1、课后同步练习(八)空间中的距离 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长都是 2，E，F 分别是 AB，A1C1的中 点，则 EF 的长是() A2B 3C 5D 7 C取 AC 的中点 O，以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 E 1 2， 3 2 ，0 ，F(0，0，2)，所以EF 1 2， 3 2 ，2 ，EF|EF | 1 2 2 3 2 2 22 5 2已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，点 E 是 A1B1的中点，则点 A 到 直线 BE 的距离是() A6 5 5 B4 5 5 C2 5 5 D 5 5 B
2、建立如图所示空间直角坐标系，则BA (0，2，0)，BE (0，1，2) cos |BA BE | |BA |BE | 2 2 5 5 5 sin 1cos22 5 5 故点 A 到直线 BE 的距离 d|AB |sin 22 5 5 4 5 5 故答案为 B 3如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ADAA12，AB4，点 E 是 棱 AB 的中点，则点 E 到平面 ACD1的距离为() A1B2 3 C1 3 D 2 B建立如图所示的空间直角坐标系， A(2，0，0)，D1(0，0，2)，C(0，4，0)， E(2，2，0)，则AD1 (2，0，2)， CD1 (0，4，2)，E
3、D1 (2，2，2) 设平面 ACD1的法向量为 n(x，y，z)， 则 nAD1 0， nCD1 0， 2x2z0， 4y2z0. 令 y1，则 z2，x2， n(2，1，2)，d|ED1 n| |n| 2 221222 2 3 4已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，则平面 AB1D1与平面 BDC1的距 离为() A 2aB 3aC 2 3 aD 3 3 a D由正方体的性质，易得平面 AB1D1平面 BDC1， 则两平面间的距离可 转化为点 B 到平面 AB1D1的距离以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标
4、系， 则 A(a，0，0)，B(a，a，0)，A1(a，0，a)，C(0，a，0)，CA1 (a，a，a)， BA (0，a，0)，连接 A1C，由 A1C平面 AB1D1，得平面 AB1D1的一个法向量为 n(1，1，1)，则两平面间的距离 d|BA n| |n| a 3 3 3 a 5已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，点 E，F 分别在 A1B，B1D1上， 且 A1E1 3A 1B，B1F1 3B 1D1，则 EF 与平面 ABC1D1的距离为() A 3 2 aB 2 3 aC 3 6 aD 2 6 a B如图所示，建立空间直角坐标系 Bxyz，易得 E 2 3a，0，
5、 2 3a， F 1 3a， 1 3a，a， 故EF 1 3a， 1 3a， 1 3a， BA (a，0，0)，BC1 (0，a，a) 设 n(x，y，z)是平面 ABC1D1的一个法向量， 由 nBA 0， nBC1 0 ax0， ayaz0， 令 z1，得 n(0，1，1) EF n 1 3a， 1 3a， 1 3a(0，1，1)0， EF n，故 EF平面 ABC1D1 又BE 2 3a，0， 2 3a， BE n 2 3a，0， 2 3a(0，1，1)2 3a， d|BE n| |n| 2 3 a 二、填空题 6已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，以顶点 A 为端点的三条棱的
6、棱长都 等于 2，且两两夹角都是 60，则 A，C1两点间的距离是_ 2 6设AB a， AD b，AA1 c， 易得AC1 abc， 则|AC1 |2AC1 AC1 (a bc)(abc)a22ab2ac2bcb2c244444424，所以 |AC1 |2 6 7 已知棱长为 1 的正方体 ABCDEFGH， 若点 P 在正方体内部且满足AP 3 4AB 1 2AD 2 3AE ，则点 P 到 AB 的距离为_ 5 6 建立如图所示的空间直角坐标系，则AP 3 4(1，0，0) 1 2(0，1，0) 2 3(0， 0，1) 3 4， 1 2， 2 3 AB (1，0，0)，AP AB |AB
7、 | 3 4， 所以 P 点到 AB 的距离为 d|AP |2| AP AB |AB | 2 181 144 9 16 5 6 8如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，所有棱长均为 1，且 AA1底面 ABC，则 点 B1到平面 ABC1的距离为_ 21 7 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A 3 2 ，1 2，0，B(0，1，0)，B1(0， 1，1)，C1(0，0，1)，则C1A 3 2 ，1 2，1，C1B1 (0，1，0)， C1B (0，1，1) 设平面 ABC1的一个法向量为 n(x，y，1)， 则有 C1A n 3 2 x1 2y10， C1B ny10， 解得 n 3 3 ，
8、1，1 ，则所求距离为| C1B1 n |n| | 1 1 311 21 7 三、解答题 9在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAA11 2AD1，E，F 分别是 A 1D1，BC 的中点，P 是 BD 上一点，PF平面 EC1D (1)求 BP 的长； (2)求点 P 到平面 EC1D 的距离 解(1)以 A1为原点，A1B1，A1D1，A1A 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空 间直角坐标系， B(1，0，1)，D(0，2，1)，F(1，1，1)，E(0，1，0)， C1(1，2，0)， 设 P(a，b，1)，BP BD ，0，1，ED (0，1，1)，EC1 (1，1，0)，B
9、D (1，2，0)， 则BP (a1，b，0)(，2，0)， P(1，2，1)，PF (，12，0)， 设平面 DEC1的法向量 n(x，y，z)， 则 nED yz0， nEC1 xy0， 取 x1，得 n(1，1，1)， PF平面 EC1D， PF n120， 解得1 3， P 2 3， 2 3，1， BP 的长|BP | 2 31 2 2 3 2 112 5 3 (2)由(1)得平面 DEC1的法向量 n(1，1，1)，EP 2 3， 1 3，1， 点 P 到平面 EC1D 的距离 d|EP n| |n| 2 3 2 3 3 10如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC2 2，PAPBPC
10、AC4，O 为 AC 的中点 (1)证明：PO平面 ABC； (2)若点 M 在棱 BC 上，且 MC2MB，求点 C 到平面 POM 的距离 解(1)因为 APCPAC4，O 为 AC 的中点， 所以 OPAC，且 OP2 3 连接 OB，如图因为 ABBC 2 2 AC，所以ABC 为等腰直角三角形，且 OBAC，OB1 2AC2由 OP 2OB2PB2知，OPOB 由 OPOB，OPAC，OBACO，知 PO平面 ABC (2)如图所示，以 O 为原点，直线 OB 为 x 轴，直线 OC 为 y 轴，直线 OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 因为 MC2MB， 所以 M 点坐标为 4
11、 3， 2 3，0，C(0，2，0)，P(0，0，2 3)，O(0，0，0)，OP (0，0，2 3)，OM 4 3， 2 3，0，设平面 POM 的法向量为 m(x，y，z)，则 mOP 0， mOM 0， 即 2 3z0， 4 3x 2 3y0， 令 x1，则可得平面 POM 的一个法向量为 m (1，2，0)又OC (0，2，0)，所以点 C 到平面 POM 的距离 d| OC m |m| | 4 5 5 1设 ABCABC是正三棱柱，底面边长和高都是 1，P 是侧面 ABBA的中心 点，则 P 到侧面 ACCA的对角线的距离是() A1 2 B 3 4 C 14 8 D3 2 8 C法
12、一：如图，连接 AB，在ABC 中，过 P 作 PHAC，垂足为 HAB 2，AC 2，BC1，则由余弦定理知 cosBAC3 4，从而 sinBAC 7 4 ， PHAPsinBAC 2 2 7 4 14 8 即 P 到侧面 ACCA的对角线的距离是 14 8 法二：如图，连接 AB，以 A为坐标原点， AC ，AA 的方向分别为 x 轴、z 轴 的正方向建立空间直角坐标系，由题意知 A(0，0，0)， A(0，0，1)，B 1 2， 3 2 ，0 ，C(1，0，1)，AC (1，0，1) P 是侧面 ABBA的中心点，即 AB的中点，P 1 4， 3 4 ，1 2 ， 则有PA 1 4，
13、3 4 ，1 2 故PA 在AC 上的投影的大小为| PA AC |AC |3 2 8 ， P 到侧面 ACCA的对角线的距离 d|PA |2|PA AC |AC | 2 14 8 2如图所示，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AA12，ABBC1，动点 P， Q 分别在线段 C1D，AC 上，则线段 PQ 长度的最小值是() A 2 3 B 3 3 C2 3 D 5 3 C建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1，0，0)， B(1，1，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，2) 根据题意，可设点 P 的坐标为(0，2)，0，1，点 Q 的坐标为(1， 0)，0，1， 则 PQ 12
14、242 2252221 5 1 5 2 9 5 5 9 2 4 9， 当且仅当1 9， 5 9时，线段 PQ 的长度取得最小值 2 3 3如图所示，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面为直角梯形，ABCD， 且ADC90，AD1，CD 3，BC2，AA12，E 是 CC1的中点，则 A1B1 到平面 ABE 的距离为_，二面角 ABEC 的余弦值为_ 2 6 4 如图，以 D 为原点， DA ， DC ，DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间 直角坐标系，则 A1(1，0，2)， A(1，0，0)，E(0，3，1)， 过 C 作 AB 的垂线交 AB 于 F，易得 BF 3，
15、B(1，2 3，0)， AB (0，2 3，0)，BE (1， 3，1) 设平面 ABE 的一个法向量为 n(x，y，z)， 则 nAB 0， nBE 0， 得 2 3y0， x 3yz0， y0，xz，不妨取 n(1，0，1) AA1 (0，0，2)， A1B1到平面 ABE 的距离 d|AA1 n| |n| 2 2 2 又 B1(1，2 3，2)，BB1 (0，0，2)，CB (1，3，0) 设平面 BCE 的一个法向量为 n(x，y，z)，易得 x 3y，z0，取 n ( 3，1，0)，n与 n 所成的角为， 则 cos |nn| |n|n| 3 22 6 4 4设棱长为 a 的正方体
16、ABCDA1B1C1D1中，点 M 在棱 C1C 上滑动，则点 B1 到平面 BMD1的距离的最大值是_ 6 3 a如图所示， 以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系， 则 D1(0， 0， a)， B(a， a，0)，B1(a，a，a)，设 M(0，a，b)(0ba)，则BB1 (0，0，a)，BM (a，0， b)， BD1 (a， a， a)， 设平面 BMD1的法向量为 n(x， y， z)， 则 nBM 0， nBD1 0， 即 axbz0， axayaz0， 令 xb， 得平面 BMD1的一个法向量为 n(b， ab， a)， 点 B1到 平 面 BMD1的 距 离 为 d | BB
17、1 n |n| | a2 2 a2abb2 a2 2 b1 2a 2 3 4a 2 ，当 b1 2a 时，d 取最大值，即 d max 6 3 a 已知 PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形，PAAD2，点 E，F 分别 为 PA，PD 的中点问在 CD 上是否存在一点 Q，使得点 A 到平面 EFQ 的距离恰 为4 5？若存在，求出 CQ 的长；若不存在，请说明理由 解以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 C(2，2，0)， E(0，0，1)，F(0，1，1)，从而EF (0，1，0)，EA (0，0，1) 假设在 CD 上存在一点 Q 满足条件，设点 Q(x0，2，0)，其中 0 x02，则EQ (x0，2，1)，设平面 EFQ 的法向量为 n(x，y，z)，则 nEF 0， nEQ 0， 即 y0， x0 x2yz0， 取 x1，得平面 EFQ 的一个法向量为 n(1，0，x0)，所以点 A 到平面 EFQ 的距离为| EA n |n| | x0 1x20|4 5，解得 x 04 3，所以点 Q 4 3，2，0，所以CQ 2 3，0，0，则|CQ |2 3所以在 CD 上存在一点 Q 满足 条件，且 CQ 的长为2 3
