1、第十九章第十九章 四边形四边形 19.3.1矩形矩形 第第 1 课时课时矩形的性质矩形的性质 一、教学目标一、教学目标 1掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系. 2会运用矩形的概念和性质来解决有关问题. 二、教学重点及难点二、教学重点及难点 重点：矩形的性质的理解和掌握. 难点：矩形的性质的灵活运用并进行简单的推理与计算. 三、教学用具三、教学用具 能够活动的矩形框架、多媒体课件 四、相关资料四、相关资料 推拉门、活动衣架、篱笆、井架等图片、动画矩形的性质 五、教学过程五、教学过程 【情景引入】【情景引入】 1展示生活中一些平行四边形的实际应用图片，想一想：这里面应用了平行四
2、边形的什么 性质？ 2思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，不管怎么拉，它还是一个平行 四边形吗？为什么(动画演示拉动过程如图)? 3再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么 图形(小学学过的长方形)，引出本课题及矩形定义 教师总结：矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都是矩形 矩形概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形是平行四边形，但平行四边形不一定 是矩形，矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质 【新知讲解】【新知讲解】 通过二个活动引导学生从角、对角线、对称性等几个方面去探究矩形的性质. 活动 1：通过观察
3、，发现矩形在平行四边形性质的基础上还具有哪些特有性质？ . 结论：矩形的四个角都是直角 求证：矩形的四个角都是直角 已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，且A=90 求证：A= B= C=D=90 证明：四边形 ABCD 是矩形， C=A=90，D=B，ADBC A+ B=180， D=B=180-A =180- 90=90， 即矩形的四个角都是直角 矩形的性质定理矩形的四个角都是直角 符号语言： 四边形 ABCD 是矩形， A=B=C=D=90 活动 2：观察图形的变化观察图形的变化你发现了什么？你发现了什么？ . 结论：矩形的对角线相等 求证：矩形的对角线相等求证：矩形的对角线相等 已知：
4、四边形 ABCD 是矩形求证：AC = BD 证明：在矩形 ABCD 中， ABC = DCB = 90， AB = DC ， BC = CB， ABCDCB， AC = BD， 即矩形的对角线相等即矩形的对角线相等 矩形的性质定理矩形的性质定理矩形的对角线相等矩形的对角线相等 符号语言： 四边形 ABCD 是矩形， AC = BD 已知：在 RtABC 中，ABC=90，BO 是 AC 上的中线 求证:BO = 1 2 AC 证明：延长 BO 至 D, 使 OD=BO,连接 AD、DC AO=OC,BO=OD， 四边形四边形 ABCD 是平行四边形是平行四边形 ABC=90， 平行四边形 A
5、BCD 是矩形， AC=BD，BO= 1 2BD= 1 2 AC 直角三角形的性质定理直角三角形的性质定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 符号语言： RtABC中， ABC=90，OA=OC， BO= 1 2 AC 【合作探究】【合作探究】 探究点一：矩形的性质 【类型一】 矩形的四个角都是直角 例例 1 如图，矩形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，且 AE 平分BAC.若 BE4，AC15，则AEC 的面积为() A15B30C45D60 解析：解析：如图，过 E 作 EFAC，垂足为 F. AE 平分BAC，EFAC，BEAB， EFBE4， SAEC1 2ACEF 1 215
6、430.故选 B. 方法总结：方法总结：矩形的四个角都是直角，常作为证明或求值的隐含条件 【类型二】 矩形的对角线相等 例例 2 如图所示，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，AOD60，AD2，则 AC 的长 是() A2B4C2 3D4 3 解析解析： 根据矩形的对角线互相平分且相等可得 OCODOA1 2AC， 由AOD60得AOD 为等边三角形，即可求出 AC 的长故选 B. 方法总结：矩形的两条对角线互相平分且相等，即对角线把矩形分成四个等腰三角形，当两 条对角线的夹角为 60或 120时，图中有等边三角形，可以利用等边三角形的性质解题 探究点二：直角三角形斜边上的中线等于斜边
7、的一半 例例 3 如图，已知 BD，CE 是ABC 不同边上的高，点 G，F 分别是 BC，DE 的中点，试说 明 GFDE. 解析：解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角三 角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理 解：解：连接 EG，DG. BD，CE 是ABC 的高， BDCBEC90. 点 G 是 BC 的中点， EG1 2BC，DG 1 2BC， EGDG. 又点 F 是 DE 的中点， GFDE. 方法总结方法总结：在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形 的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题 【新知
8、运用】【新知运用】 【类型一】 利用矩形的性质求有关线段的长度 例例 1 如图，已知矩形 ABCD 中，E 是 AD 上的一点，F 是 AB 上的一点，EFEC，且 EF EC，DE4cm，矩形 ABCD 的周长为 32cm，求 AE 的长 解析：解析：先判定AEFDCE，得 CDAE，再根据矩形的周长为 32cm 列方程求出 AE 的 长 解：解：四边形 ABCD 是矩形， AD90， CEDECD90. 又EFEC， AEFCED90， AEFECD. 而 EFEC， AEFDCE， AECD. 设 AExcm， CDxcm，AD(x4)cm， 则有 2(x4x)32，解得 x6. 即 A
9、E 的长为 6cm. 方法总结方法总结：矩形的各角为直角，常作为全等的一个条件用来证三角形全等，可借助直角的条 件解决直角三角形中的问题 【类型二】 利用矩形的性质求有关角度的大小 例例 2 如图，在矩形 ABCD 中，AEBD 于 E，DAEBAE31，求BAE 和EAO 的度数 解析解析：由BAE 与DAE 之和为 90及这两个角之比可求得这两个角的度数，从而得ABO 的度数，再根据矩形的性质易得EAO 的度数 解：解：四边形 ABCD 是矩形，DAB90， AO1 2AC，BO 1 2BD，ACBD， BAEDAE90，AOBO. 又DAE：BAE3：1， BAE22.5，DAE67.5
10、. AEBD， ABE90BAE9022.567.5， OABABE67.5， EAO67.522.545. 方法总结方法总结： 矩形的性质是证明线段相等或倍分、 角的相等与求值及线段平行或垂直的重要依 据 【随堂练习】【随堂练习】 如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C处，BC交 AD 于点 E，AD8，AB 4，求BED 的面积 【课堂小结】【课堂小结】 1.矩形的四个角都是直角 2.矩形的对角线相等 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 设计意图：通过问题的设置将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的设计意图：通过问题的设置将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的 重点知识重点知识. 【板书设计】【板书设计】 第 1 课时矩形的性质 1.矩形的四个角都是直角 2.矩形的对角线相等 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
