1、【方法点拨】【方法点拨】涉及旋转、对称、折叠的最值问题中, 若无法直接求解,可先找到关键点的运动轨迹,再利用 “垂线段最短”来求解. 【例 1】（2020南谯区二模）如图，ABC 中，A30，ACB90，BC2，D 是 AB 上的动点， 将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 90，得到线段 CE，连接 BE，则 BE 的最小值是（） A ? ?1B ? ? C ?D2 【变式 1-1】（2021怀宁县模拟）如图，在ABC 中，ACB90，ACBC4，P 是ABC 的高 CD 上一个动点，以 B 点为旋转中心把线段 BP 逆时针旋转 45得到 BP，连接 DP，则 DP的最小值 是（） A2 ?
2、? ?B42 ?C2?D ? ? ? 【变式 1-2】（2020南山区校级一模）如图， ABCD 中，DAB60，AB6，BC2，P 为边 CD 上 的一动点，则 PB? ? ? PD 的最小值等于（） A ?B3C3 ? D2+2 ? 【变式 1-3】（2021太和县一模）在ABC 中，ACB90，P 为 AC 上一动点，若 BC4，AC6，则 ?BP+AP 的最小值为（） A5B10C5 ?D10 ? 【方法点拨【方法点拨】“将军饮马”问题是中考的热点问题之一,解决这类问题的方法是找出两定点中任一点关于动 点所在直线的对称点,再将另一点与对称点相连,连线与直线的交点即为所求的点.通常情况下
3、, 求三角形 或四边形的周长的最小值时,往往也是利用轴对称进行解题. 【例 2】（2021淮南一模）如图，RtABC 中BAC90，AB1，AC2 ?点 D，E 分别是边 BC， AC 上的动点，则 DA+DE 的最小值为（） A? ? B? ? C? ? ? D? ? ? 【变式 2-1】（2020荆门）在平面直角坐标系中，长为 2 的线段 CD（点 D 在点 C 右侧）在 x 轴上移动，A （0，2），B（0，4），连接 AC，BD，则 AC+BD 的最小值为（） A2 ?B2 ?tC6 ?D3 ? 【变式 2-2】（2020红桥区一模）如图，在四边形 ABCD 中，AD90，AB5，AD
4、4，CD3， 点 P 是边 AD 上的动点，则PBC 周长的最小值为（） A8B? ?C12D ? 【变式 2-3】（2020市南区二模）如图，在矩形 ABCD 中，AD12，AEBD，垂足为 E，ED3BE，点 P、 Q 分别在 BD，AD 上，则 AP+PQ 的最小值为（） A4 ?B2 ?C6 ?D4 ? 【方法点拨】【方法点拨】利用“到定点的距离等于定长的点位于同一个圆上”或“90的圆周角所对的弦是直径”等 可以确定某些动点的运动轨迹是圆(或圆弧).当圆外一定点与圆上一动点位于圆心同侧,且三点共线时,该 动点到圆外定点的距离最短;当圆外一定点与圆上一动点位于圆心异侧,且三点共线时,该动
5、点到圆外定点 的距离最长. 【例 3】（2020百色模拟）如图，在长方形纸片 ABCD 中，AB4，AD6点 E 是 AB 的中点，点 F 是 AD 边上的一个动点将AEF 沿 EF 所在直线翻折，得到GEF则 GC 长的最小值是（） A? ?t ? ?B? ?t ? ?C2 ?D2 ?t 【变式 3-1】（2020河北模拟）数学兴趣小组在“中学生学习报”中了解到“直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半”，用含 30角的直角三角板做实验，如图，ACB90，BC6cm，M，N 分别是 AB， BC 的中点，标记点 N 的位置后，将三角板绕点 C 逆时针旋转，点 M 旋转到点 M，在旋转过程中，线
6、 段 NM的最大值是（） A7cmB8 cmC9cmD10cm 【变式 3-2】（2020芜湖二模）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 8，点 E 是正方形内部一点，连接 BE， CE，且ABEBCE，点 P 是 AB 边上一动点，连接 PD，PE，则 PD+PE 长度的最小值为（） A8 ?B4 ?tC8 ? ?4D4 ? ?4 【变式 3-3】（2021海安市模拟）如图，在 RtABC 中，ACB90，ABC60，BC2 ?，Q 为 AC 上的动点，P 为 RtABC 内一动点，且满足APB120，若 D 为 BC 的中点，则 PQ+DQ 的最小 值是（） A ? ?4B ?C4D ?
7、?4 【方法点拨】【方法点拨】几何图形面积最值问题的解题通法: 1. 观察几何图形,若能直接判断出当动点在何位置时,几何图形的面积取得最值,则直接计算即可. 2.若根据动点的位置,无法直接判断几何图形面积的最值,则可设出未知数,用含未知数的代数式表示出该 几何图形的面积,利用函数的性质求解. 【例 4】（2020立山区二模）如图，O 的半径是 2，直线 l 与O 相交于 A、B 两点，M、N 是O 上的 两个动点，且在直线 l 的异侧，若AMB45，则四边形 MANB 面积的最大值是（） A2 ?B4C4 ?D8 ? 【变式 4-1】（2020岐山县二模）如图，正方形 BEFG 的顶点 E 在
8、正方形 ABCD 的边 AD 上，CD、EF 交 于点 H，AD16，连接 EC，FC，则CEF 的面积的最小值为（） A16 ?B48C96D256 【变式 4-2】（2020昆山市二模）如图，在ABC 中，AB10，AC2 ?，ACB45，D 为 AB 边上 一动点（不与点 B 重合），以 CD 为边长作正方形 CDEF，连接 BE，则BDE 的面积的最大值等于（ ） . A9 ?B18C36D20 ? 16（2021石家庄模拟）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 2 的O 与 x 轴的正半轴交于点 A，点 B 是O 上一动点，点 C 为弦 AB 的中点，直线 y? ? ?x3 与 x 轴、y 轴分别交于点 D、E，则CDE 面积 的最小值与最大值分别为（） A2；7B3；6C4；9D5；16
