1、1-3-3.循环小数与分数的拆分.题库教师版page 1 of 7 循环小数的计算循环小数的计算 教学目标教学目标 循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律 进行简算的问题 知识点拨知识点拨 1. 1 7 的“秘密” 1 0.142857 7 ， 2 0.285714 7 ， 3 0.428571 7 , 6 0.857142 7 2.推导以下算式 1 0.1 9 ； 124 0.12 9933 ； 12341 0.123 999333 ； 1234 0.1234 9999 ； 12111 0.12 9090 ； 123 1237 0.123 9
2、00300 ； 12341231111 0.1234 90009000 ； 123412611 0.1234 99004950 ； 12341137 0.1234 99901110 以0.1234 为例，推导 123412611 0.1234 99004950 设0.1234A ，将等式两边都乘以 100，得：10012.34A ； 再将原等式两边都乘以 10000，得：100001234.34A ， 两式相减得：10000100123412AA，所以 123412611 99004950 A 3.循环小数化分数结论 纯循环小数纯循环小数混循环小数混循环小数 分子分子循环节中的数字所组成的数
3、循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与 不循环部分数字所组成的数的差 分母分母 n 个 9，其中 n 等于循环节所 含的数字个数 按循环位数添 9，不循环位数添 0，组成分 母，其中 9 在 0 的左侧 0. 9 a a ； 0. 99 ab ab ； 1 0.0 9910990 abab ab ； 0. 990 abca abc ， 例题精讲例题精讲 1-3-3.循环小数与分数的拆分.题库教师版page 2 of 7 模块一、循环小数的认识 【例【例 1 1】 在小数在小数l.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是_(注：公元注
4、：公元 2007 年年 10 月月 24 日北京时间日北京时间 18 时时 05 分，我国第一颗月球探测卫星分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号嫦娥一号”由由“长征三号甲长征三号甲”运载火运载火 箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。) 【考点】循环小数的认识【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，1 试 【解析】【解析】因为要得到最小的循环小数， 首先找出小数部分最小的数为 0， 再看 0 后面一位上的数字， 有 05、 02、00、07，00 最小，所以得到的最小循环小数为l.8
5、0524102007 【答案】l.80524102007 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】给下列不等式中的循环小数添加循环点：给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.19980.19980.19980.1998 【考点】循环小数的认识【难度】3 星【题型】计算 【解析】【解析】根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最小数字 1 的小数，因 此一定是0.1998 ，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字 8，因此一定是0.1998 其后添加 的循环点必定使得小数点后第五位出现 9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循 环节中在 9 后一定还是 9， 所以最大的
6、循环小数是0.1998 ， 而次大数为0.1998 ， 于是得到不等式： 0.19980.19980.19980.1998 【答案】0.19980.19980.19980.1998 【例【例 2 2】 真分数真分数 7 a 化为小数后化为小数后， 如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是 1992， 那么那么a是是 多少多少? 【考点】循环小数的认识【难度】3 星【题型】计算 【解析】【解析】 1 =0.142857 7 ， 2 7 =0.285714 ， 3 7 =0.428571 ， 4 7 =0.571428 ， 5 7 =0.
7、714285 ， 6 7 =0.857142 因 此，真分数 7 a 化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是 1+4+2+8+5+7=27，又 因为 199227=7321,27-21=6，而 6=2+4，所以 . =0.857142 7 a ，即6a 【答案】6a 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】真分数真分数 7 a 化成循环小数之后，从小数点后第化成循环小数之后，从小数点后第 1 位起若干位数字之和是位起若干位数字之和是9039，则，则a是多少？是多少？ 【考点】循环小数的认识【难度】3 星【题型】计算 【解析】【解析】我们知道形如 7 a 的真分数转化成循环小数后，循环节都
8、是由 1、2、4、5、7、8 这 6 个数字组 成，只是各个数字的位置不同而已，那么9039就应该由若干个完整的142857和一个不 完整142857组成。903912457833421，而21276，所以最后一 个循环节中所缺的数字之和为 6，经检验只有最后两位为 4，2 时才符合要求，显然，这种情况下 完整的循环节为“857142”，因此这个分数应该为 6 7 ，所以6a 。 【答案】6a 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】真分数真分数 7 a 化成循环小数之后，小数点后第化成循环小数之后，小数点后第 2009 位数字为位数字为 7，则，则a是多少？是多少？ 【考点】循环小数的认识【难度】3
9、 星【题型】计算 【解析】【解析】我们知道形如 7 a 的真分数转化成循环小数后， 循环节都是由 6 位数字组成，200963345， 因此只需判断当a为几时满足循环节第 5 位数是 7，经逐一检验得3a 。 1-3-3.循环小数与分数的拆分.题库教师版page 3 of 7 【答案】3a 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】（2009 年学而思杯年学而思杯 4 年级第年级第 6 题）题）67所得的小数，小数点后的第所得的小数，小数点后的第2009位数字是位数字是 【考点】循环小数的认识【难度】3 星【题型】计算 【解析】 6 0.857142857142 7 6个数一循环，200963345，是
10、 4 【答案】4 【例【例 3 3】 写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立：写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立：0.6+0.06+0.006+=2002_ 。 【考点】循环小数的认识【难度】3 星【题型】计算 【关键词】小希望杯，4 年级 【解析】0.6+0.06+0.006+=0.6 = 62 93 =20023003 【答案】3003 【例【例 4 4】 下面有四个算式：下面有四个算式： 0.6+0. . 1330.733; 0.625= 5 8 ； 5 14 + 3 2 = 35 142 = 8 16 = 1 2 ； 3 3 7 4 1 5 =14 2 5 ； 其中正确的算
11、式是（其中正确的算式是（）. （A）和和(B) 和和(C) 和和(D) 和和 【考点】循环小数的认识【难度】3 星【题型】选择 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】对题中的四个算式依次进行检验： 10.6+0.133=0.6+0.133133=0.733133，所以不正确； 20.625= 5 8 是正确的； 3两个分数相加应该先进行通分， 而非分子、 分母分别相加， 本算式通过 3 2 1 2 即可判断出其不正确； 4 3 3 7 1 4 5 = 24 7 21 5 = 72 5 = 2 14 5 ，所以不正确。 那么其中正确的算式是和，正确答案为 B。 【答案】B 【例【例 5 5】 在混合循
12、环小数在混合循环小数2.718281 的某一位上再添上一个表示循环的圆点，使新产生的循环小数尽可能 的某一位上再添上一个表示循环的圆点，使新产生的循环小数尽可能 大，请写出新的循环小数。大，请写出新的循环小数。 【考点】循环小数的认识【难度】3 星【题型】计算 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】小数点后第 7 位应尽可能大，因此应将圈点点在 8 上，新的循环小数是2.718281 。 【答案】2.718281 【例【例 6 6】 将将 1 2 化成小数等于化成小数等于 0.5，是个有限小数是个有限小数；将将 1 11 化成小数等于化成小数等于 0.090，简记为简记为0.09 ， ，是纯循环小是
13、纯循环小 数；将数；将 1 6 化成小数等于化成小数等于 0.1666，简记为，简记为0.16 ，是混循环小数。现在将 ，是混循环小数。现在将 2004 个分数个分数 1 2 ， 1 3 ， 1-3-3.循环小数与分数的拆分.题库教师版page 4 of 7 1 4 ， 1 2005 化成小数，问：其中纯循环小数有多少个？化成小数，问：其中纯循环小数有多少个？ 【考点】循环小数的认识【难度】3 星【题型】计算 【关键词】华杯赛，总决赛，二试 【解析】凡是分母的质因数仅含 2 和 5 的，化成小数后为有限小数，凡是分母的质因数不含 2 和 5 的，化 成小数后为有限小数后为纯循环小数，所以本题实
14、际上是问从 2 到 2005 的 2004 个数中，不含质 因数 2 或 5 的共有多少个.这 2004 个数中，含质因数 2 的有 200421002 个，含质因数 5 的有 20055401 个，既含 2 又含 5 的有 200010200 个，所以可以化成纯循环小数的有 2004 1002401200801 个. 【答案】801 模块二、循环小数计算 【例【例 7 7】 计算：计算：0.30.030.003 （结果写成分数形式）（结果写成分数形式） 【考点】循环小数计算【难度】2 星【题型】计算 【关键词】希望杯，五年级，一试 【解析】原式 11189 330300300 。 【答案】
15、89 300 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算：03+03 =_(结果写成分数 结果写成分数)。 【考点】循环小数计算【难度】2 星【题型】计算 【关键词】希望杯，五年级，一试 【解析】原式= 3119 10330 【答案】 19 30 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】请将算式请将算式0.10.010.001 的结果写成最简分数 的结果写成最简分数 【考点】循环小数计算【难度】2 星【题型】计算 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】原式 11110010111137 990900900900300 . 【答案】 37 300 【例【例 8 8】 计算计算: :2.0042.008 （结果
16、用最简分数表示） （结果用最简分数表示） 【考点】循环小数计算【难度】2 星【题型】计算 【关键词】华杯赛，总决赛，一试 【解析】原式 481804200636188249047065606 224 900999900999899100224775224775 【答案】 5606 4 224775 【例【例 9 9】 将将 425 5.425 0.6350.63 999 的积写成小数形式是的积写成小数形式是_. 【考点】循环小数计算【难度】2 星【题型】计算 【关键词】华杯赛，初赛 1-3-3.循环小数与分数的拆分.题库教师版page 5 of 7 【解析】 5 9994250.6342534
17、146 5.425 0.6350.633.4180 9999999990 【答案】3.4180 【例【例 1010】计算：计算：0.010.120.230.340.780.89 【考点】循环小数计算【难度】2 星【题型】计算 【解析】【解析】方法一：0.010.120.230.340.780.89 1121232343787898 909090909090 11121317181 909090909090 = 216 2.4 90 方法二：0.010.120.230.340.780.89 =0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+ 0.010.020.030.040.080.09 =2.1
18、+0.01 (1+2+3+4+8+9) 1 2.127 90 2.10.32.4 【答案】2.4 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算计算 （1）0.2910.1920.3750.526 （2）0.3300.186 【考点】循环小数计算【难度】2 星【题型】计算 【解析】【解析】（1）原式 29119213755265 999990999990 291375521 191 999990 666330 1 999990 （2）原式 3301861 999990 330 185 999990 5 81 【答案】 （1）1（2） 5 81 【例【例 1111】 0.540.36 19 1.2 1.2
19、4 27 【考点】循环小数计算【难度】2 星【题型】计算 【解析】【解析】 法一：原式 54536494899 90999011990 法二：将算式变为竖式： 可判断出结果应该是 0.908，化为分数即是 9089899 990990 原式 22419111231920 11 99927999279 【答案】 899 990 20 9 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】 计算：计算：0.160.1428570.1250.1 19 1.2 1.24 27 _ 【考点】循环小数计算【难度】2 星【题型】计算 【关键词】香港圣公会，希望杯，六年级，1 试 0.544444 0.363636 0.908
20、080 1-3-3.循环小数与分数的拆分.题库教师版page 6 of 7 【解析】【解析】 原式 16114285711 1001099999989 1111275 6789504 ； 原式 22419111231920 11 99927999279 【答案】 275 504 20 9 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】 11 0.15 0.2180.3 111 ； 2.2340.9811 (结果表示成循环小数结果表示成循环小数) 【考点】循环小数计算【难度】2 星【题型】计算 【解析】【解析】原式 1512182311 909909111 37111112345679 0.012345679
21、 99311181999999999 2342232 2.23422 990990 ， 98 0.98 99 ，所以 2329824222 2.2340.98211 9909999090 ， 2212 2.2340.98111110.090.020.113 901190 【答案】0.012345679 0.113 【例【例 1212】0.30.030.0032009（） 。 【考点】循环小数计算【难度】2 星【题型】计算 【关键词】中环杯，五年级，决赛 【解析】【解析】 . 1 0.30.030.0030.3 3 ，所以括号中填200936027 【答案】6027 【例【例 1313】计算计算
22、 2009200911 99900999909901 (结果表示为循环小数结果表示为循环小数) 【考点】循环小数计算【难度】4 星【题型】计算 【解析】【解析】由于 1 0.00001 99900 ， 1 0.00001 99990 ， 所以 11 0.000010.000010.00000000900991 9990099990 ， 而9009917 13 990191 9901， 所以， 200920091111 0.00000000900991 2009 999009999099019901 0.00000000000091 11 20090.00000000001001 20090.0
23、0000002011009 【答案】0.00000002011009 【例【例 1414】某学生将某学生将1.23 乘以一个数 乘以一个数a时时， 把把1.23 误看成 误看成 1.23，使乘积比正确结果减少使乘积比正确结果减少 0.3.则正确结果该是则正确结果该是 多少多少? 【考点】循环小数计算【难度】3 星【题型】计算 【解析】【解析】由题意得：1.231.230.3aa ，即：0.0030.3a ，所以有： 33 90010 a 解得90a ， 所以 111 1.231.23 9090111 90 a 【答案】111 【例【例 1515】计算：计算：0.1+0.125+0.3+0.16
24、 ，结果保留三位小数，结果保留三位小数 【考点】循环小数计算【难度】2 星【题型】计算 【解析】【解析】方法一：0.1+0.125+0.3+0.160.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359=0.736 1-3-3.循环小数与分数的拆分.题库教师版page 7 of 7 方法二：0.1+0.125+0.3+0.16 11315 98990 111 188 53 0.7361 72 【答案】0.736 【例【例 1616】将循环小数将循环小数0.027 与 与0.179672 相乘 相乘，取近似值取近似值，要求保留一百位小数要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位那么
25、该近似值的最后一位 小数是多少小数是多少? 【考点】循环小数计算【难度】3 星【题型】计算 【解析】【解析】0.027 0.179672 2717967211796724856 0.004856 99999999937999999999999 循环节有 6 位，1006=164，因此第 100 位小数是循环节中的第 4 位 8，第 10l 位是 5这样 四舍五入后第 100 位为 9 【答案】9 【例【例 1717】有有 8 个数个数，0.51 ， 2 3 , 5 9 ,0.51 , 24 13 , 47 25 是其是其中中 6 个个， 如果按从小到大的顺序排列时如果按从小到大的顺序排列时，
26、第第 4 个数是个数是0.51 ， ， 那么按从大到小排列时，第那么按从大到小排列时，第 4 个数是哪一个数个数是哪一个数? 【考点】循环小数计算【难度】3 星【题型】计算 【解析】【解析】 2 =0.6 3 ,5=0.5 9 , 24 0.5106 47 , 13 =0.52 25 显然有0.51060.510.510.520.50.6 即 241352 0510.51 472593 ，8 个数从小到大排列第 4 个 是0.51 ，所以有 241352 0.510.51 472593 口 口(“”，表示未知的那 2 个数).所以，这 8 个数 从大到小排列第 4 个数是0.51 【答案】0.
27、51 【例【例 1818】 2002 2009 和和 1 287 化成循环小数后第化成循环小数后第 100 位上的数字之和是位上的数字之和是_. 【考点】循环小数计算【难度】2 星【题型】计算 【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 14 题 【解析】【解析】如果将 2002 2009 和 1 287 转化成循环小数后再去计算第 100 位上的数字和比较麻烦，通过观察计算我 们发现 20021 1 2009287 ，而10.9 ，则第 100 位上的数字和为 9. 【答案】9 【例【例 1919】将循环小数将循环小数 . 0.081与与 . 0.200836相乘，小数点后第相乘，小数点后第2008位是位是。 【考点】循环小数计算【难度】3 星【题型】计算 【关键词】走美杯，6 年级，决赛 【解析】 . 3 0.081 37 ， . 200836 0.200836 999999 ，所以乘积为 . 320083616284 0.016284 37999999999999 ， 200863344，所以第2008位是2。 【答案】2
