3，3，1) 10 分 所以 cosm，n mn |m|n| 7 7 所以平面 PAB 与平面 PCD 的所成角的正弦值为 42 7 12分 20(本小题满分 12 分) 解：(1) x 550.1650.2750.45850.2950.0574 2 分 由(1)得 x 74，所以 XN(74，100)， 得 P(54X94)0.9545，P(64X84)0.6827， 4 分 所以 P(54X64)0.95450.6827 2 0.13596 分 (2)记“该同学每局获胜”为事件 A，则 P(A)(0.020
22、.005)101 4 7 分 Y 的可能取值为 3，4，5, P(Y3)(1 4) 3(3 4) 37 16， 8 分 P(Y4)C 2 3(1 4) 23 4 1 4C 2 3(3 4) 21 4 3 4 45 128， 9 分 P E D A CB O z x y 高三数学试题第 9页（共 5 页） P(Y5)C 2 4(1 4) 2(3 4) 21 4C 2 4(3 4) 2(1 4) 23 4 27 128 10 分 因此 E(Y)3 7 164 45 1285 27 128 483 128 12 分 21(本题满分 12 分) 解：(1)设 A(x1，y1)，则 AP2(x14)2y
23、12x128x1164x1x124x116， 2 分 当 x12 时，(AP2)min12，故 AP 长度的最小值为 2 3 4 分 (2)由 l 不与 x 轴重合，故可设直线 l：xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 xmyt， y24x， 得 y24my4t0， 所以 y1y24m，y1y24t 6 分 以 AB 为直径的圆方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0， 令 y0，得(xx1)(xx2)y1y20，即 x2(x1x2)xx1x2y1y20 设 M(x3，y3)，N(x4，y4) 则 x3x4x1x2y1y2 8 分 于是OMONx3x4x1x2y1y2y
24、1 2y22 16 y1y2t24t 10 分 令 t24t4，解得 t2，此时16(m22)0， 所以存在 t2，使得OMON4 12 分 22(本题满分 12 分) (1)解：因为 f (x)ae x x alnx，x0，所以 f (x)(x1)(e xa) x2 1 分 当 a1 时，令 f (x)0，得 x1；令 f (x)0，得 0 x1 2 分 当 1ae 时，令 f (x)0，得 0 xlna 或 x1；令 f (x)0，得 lnax1 3 分 因此，当 a1 时，f (x)的减区间为(1，)，增区间为(0，1)； 当 1ae 时，f (x)的减区间为(0，lna)和(1，)，增
25、区间为(lna，1) 4 分 (2) 证明：当 ae 时，令 f (x)0，得 0 x1 或 xlna；令 f (x)0，得 1xlna 所以 f (x)的减区间为(0，1)和(lna，)；增区间为(1，lna)， 6 分 所以当 x(0，lna时，f (x)f (1)ae0，此时 f (x)无零点 7 分 方法 1 下面证明：当 x0 时，exx 3 3 高三数学试题第 10页（共 5 页） 设 g(x)exx 3 3 ，x0，则 g(x)exx2，g (x)ex2x，g (x)ex2 当 x(0，ln2)，g (x)0，所以 g (x)单调递减； 当 x(ln2，)，g (x)0，所以 g
26、 (x)单调递增； 因此 g (x)g (ln2)22ln20，故 g(x)在(0，)上单调递增 因此 g(x)g(0)10，故 g(x)在(0，)上单调递增 所以 g(x)g(0)10，即不等式 exx 3 3 (x0)得证 9 分 由于 x0 时，由 g (x)0，知 ex2xx，故 ln exlnx，即 lnxx10 分 因此，当 xlna1 时，f (x)ae x x alnx a1 3x 3 x ax1 3x 2axa x 1 3x 2axa， 令1 3x 2axa0，得 x3a 9a 212a 2 aa 9a 212a 2 lna， 取 x03a 9a 212a 2 ，则 f (x
27、0)0 又 f (lna)f (1)0，且函数 f (x)在lna，)上单调递减，f(x)的图象不间断， 故当 xlna，)时，f (x)有且仅有 1 个零点 综上，当 ae 时，函数 f (x)有且仅有 1 个零点 12 分 方法 2 先证明：exe 3x3 27 (x0) 令 g(x)exex，x0，因为 g(x)exe， 所以 g(x)在(0，1)上递减，在(1，)上递增，所以 g(x)ming(1)0， 所以 g(x)exex0，即 exex，当且仅当 x1 时取等号 将 x 换作x 3 ，得 e x 3ex 3 ，即证得 exe 3 27 x3 9 分 再证明：当 x0 时，lnxx
28、1 令 h(x)lnxx1，x0，h(x)1 x 1， 所以当 x(0，1)时，h(x)0，所以 h(x)在(0，1)上递增， 当 x(1，)时，h(x)0，所以 h(x)在(1，)上递减， 所以 h(x)maxh(1)0，故 h(x)lnxx10， 即证得当 x0 时，lnxx1，当且仅当 x1 时取等号10 分 当 x1 时，有 f(x)ae x x alnxa(xlnx1)e x x ax(x1)x e3x3 27 x ax 2e3x3 27 x ， 令 ax2e 3x3 27 0，解得 x27a e3 ，所以 f(27a e3 )0 高三数学试题第 11页（共 5 页） 又 f (lna)f (1)0，且 lnaa1a27a e3 ，f (x)在lna，)上单调递减，f(x)的图象不间断， 所以 f(x)在lna，)上有且仅有 1 个零点 综上，当 ae 时，函数 f (x)有且仅有 1 个零点 12 分
