1、（新高考）2021 届高三第二次模拟考试卷 数数 学（学（三三） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040
2、分分在在每小题给出每小题给出的的四个选项中四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1设( )f zz， 1 34iz ， 2 2iz ，则 12 ()f zz等于（） A13iB2 11i C2i D55i 2集合 21 0 1 x Ax x ，集合 1 2 log1Bx yx ，则集合AB等于（） A 1 0, 2 B1, C1,1D1, 3已知函数( )f x的定义域是(0,)，满足(2)1f且对于定义域内任意 x，y 都有()( )f xyf x ( )f y成立，那么(2)(4)ff的值为（） A1B2C3D4 4一个等比数列前n项的和为 48，前2n项的和为
3、60，则前3n项的和为（） A83B108C75D63 5若向量a，b满足2a，1b，且 , 3 a b，则, ab b（） A 5 6 B 2 C 3 D 6 6已知直线:20l axy与 22 :14Cxya相交于A、B两点，则ABC为钝角 三角形的充要条件是（） A1,3aB23,23a C 23,11,23aD ,2323,a 7已知函数 cos0,0,0f xAxA的部分图象如图所示，则（） A 3cos 6 fxx B 3cos 6 fxx C 3cos 26 f x x D 3cos 26 f x x 8北京 2022 年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好
4、评不断，这是一次中 国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破为了宣传 2022 年北京冬奥 会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小 明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数 为（）种 A8B10 C12D14 二二、多项多项选择题选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共共 2020 分分在在每小题每小题给出给出的选项中的选项中，有有多项多项 符合题目要求符合题目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 2 2 分分，有有选
5、错的得选错的得 0 0 分分 9已知 fx、 g x都是定义在R上的函数，且 fx为奇函数， g x的图象关于直线1x 对 称，则下列说法中正确的有（） A ( ) 1ygfx 轾 =+ 臌 为偶函数B ygf x 为奇函数 C yfg x 的图象关于直线1x 对称 D () 1yfg x 轾 =+ 臌 为偶函数 10如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，点P在线段 1 BC上运动，则（） A直线 1 BD 平面 11 AC D B二面角 1 BCDB的大小为 2 C三棱锥 11 PAC D的体积为定值 D异面直线AP与 1 AD所成角的取值范围是 , 4 2 11已知实数a，b满足
6、 2 01aabba，下列结论中正确的是（） A4bB28abC 11 1 ab D 27 4 ab 12在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 2 :4C yx的焦点为 F，准线为 l，过点 F 且斜率大于 0 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点（其中 A 在 B 的上方） ，过线段AB的中点 M 且与 x 轴平行的直线 依次交直线OA，OB，l 于点 P，Q，N则（） APMNQ B若 P，Q 是线段MN的三等分点，则直线AB的斜率为2 2 C若 P，Q 不是线段MN的三等分点，则一定有PQOQ D若 P，Q 不是线段MN的三等分点，则一定有NQOQ 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空
7、题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13 已知二项式 1 3 n x x 的展开式中， 所有项的系数之和为 64， 则该展开式中的常数项是_ 14如图，某湖有一半径为100 m的半圆形岸边，现决定在圆心 O 处设立一个水文监测中心(大小 忽略不计)，在其正东方向相距200m的点 A 处安装一套监测设备为了监测数据更加准确，在半圆 弧上的点 B 以及湖中的点 C 处，再分别安装一套监测设备，且满足ABAC，90BAC定 义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设AOB则“直接监测覆盖区域”面 积的最大值为_ 15已知直线ykx是曲线 x ye的切线，也是曲
8、线lnyxm的切线，则实数k _， 实数m _ 16已知函数 2 2 2 ( )log12 21 x f xxx ，xR，若0, 2 使关于的不等式 (2sincos )(42sin2cos)2ffm成立，则实数m的范围为_ 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知数列 n a的前 n 项和为 * n SnN （1）若 n a为等差数列， 11 165S， 38 28aa，求 n a的通项公式； （2）若数列 n S满足 12 2 111 35 2
9、22 n n SSSn，求 n S 18（12 分） 在平面四边形ABCD中，4AB ， 2 2AD ， 对角线AC与BD交于点E，E是BD 的中点，且 2AEEC （1）若 4 ABD，求BC的长； （2）若3AC ，求cosBAD 19 （12 分）近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的 商品和服务评价系统现从评价系统中选出 200 次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好 评率为 3 5 ，对服务的好评率为 7 10 ；其中对商品和服务均为好评的有 80 次 （1）是否可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ （2）若将频
10、率视为概率，某人在该购物平台上进行的4次购物中，设对商品和服务全好评的次数为 随机变量X，求对商品和服务全好评的次数X的分布列及其期望 2 0 P Kk0.150.100.050.0250.0100.0050.001 0 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd （其中nabcd ） 20 （12 分）如图，在四棱锥SABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，60ABC， 90ASD，且2SC （1）证明：平面SAD 平面ABCD； （2）当四棱锥SABCD的体积最大时，求二面角BSC
11、D的余弦值 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的一个焦点为 3,0，且过点 3 1, 2 （1）求椭圆C的方程； （2）设 1 ,0Aa， 2 ,0Aa，0,Bb，点M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线 1 AB与 直线 2 A M交于点P，直线 1 AM与直线 2 A B交于点Q求证：BPQV为等腰三角形 22 （12 分）已知函数 1 x f xeax， 2 g xkx （1）当0a 时，求 fx的值域； （2）令1a ，当0,x时， ln1 g x f xx x 恒成立，求k的取值范围 （新高考）2021 届高三第二次模拟考试卷 数数 学（学（三三）
12、答答 案案 第第卷卷 一一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040 分分在在每小题给出每小题给出的的四个选项中四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 【答案】D 【解析】 1 34iz ， 2 2iz ，则 12 55izz， ( )f zz，则 1212 ()55if zzzz，故选 D 2 【答案】C 【解析】 121 0 1 | 1 2 x Axxx x ， 由011x ，得01x，所以 |01Bxx， 所以AB | 11xx ，故选 C 3 【答案】C 【解析】对于定义域内任意 x，y，都有()( )
13、( )f xyf xf y成立， 令2xy，得(4)(2)(2)1 12fff ， (2)(4)123ff ，故选 C 4 【答案】D 【解析】设等比数列前3n项和为x， 因为等比数列前n项的和为 48 且不为零，则48，6048，60 x 成等比数列， 故4860144x，故63x ，故选 D 5 【答案】B 【解析】由题意，向量a，b满足2a，1b，且 , 3 a b， 可得 22 ()2 1 cos10 3 ab ba bb， 所以向量ab与b的夹角为 2 ，故选 B 6 【答案】C 【解析】圆C的圆心为1,Ca，半径为2r = =， 由于ABC为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则4
14、5CAB， 设圆心C到直线l的距离为d，则 2 22 1 a d a ， 则 2 12 sin 2 1 ad CAB r a ， 整理可得 2 410aa ，解得2 323a ， 因为直线l不过圆心C，则220a，解得1a ， 综上所述， 23,11,23a，故选 C 7 【答案】D 【解析】由图象可知 3A 因为 3 0 2 f，所以 3 cos 2 又0，可得 6 ， 由 5 3 3 f ，所以 5 2 36 kkZ，解得 61 52 kkZ， 结合选项可知 1 2 ，因此 3cos 26 f x x ，故选 D 8 【答案】A 【解析】由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组， 当三人组中
15、包含小明和小李时，安装方案有 12 32 C A6种； 当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有 2 2 A2种， 共计有628种，故选 A 二二、多项多项选择题选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共共 2020 分分在在每小题每小题给出给出的选项中的选项中，有有多项多项 符合题目要求符合题目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 2 2 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9 【答案】ACD 【解析】因为 fx为奇函数，所以 fxf x ， 因为 g x的图象关于直线1x 对称，所以11gxgx， A 项： ()( )( )
16、 111gfxgfxgfx 轾轾轾 -+=-+=+ 臌臌臌 ， 则函数 ( ) 1ygfx 轾 =+ 臌 为偶函数，A 正确； B 项： ()( )( ) gfxgfxgfx 轾轾轾 -=- - 臌臌臌 ，不是奇函数，B 错误； C 项：因为11gxgx，所以 ()() 11fgxfgx 轾轾 -=+ 臌臌 ， 则 yfg x 的图象关于直线 1x 对称，C 正确； D 项：因为11gxgx，所以 ()() 11fgxfg x 轾轾 - +=+ 臌臌 ， 则函数 () 1yfg x 轾 =+ 臌 为偶函数，D 正确， 故选 ACD 10 【答案】AC 【解析】如图， 在 A 中， 1111 A
17、CB D， 111 ACBB， 1111 B DBBB， 11 AC 平面 BB1D1， 111 ACBD，同理， 11 DCBD， 1111 ACDCC，直线 1 BD 平面 11 AC D，故 A 正确； 在 B 中，由正方体可知平面 1 BCD不垂直平面ABCD，故 B 错误； 在 C 中， 11 ADBC， 1 AD 平面 11 AC D， 1 BC 平面 11 AC D， 1 BC平面 11 AC D， 点P在线段 1 BC上运动，P到平面 11 AC D的距离为定值， 又 11 AC D的面积是定值，三棱锥 11 PAC D的体积为定值，故 C 正确； 在 D 中，当点 P 与线段
18、 1 BC的端点重合时，异面直线AP与 1 AD所成角取得最小值为 3 ， 故异面直线AP与 1 AD所成角的取值范围是 , 3 2 ，故 D 错误， 故选 AC 11 【答案】AD 【解析】 2 01aabba， 2 1 a b a 对于 A： 2 2 (1) 11 12 111 aa ba aaa ， 1a ，10a ， 11 122 (1)24 11 baa aa ，即4b ，故 A 正确； 对于 B： 11 22123(1)42 34 11 abaaa aa ， 2 348 ，28ab不一定成立，故 B 错误； 对于 C： 2 2 11111 (1)1 1 a abaaa ，故 C 错
19、误； 对于 D： 23 2 (1) 11 (1)3(1)3 111 aa abaaa aaa 268 1 2 5 11 15 (1)() 6(1)8 3 28(1) (1)3 28(1) aa a a a a 1527 3 44 ，故 D 正确， 故选 AD 12 【答案】AB 【解析】抛物线的焦点为(1,0)F，设直线AB方程为(1)yk x，0k ， 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 由 2 (1) 4 yk x yx ，得 2222 (24)0k xkxk， 2 12 2 24k xx k ， 12 1x x， 12 2 2 1 2 M xx x k ， 2 (1) M
20、M yk x k ，直线MN方程为 2 y k ， ,O P A共线， 11 PP xy xy ， 2 1111 111 2 22 P P x yxyy x ykykyk ， 同理 2 2 Q y x k ， 12 2 2 2 M PQ yyy xx kkk ， 22 22 11 MNPQ xxxx kk ， MPQN xxxx ，即MPNQ，A 正确； 若 P，Q 不是线段MN的三等分点，则 1 3 PQMN， 12 22 1212 1( 1)2 233 yy kkk ， 2 12 4(1) 3 k yy k ， 又 12 4 2 M yyy k ， 22 12121212 (1)(1)(1
21、)4y ykxxkx xxx ， 2 121212 2 16 ()416yyyyy y k ， 2 2 164(1) 16 3 k kk ， 解得2 2k ，（0k ） ， B 正确； 由 2222 (24)0k xkxk，得 22 2 221kk x k ， 22 2 2 221kk x k ， 2 22 221 (1) k yk x k ， 2 2 2 11 2 Q yk x kk ， 又 2 QM yy k ， 2 2 222 22 1125221kkk OQ kkk ， 2 12 2 2 1 2 yyk PQ kk ， 22222 22 44 52214(1)(1 1)(13)kkkk
22、k OQPQ kk ， 当 2 2k 时，OQPQ，C 错； 由图可知1NQ ，而 2 Q OQy k ，只要02k，就有1OQNQ ，D 错， 故选 AB 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13 【答案】1215 【解析】二项式 1 3 n x x 的展开式中，所有项的系数之和为 64， 令1x ，得264 n ，6n 6 1 3 x x 的展开式的通项公式为 63 3 66 22 166 C3( 1)( 1) C3 rr rrrrrrr r Txxx ， 令 3 30 2 r ，可得2r = =， 6 1 3 x x 的展开
23、式的常数项为 224 6 ( 1) C31215，故答案为 1215 14 【答案】 2 10000 525000 m 【解析】在OAB中，AOB，100OB ，200OA， 222 2cosABOBOAOB OAAOB ，即100 54 cosAB， 2 11 sin 22 OACBOABABC SSSOA OBAB ， 2 5 100sin2cos 2 OACB S ， 令tan2，则 2 5 1005sin 2 OACB S ， “直接监测覆盖区域”面积的最大值为 2 10000 525000 m， 故答案为 2 10000 525000 m 15 【答案】e，2 【解析】对于 x ye
24、，设切点为( ,) n n e， 因为 x ye ，故切线斜率 n ke ， 故切线方程为() nn yeexn，由已知得切线过(0,0)， 所以() nn een，故1n ，所以ke 对于lnyxm，设切点为( ,ln)ccm， 所以 1 y x ，因为切线为y ex ，得 1 |x cye c ， 所以 1 c e ，所以切点为 1 ( ,1) e ，代入lnyxm，得 1 1lnm e ，所以2m 故答案为e，2 16 【答案】2m 【解析】显然函数定义域是R， 22 22 22 ()( )log ( 1)2log ( 1)2 2121 xx fxf xxxxx 22 2 2 22 lo
25、g( 1)( 1)()42 1 221 x xx xxxx ， ( )yf x的图象关于点(0,1)对称， 原不等式可化为(2sincos )2(42sin2cos)ffm， 即(2sincos )( 42sin2cos)ffm ，(*) 设 12 xx， 则 2222 11221212 1( 1)11()xxxxxxxx 22 1212 1212 2222 1212 ()()1 1111 xxxx xxxx xxxx ， 2 11 1xx， 2 22 1xx， 22 1212 11xxxx， 12 22 12 11 11 xx xx ， 22 12 112212 22 12 1( 1)(1
26、11 0) xx xxxxxx xx ， 即 22 1122 11xxxx， 22 21122 log ( 1)( 1)xxxx， 由 12 22 xx ，得 12 11 2121 xx ， 12 22 211222 22 log ( 1)2log ( 1)2 2121 xx xxxx ， ( )f x是增函数， 不等式(*)化为2sincos42sin2cosm ，(*) 令sincos2sin() 4 t， 0, 2 ，1,2t， 不等式(*)化为 2 142tmt ， 2 (1)2mt， 问题转化为存在1,2t，使不等式 2 (1)2mt成立， 当1,2t时， 2 (1)2t 的最小值为
27、 2， 2m，故答案为2m 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1）23 n an； （2） 16,1 3 2 ,2 n n n S n 【解析】 （1） n a是等差数列，设公差为 d， 116 11165Sa， 6 15a， 38 28aa， 56 28aa， 5 13a，2d， 132()352 n nan （2） 12 2 111 35 222 n n SSSn， 121 21 111 322 222 n n SSSnn ， ，得 1 32
28、 2 n n Sn，3 22 n n Sn， 当1n 时， 1 16S ， 综上： 16,1 3 2 ,2 n n n S n 18 【答案】 （1） 10 2 BC ； （2） 2 4 【解析】 （1）在ABD中，4AB ， 2 2AD ， 4 ABD， 由正弦定理得 sinsin ABAD ADBABD ， 所以 4 sin 4 sin1 2 2 ADB ， 因为0ADB ，所以 2 ADB，所以 2 2BD ， 所以 2DEBE ， 10AE ， 所以 5 coscos 5 AEDBEC 因为 2AEEC ，所以 10 2 EC 由余弦定理得 222 51055 2cos222 2252
29、 BCBEECBE ECBEC ， 所以 10 2 BC （2）因为3AC ， 2AEEC ，所以2AE 设DEBEx， 在ABD中，由余弦定理得 2 22 2 244 cos 2 2 22 x ADB x ； 在AED中，由余弦定理得 2 22 2 22 cos 2 2 2 x ADB x ， 所以 22 484 8 24 2 xx xx ，解得 2 2x ， 所以 4 2BD ， 在ABD中，由余弦定理得 222 168322 cos 2416 2 ABADBD BAD ABAD 19 【答案】 （1）不可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关； （2）分 布列见解
30、析， 8 5 【解析】 （1）由题意可得关于商品和服务评价的2 2列联表如下： 对服务好评对服务不满意总计 对商品好评8040120 对商品不满意602080 总计14060200 2 2 200(16002400) 1.5872.706 140 60 120 80 K ， 所以，不可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关 （2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为 802 2005 ， 且X的取值可以是0,1,2,3,4 其中 4 4 381 (0) 55 P X ； 3 1 4 4 23216 (1)C 555 P X ； 22 2 4 4 23216 (2)C
31、555 P X ； 3 3 4 4 2396 (3)C 555 P X ； 4 4 216 (4) 55 P X ， X的分布列为： X01234 P 4 81 5 1 216 5 4 216 5 4 96 5 4 16 5 由于 2 4, 5 XB ， 8 5 EX 20 【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 7 7 【解析】 （1）如图： 取AD的中点O，连接SOCO和AC， 60ADCABC ，且ADDC， 又2ADCD，则ACD为正三角形，故COAD， 3CO ， 又90ASD，ASD为直角三角形， 1 1 2 SOAD， 在ACS中， 222 COSOSC ，则COSO， 又AD
32、SOO，AD、SO 平面ADS， CO 平面ADS， 又CO平面ABCD，平面SAD 平面ABCD （2）90ASD，则点S在以AD为直径的圆上，且1SO ， 设点S到平面ABCD的距离为d， 1 3 SABCDABCD VSh 菱形 ， 而 1 22 2 sin602 3 2 ABCD S 菱形 ， 当d取最大值时四棱锥SABCD的体积最大， 此时SO 平面ABCD， 又由（1）可知COAD，如图建系， 则( 3, 2,0)B，(0,0,1)S，( 3,0,0)C，()0,1,0D， 则(3,2,1)BS ，( 3,0, 1)SC ，(0,1, 1)SD ， 设平面BSC的法向量为 111
33、,(),x y zm，则 0 0 BS SC m m ，即 111 11 320 30 xyz xz ， 取 1 1x ，则 1 0y ， 1 3z ，得(1,0, 3)m； 设平面SCD的法向量为 222 ,(),xyzn，则 0 0 SC SD n n ，即 22 22 30 0 xz yz ， 取 2 1x ，则 2 3y ， 2 3z ，得(1, 3, 3)n， 则 1 32 7 cos, 72 7 m n m n mn ， 设二面角BSCD的平面角为，经观察为钝角， 则 2 7 coscos, 7 m n ， 故二面角BSCD的余弦值为 2 7 7 21 【答案】 （1） 2 2 1
34、 4 x y； （2）证明见解析 【解析】 （1）由题意得 222 22 3 13 1 4 c abc ab ，解得椭圆 C 的方程是 2 2 1 4 x y （2）易得 1 2,0A ， 2 2,0A，0,1B， 1 1 :1 2 AB yx， 2 1 :1 2 A B yx ， 设直线 1 1 :2,0 2 AMyk xkk ， 联立 22 2 44 yk x xy ，得 2222 41161640kxk xk， 2 2 16 2 41 M k x k ，得 2 2 82 41 M k x k ， 2 4 41 M k y k ， 2 1 24 M A M M y k xk ， 直线 2
35、1 :2 4 A Myx k ， 联立 2 1 1 2 yk x yx ，得 244 , 21 21 kk Q kk ； 联立 1 2 4 1 1 2 yx k yx ，得 242 , 21 21 k P kk ， PQx轴且 PQ 的中点 N 为 24 ,1 21 k k ， /BN x轴， BN为 BPQV的中线且PQBN， BPQ为等腰三角形 22 【答案】 （1）ln1,aaa； （2）,1 【解析】 （1） x fxea， 由 0fx ，得lnxa， fx在区间,lna上单调递减，在区间ln ,a上单调递增 函数 fx的最小值为 ln lnln1ln1 a faeaaaaa ， 函数
36、 fx的值域是ln1,aaa （2）当1a 时， 1 x f xex， 2 11 ln1 ln1 g x f xf xxkx x （0 x ） ， 22 1 ln11 ln1 x f xxkxexkx ， 2ln1 11 1 ln1 1 ln1 ln1 xx x x ee ex xx k x xe x x ， 令 1 x e m x x ，则 2 11 x xe m x x ， 令 11 x xxe，则 x xxe， 0 x ， 0 x， x在0,上单调递增， 00 x， 0m x ， 于是 m x在0,上单调递增，且 0m x ， （0 x ） ， 又由（1）知当1a ，0,x时， 1 x f xex的值域是0,， 即 100 x f xexf ， 所以，1 x ex恒成立， ln1xx， 所以， ln1m xmx 即 1 ln1 m x mx ，所以1k ， k的取值范围是,1
