1、1 打电话倍增问题教学实践及思考 一、教材分析 打电话是义务教育教科书（人教版）数学五年级下册第 102 页103 页 的内容，是属于综合与实践领域，旨在让学生进一步体会数学与生活的密切联系 以及优化思想在生活中的应用，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力，同 时通过画图等方式发现事物隐含的规律，培养学生归纳推理的思维能力。另外本 课我把教材中 15 人的通知任务改为 105 人，增强了问题的挑战性。 二、学情分析 打电话这节课是学生在四年级解决沏茶问题、烙饼问题的基础上又一次 运用优化思想解决实际问题的内容。本节课的问题情境与发通知有关，虽然学生 平时也接触到可以用广播、微信或 QQ 群等
2、通知的形式，但老师会在课前强调以 打电话这一通知方式为主该如何解决此类问题。对于打电话，学生积累了丰富的 生活经验，但对于“打电话通知多人，如何通知用时最少”这一问题，对学生却 是一个未知、全新的挑战。 三、教学目标 1.1.知识知识与与技能技能：学生通过自主探索，指导学生画图、列表等方式发现事物隐含的 规律，体会数形结合、推理、优化等数学思想，探究“打电话”省时的最优方案。 2.2.过程与方法过程与方法： 进一步体验数学与生活的密切联系， 经历针对具体问题提出设计 思路，制定简单方案，解决问题的过程，学习在问题情境中应用优化思想解决问 题。 3.3.情感态度情感态度与价值观与价值观：创设学生
3、熟悉的“打电话”生活情境的研究，体验数学与 生活的联系，培养创新精神和实践能力。 四、教学重点和难点 教学重点：探究“打电话”省时的最优方案。 教学难点：通过画图、列表等方式发现“打电话”隐含的规律。 五、课时设计：1 课时 六、教学策略 教法：引探教学法 学法：合作探究法、实验操作法。 七、教学准备：PPT 课件、铅笔、颜色笔、直尺、纸、小黑板、磁铁、纸质圆片。 八、教学过程 【课前游戏】课前铺垫：猜一猜 师：把一根子对折 1 次平均分成几份？ 生：2 份。 师：对折 2 次呢？3 次、4 次 5 次10 次呢？ 生：4 份、8 份、16 份、32 份 师：你发现对折次数与平均分的份数有什么
4、关系吗？ 生：份数 2 倍 2 倍的变化，对折几次，份数就有几个 2 相乘。 师：刚才同学们猜得这么快，原来发现游戏中也有规律，规律无处不在。其实生 活中有许多复杂又费事的事情，需要我们尽快完成，如果用数学规律去解决，就 会简单、省时。 【设计意图：游戏是小学生最喜欢的课堂活动也是提高学生学习兴趣和学习积【设计意图：游戏是小学生最喜欢的课堂活动也是提高学生学习兴趣和学习积 极性的一种方式。用猜一猜的游戏让学生感知，折绳次数与份数在极性的一种方式。用猜一猜的游戏让学生感知，折绳次数与份数在 2 倍倍 2 倍变倍变 2 化的规律，为接下来的学习作知识铺垫，把教学的起点定位在学生经验的化的规律，为接
5、下来的学习作知识铺垫，把教学的起点定位在学生经验的“最最 近发展区近发展区” 。 】 （一）明确内容，导学设疑（一）明确内容，导学设疑 1.创设生活情境，引出课题 师：生活也有许多事需要我们尽快完成，请看大屏幕。 肆虐的台风来袭，为了防止意外发生，曾老师要尽快通知所任教的两个班共 105 名学生紧急停课。如果用打电话的方式，每分钟通知 1 人，曾老师需要几分 钟才能通知到所有学生呢？ 师：你发现了哪些数学信息？引导学生提炼问题情境中的关键信息。 预设： 通知的总人数是 105 人， 通知的方式是打电话， 通知 1 人的时间是 1 分钟， 通知的要求是尽快通知。 师：打电话很容易，但要尽快通知就
6、要用到数学知识，今天这节课我们就来学习 打电话中的数学问题。 2.针对课题设疑。 师：看到课题，你最想知道什么？ 预设 1：怎样打电话节省时间？ 预设 2：打电话的问题里有什么规律吗？ 预设 3：打电话通知时应该注意什么？ 预设 4：打电话的问题在生活中有什么应用？ 师：让我们带着这些问题进入今天的数学探索之旅吧！ 【设计意图：综合与实践是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活【设计意图：综合与实践是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活 动。本环节以生活中的问题为切入点，以富有挑战性的问题启发学生思考动。本环节以生活中的问题为切入点，以富有挑战性的问题启发学生思考。 】 （二二）
7、合作探究，逐步优化合作探究，逐步优化 师：研究尽快通知 105 人的方法，你感觉怎么样？（数据较大）我们从 3 人开始 研究，逐步找到尽快通知 105 人的方法好吗？ 1.初步探究，感受“同时打” 。 师：如果你是老师，通知 3 名学生，每通知一个人需要 1 分钟，你会如何通知？ 先让学生独立思考，并运用数字圆片摆一摆、说一说，设计打电话的省时方 案。 最后再将想法用画图的方法演示出来。 要求学生画图时， 用正方形表示老师， 用圆形编号表示学生。 学生可能会有以上几种方案。 师：如果一个一个通知，或者一个传一个地通知，需要几分钟？（3 分钟）你对 这两种方案有什么想法？（根据学生所答，板书：逐
8、一通知 太慢）如果你是老 师，你会怎么选？（方案 3） 师：仔细观察，为什么用这种方法打电话只需要 2 分钟？ 3 预设：老师和 1 号同学在同时打电话。 师：是的，看来同时打电话通知能节省打电话的时间。 （板书：同时打） 【设计意图设计意图：为了让所有学生都能积极参与到讨论活动中为了让所有学生都能积极参与到讨论活动中，将被通知的人数调将被通知的人数调 整为整为 3 人人，是为学生搭建更恰当的探究是为学生搭建更恰当的探究“脚手架脚手架” ，降低降低教学教学起点起点，并并让让学生学生将将 想法用想法用画图画图的方式直观地表示出来的方式直观地表示出来，教师引导学生比较、分析第教师引导学生比较、分析
9、第 3 种方案省时种方案省时 的原因的原因，初步体会到初步体会到“同时打同时打”可以节省时间可以节省时间。 】 2.深入研究，感受“所有人不空闲” 。 师：通过刚才的研究，我们发现通知 3 个学生，最少只需要 2 分钟。那么要通知 7 个学生，如何通知用时最少呢？接下来，大家合作设计出通知 7 个学生用时最 少的打电话方案。 （1）讨论：出示合作要求 小组讨论，设计一个你们小组认为用时最少的方案。 将讨论方案画在记录单上，并在直线上标明第几分钟。 说一说这种方案是怎样打电话的？一共用了几分钟。 （2） 展示： 展示方案并互相评价：“你是怎样设计的？有什么要提醒大家的吗？” 对于学生设计的方案，
10、只要合理，老师都给予肯定。 预设 1：用时 4 分钟 预设 2：用时 5 分钟 预设 3：用时 3 分钟 （3）对比选优：让学生对比这些方案，教师引导学生发现并不是分的组越多越 节省时间。 师：在第 3 分钟的时候，谁没有参与通知？那说明有人在第 3 分钟空闲着。 师：老师和学生 1 在第 3 分钟空闲了，在第 2 分钟空闲了吗？那老师和学生 1 需要怎么做才能用时最少？（板书：每分钟不空闲）第 3 分钟最多又可以通知几 人？为什么？（4 人，因为前一分钟有 4 人知道消息了。 ） 师：我们一起回顾这种用时最少的方案：第 1 分钟老师通知学生 1，知道消息的 总人数是 2 人；第 2 分钟知道
11、消息的 2 人同时通知 2 人， （有人空闲吗？）知道 通知的总人数是 4 人；第 3 分钟知道消息的 4 个人又同时通知 4 个学生， （有人 空闲吗？） 小结：只有所有知道消息的人（板书：所有知道消息的人） ，每分钟都不空闲， 同时打电话通知其他人，这样才能做到用时最少。这就是伟大的数学家华罗庚先 生提出的优化思想。 课件介绍华罗庚先生的事迹与统筹优化思想，老师并渗透德育教育，鼓励学生要 努力学习，有科学探究的精神。 （4）优化图示 让学生看左下图观察图示，提出问题：刚才最省时的方案 3 中，这样画图好 不好？（学生会感觉图比较乱，能同时接到通知的学生不明显）老师再引导学生 优化图示（右下
12、图） ，学生可能想到用不同颜色区分每分钟新接到通知的人，并 把在同一时间内新接到通知的的学生位置移在一起，就会更有条理了，更易看出 每分钟新接到通知的学生人数了，让学生感受数形结合的好处。 【设计意图：学生在平等对话、独学、互学中进行思维碰撞，层层优化方案，【设计意图：学生在平等对话、独学、互学中进行思维碰撞，层层优化方案， 4 感受到化繁为简、数学结合与优化等数学思想方法感受到化繁为简、数学结合与优化等数学思想方法。 】 （三）建立模型，质疑再探（三）建立模型，质疑再探 师：同时打电话这么有创意的方法，想不想再来感受一下？（想）课件动态演示 要通知 15 个学生用时最少的最佳方案图示。 师：
13、 那么这种方案到底还蕴含着什么规律呢？下面我们就借助以前学习的统计表， 进一步探寻其中的规律： 教师引导学生对照表格（如下表）及图示找规律。 时间（分）1234 知道消息的 总人数 24816 师：你发现什么？ 预设：每增加 1 分钟，知道消息的总人数就乘 2。 师：为什么是乘 2 的关系呢？ 预设：因为知道消息的人每分钟都不空闲，同时打电话，2 个同时通知就 4 个知 道，4 个同时通知就 8 个知道，所以乘 2。 教师继续出示第 5、6、7、8 分钟，让学生根据以上发现的规律说出知道消息的 总人数，继而补充表格。 时间（分）1235678 知道消息的 总人数 2483264128256 教
14、师继续出示表格找规律。 师：那接到通知的总人数又怎么计算呢？ 时间（分）12345678 知道消息的 总人数 248163264128256 接到通知的 总人数 137153163127255 教师提问：接到通知的总人数与知道消息总人数有什么关系？ 预设：接到通知的总人数总比知道消息总人数少 1。 师：为什么总会少 1 人呢？ 预设：这 1 个人就是老师。 师：数学就是这么神奇，更神奇的是同学们都有一双善于发现的眼睛！到第 2 分钟，知道消息的总人数 4 可以写成：22=22；接到通知的总人数：221 到第 3 分钟，知道消息的总人数 8 可以写成：222=23；接到通知的总人数： 231 到
15、第 4 分钟，知道消息的总人数 16 可以写成：2222=24；接到通知的总人 数：241 继续引导学生发现：通知 5 分钟，2 的 5 次方。第 7 分钟？第 15 分钟？第 n 分 钟呢？ 学生不难发现规律：第 n 分钟知道通知的总人数就是 2 的 n 次方，也就是 n 个 2 相乘，接到通知的总人数：2n1。 师： 有了这一发现， 还需要用画图的方法研究吗？我们找到了更简便的计算方法。 表格如下图所示： 5 【设计设计意图意图：引导学生在不断观察引导学生在不断观察、对比对比中中，层层探究中发现规律层层探究中发现规律，建立模型建立模型， 逐步领悟数学思想方法，逐步领悟数学思想方法，培养学生
16、归纳推理的能力培养学生归纳推理的能力。 】 （四）内（四）内外拓展，感悟优化外拓展，感悟优化 1.应用规律，解决问题。 （1）照以上题目计算，第 15 分钟知道消息的总人数是多少？ （2）如果接到通知的总人数有 50 人，那么需要打电话的时间需要几分钟呢？ 2.认识“倍增” ，对接生活。 师：短短的 7 分钟就能通知 105 人，实在是太不可思议了。就连世界著名物理学 家爱因斯坦曾经说过“倍增，世界第八大奇迹。 ” （板书：倍增问题）其实生活中 有也有很多倍增现象，播放池塘里的浮萍生长、细胞分裂等视频。 【设计设计意图意图：应用规律解决问题，让学生应用规律解决问题，让学生通过实例拓宽了视野通过
17、实例拓宽了视野，进一步体会数进一步体会数 学与生活的密切联系学与生活的密切联系，并渗透数学文化，并渗透数学文化，体会到数学的体会到数学的“力量力量”和魅力和魅力，帮助帮助 学生深化理解本节课内容学生深化理解本节课内容。 】 （五）回顾梳理，课堂小结（五）回顾梳理，课堂小结 师：这节课我们研究了“打电话”中的实际问题，回头想想我们是怎样探究 打电话的问题？用时最少的方法是怎么做到的？你获得了哪些学习和研究的方 法？ 【设计意图：引导学生回顾整节课的学习过程，在分享中收获的不仅是知识和【设计意图：引导学生回顾整节课的学习过程，在分享中收获的不仅是知识和 解决问题的能力，还有数学思想方法，并促使学生
18、自我反思、感悟提升解决问题的能力，还有数学思想方法，并促使学生自我反思、感悟提升。 】 （六）布置（六）布置作业，作业，拓展延伸拓展延伸 课后探究：有人说用一张厚度为 0.1 毫米且面积足够大的纸，连续对折 20 次后，它的厚度能超过“小蛮腰” （600 米）的高度，他说的对吗？ 【设计意图： 课后设计富有挑战性的实践作业， 培养学生的创新意识及实践精神。 】 时间（分）12345678n 知道消息的 总人数 248163264128256 2222 2 2 22 2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 n 个 2 相乘 2122
19、2324252627282n 接到通知的 总人数 1371531631272552n1 6 九、板书设计 十、教后反思 本节课以培养学生“四基” 、 “四能”为根本，通过对教材深入的分析与学生 实际相结合，围绕问题探究，鼓励引导学生充分利用综合与实践的过程，积累活 动经验，展现思考过程，交流收获体会、激发学习兴趣、联系生活实际。从整体 看，本节课有以下特点： （一）（一）丰富素材，对接生活。丰富素材，对接生活。 “打电话”这一内容蕴含了优化、数形结合、逻辑推理、化繁为简等思想方 法。我创设生活中的数学问题，启发学生灵动思维，并把教材中 15 人的通知任 务改为 105 人，增强了问题的挑战性。
20、在内外拓展环节，给学生出示一些生活中 倍增的现象，对接生活，渗透数学文化，使本节课知识内容更有内涵，对学生的 情感态度与价值观的形成与发展起到了潜移默化的作用。 （二）（二）问题引领，激发探索。问题引领，激发探索。 “综合与实践”是以问题为载体，本节课以“怎样打电话节省时间”的问题 主线， 通过画图、 列表等多种学习方法有机融合， 积极采用 “说一说” 、 “画一画” 、 “想一想” 、 “议一议”等学习形式大胆放手让学生自主探究，学生通过动口、动 手、动脑，积极主动参与到学习当中，在知识形成过程中不断思考，激发他们探 索知识的欲望与对学习数学的兴趣。 （三）（三）以师为根，以生为本。以师为根
21、，以生为本。 本节课始终体现了教师是学生学习的组织者、合作者和引导者，学生为学习 的主体。在课堂当中，关注到学生的独立思考，小组合作交流，有序发言，注意 倾听，补充修正，学生展示，学生在学习的过程当中也学会了启发自己、欣赏别 人。 （四）（四）建立模型，感悟优化。建立模型，感悟优化。 “综合与实践”的数学教育价值之一，就是有助于培养学生“数学建模”的 核心素养。所以本节课，我把教学重点定为探究“打电话”省时的最优方案，教 学难点定为通过画图、列表等方式发现“打电话”隐含的规律。我先以“绳子对 折”的游戏铺垫，再以“打电话通知 3 人，可以怎样通知？”让学生在情境中感 知优化；再以“打电话通知 7 人，怎样通知用时最少？”让学生在对比中体验优 化，最后引导学生对统计表格的数据进行观察与分析、交流，发现并揭示其中隐 含的规律，建立数学模型，同时引导学生运用规律解决生活中的问题，让学生感 打电话-倍增问题 逐一通知太慢 用时最少所有知道消息的人每分钟 不空闲 同时打 第 n 分钟知道消息的总人数=2n 接到通知的总人数=2n1 7 知数学的魅力。 纵观整节课，我引领学生在开放的空间中经历知识形成的过程，在自主探究 中体验数学建模的方法，在潜移默化中感悟数学思想的魅力，在互动交流中培养 问题意识和质疑精神，收到了良好的教学效果。
