1、5-4-3.约数与倍数（三）.题库教师版page 1 of 11 5-4-3.5-4-3.约数与倍数（三）约数与倍数（三） 教学目标教学目标 1.本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。 2.本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识， 例如： （1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； （2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为. 的结构， 而且表达形式唯一” 知识点拨知识点拨 一、约数、公约数与最大公约数概念 (1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数 a 能被整数 b 整除，a 叫做
2、 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数； (2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”； (3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数； (4)0 被排除在约数与倍数之外 1 求最大公约数的方法 分解质因数法分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来 例如：2313 7 11 ， 22 252237，所以(231,252)3 721； 短除法：短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘例如： 21812 396 32 ，所以(12,18)236； 辗转相除法：辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数用辗转相 除法求
3、两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除 小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前 一个余数，直到余数是 0 为止那么，最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是 1，那么原 来的两个数是互质的) 例如，求 600 和 1515 的最大公约数：15156002315 ；6003151285 ；315285130 ； 28530915 ；301520 ；所以 1515 和 600 的最大公约数是 15 2 最大公约数的性质 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； 几个数的公
4、约数，都是这几个数的最大公约数的约数； 几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n 3 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数 a；求出各个分数的分子的最 大公约数 b； b a 即为所求 4 约数、公约数最大公约数的关系 5-4-3.约数与倍数（三）.题库教师版page 2 of 11 （1）约数是对一个数说的； （2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数 二、倍数的概念与最小公倍数 (1)倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数 (2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，
5、如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数 (3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。 1. 求最小公倍数的方法 分解质因数的方法； 例如：2313 7 11 ， 22 252237，所以 22 231,252237 112772 ； 短除法求最小公倍数； 例如： 21812 396 32 ，所以18,1223 3236 ； , ( , ) ab a b a b 2. 最小公倍数的性质 两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数 两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积 两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数 3. 求一组分数
6、的最小公倍数方法步骤 先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大公约数b；b a 即 为所求例如： 353,515 , 4 12(4,12)4 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如： 1,4 1 4 ,4 2 32,3 4 倍数、公倍数、最小公倍数的关系 （1）倍数是对一个数说的； （2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数 三、最大公约数与最小公倍数的常用性质 1 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 如果m为A、B的最大公约数，且Ama，Bmb，
7、那么ab、互质，所以A、B的最小公倍数为mab， 所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系： ABmambmmab，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积； 最大公约数是A、B、AB、AB及最小公倍数的约数 2 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 即( , ) , a ba bab，此性质比较简单，学生比较容易掌握。 3 对于任意对于任意 3 个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为 5-4-3.约数与倍数（三）.题库教师版page 3 of 11 a)奇偶奇，那么这
8、三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如：567210 ，210 就是 567 的最小公倍数 b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的 2 倍倍 例如：678336 ，而 6,7,8 的最小公倍数为3362168 性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几 个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。 四、求约数个数与所有约数的和 1 求任一整数约数的个数 一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加
9、1 后所得的乘积。 如:1400 严格分解质因数之后为 32 257，所以它的约数有(3+1)(2+1) (1+1)=432=24 个。(包括 1 和 1400 本身) 约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过 的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌 握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有 多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。 2 求任一整数的所有约数的和 一个整数的所有约数的和是在
10、对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从 1 加至这个质因数的最 高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。 如： 33 2100023 57 ，所以 21000 所有约数的和为 2323 (1222 )(13)(1555 )(17)74880 此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记 忆即可。 例题精讲例题精讲 模块一、运用大公约和小公倍的模型解题 如果m为A、B的最大公约数，根据模型知道： （1）且Ama，Bmb （2）那么ab、互质 （3）所以A、B的最大公约数为m，最小公倍数为mab （4）最大公约数与最
11、小公倍数的成绩为A与B的成绩 【例【例 1 1】 甲数是甲数是 36，甲、乙两数最大公约数是，甲、乙两数最大公约数是 4，最小公倍数是，最小公倍数是 288，那么乙数是多少？，那么乙数是多少？ 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】法 1：根据两个自然数的积两数的最大公约数两数的最小公倍数，有：甲数乙数4288，所 以，乙数42883632； 法 2：因为甲、乙两数的最大公约数为 4，则甲数49，设乙数4b，则( ,9)1b因为甲、乙 两数的最小公倍数是 288，则28849b ，得8b 所以，乙数4 832 【答案】32 【巩固】【巩固】【巩固】【巩
12、固】已知已知 A、B 两数的最小公倍数是两数的最小公倍数是 180，最大公约数是，最大公约数是 30，若，若 A=90，则，则 B=。 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试，第 5 题，5 分 5-4-3.约数与倍数（三）.题库教师版page 4 of 11 【解析】根据最小公倍数最大公约数AB，知道，180309060B 【答案】60 【例【例 2 2】 已知两个自然数的积为已知两个自然数的积为 240，最小公倍数为，最小公倍数为 60，求这两个数，求这两个数 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】3 星【题型】解答 【解析】【
13、解析】由于两个自然数的积两数的最大公约数两数的最小公倍数，可以得到，最大公约数是 240604，设这两个数分别为4a、4b，那么( , )1a b ，且60415ab，所以a和b可以取 1 和 15 或 3 和 5 ，所以这两个数是 4 和 60 或 12 和 20 【答案】这两个数是 4 和 60 或 12 和 20 【例【例 3 3】 两个自然数的和是两个自然数的和是 50，它们的最大公约数是，它们的最大公约数是 5，试求这两个数的差，试求这两个数的差 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】设这两个自然数为：5ab、5，其中a与b互质，5550ab
14、，10ab，经检验，容易得到两组符 合条件的数：9 与 1 或者 7 与 3于是，所要求的两个自然数也有两组：45 与 5，35 与 15它们的 差分别是：45540，351520所以，所求这两个数的差是 40 或者 20 【答案】这两个数的差是 40 或者 20 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】两个自然数的和是两个自然数的和是 125，它们的最大公约数是，它们的最大公约数是 25，试求这两个数，试求这两个数 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】125255，51423 ，两数可以为 25、100 或者 50、75 【答案】两数可以为 25、100
15、或者 50、75 【例【例 4 4】 已知两数的最大公约数是已知两数的最大公约数是 21，最小公倍数是，最小公倍数是 126，求这两个数的和是多少？，求这两个数的和是多少？ 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】假设这两个数是21a和21b，易得21126ab，所以6ab，由a和b互质，那么就有 61 623 两种情况所以甲、乙是：21 121 ，21 6126或21 242，21 363两种情 况它们的和是 147 或 105 【答案】和是 147 或 105 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】已知两个自然数的最大公约数为已知两个自然数的最大公约数为
16、4，最小公倍数为，最小公倍数为 120，求这两个数，求这两个数 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】这两个数分别除以最大公约数所得的商的乘积等于最小公倍数除以最大公约数的商，120430， 将 30 分解成两个互质的数之积：1 和 30，2 和 15，3 和 10，5 和 6，所以这两个数为 4 与 120，或 8 与 60，或 12 与 40，或 20 与 24 【答案】两个数为 4 与 120，或 8 与 60，或 12 与 40，或 20 与 24 【例【例 5 5】 甲、乙两个自然数的最大公约数是甲、乙两个自然数的最大公约数是 7，并且甲数除
17、以乙数所得的商是，并且甲数除以乙数所得的商是 1 18.乙数是乙数是_. 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】2 星【题型】填空 【解析】【解析】由(甲，乙)7，且甲：乙9:8，由于 8 与 9 互质，所以乙数8756. 【答案】56 【例【例 6 6】 已知正整数已知正整数 a、b 之差为之差为 120，它们的最小公倍数是其最大公约数的它们的最小公倍数是其最大公约数的 105 倍倍，那么那么 a、b 中较大的数中较大的数 是多少？是多少？ 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】设ab，有120ab，又设()a bd,，apd，bqd，( ,
18、)1p q ，且pq，则 , a bpqd， 有105pqdd，所以1053 57pq 因为()120abpq d，所以()pq是 120 的约数 若105p ，1q ，则104pq，不符合； 若35p ，3q ，则32pq，不符合； 若21p ，5q ，则16pq，不符合； 若15p ，7q ，则8pq，符合条件 由()8120pq dd，得15d ，从而 a、b 中较大的数15 15225apd 【答案】225 5-4-3.约数与倍数（三）.题库教师版page 5 of 11 【例【例 7 7】 已知两个自然数的和为已知两个自然数的和为 54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为，它们的最小
19、公倍数与最大公约数的差为 114，求这两个自然数，求这两个自然数 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】设这两个自然数分别是ma、mb，其中m为它们的最大公约数，a与b互质(不妨设a b)，根据题 意有： ()54 (1)114 mbmam ab mabmm ab 所以可以得到m是 54 和 114 的公约数，所以是(54,114)6的约数1m ，2，3 或 6 如果1m ，由()54mab，有54ab；又由(1)114mab，有115ab 1151 115523 ，但是1 11511654，5232854，所以1m . 如果2m ，由()54mab，
20、有27ab；又由(1)114mab，有58ab 581 58229 ，但是1585927，2293127，所以2m 如果3m ，由()54mab，有18ab；又由(1)114mab，有39ab 391 393 13 ，但是1394018，3131618，所以3m 如果6m ，由()54mab，有9ab；又由(1)114mab，有20ab 20 表示成两个互质的数的乘积有两种形式：201 2045 ， 虽然120219， 但是有459， 所以取6m 是合适的，此时4a ，5b ，这两个数分别为 24 和 30 【答案】两个数分别为 24 和 30 【例【例 8 8】 有两个自然数，它们的和等于有
21、两个自然数，它们的和等于 297，它们的最大公约数与最小公倍数之和等于，它们的最大公约数与最小公倍数之和等于 693，这两个自然数，这两个自然数 的差是的差是 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】两个自然数的最大公约数是它们的和的约数，也是它们的最小公倍数的约数，所以是它们的最大公 约数与最小公倍数的和的约数，也就是 297 和 693 的公约数，也就是297,69399的约数99 的约 数共有 6 个，此时可以逐一分情况进行讨论，但较繁琐 设这两个数分别为ad和bd，其中,1a b ，ab，d是它们的最大公约数那么 297ab d，1693dabd
22、abd，相比得 16937 2973 ab ab ，所以3377abab，即9212190abab，可得 373740ab 由于37a 和37b 都是 40 的约数且除以 3 余 2，只能为 372 3720 a b 或者 375 378 a b ，可得 3 9 a b 或 4 5 a b 由于297ab d，所以ab是 297 的约数， 3 9 a b 不符合，所以只能为 4 5 a b ，此时 2974533d ，这两个数的差为33bdadba d 【答案】33 【例【例 9 9】 已知自然数已知自然数 A、B 满足以下满足以下 2 个性质个性质： （1）A、B 不互质不互质； （2）A、
23、B 的最大公约数与最小公倍数之的最大公约数与最小公倍数之 和为和为 35。那么。那么 A+B 的最小值是多少？的最小值是多少？ 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】设( , )A BM，那么,AMa BMb，其中 a,b 分别表示 A,B 的独有因数。那么 , A BMab，即有 ( , ) , (1)35A BA BMMabMab，因为 A,B 不互质，所以1M ，而根据上面的式子 M 是 35 的因数，所以 M 只可能为 5 或 7. 1）当 M=5 时，ab=6,此时有 12 , 63 aa bb ()51635ABM ab，或()52325A
24、BM ab 5-4-3.约数与倍数（三）.题库教师版page 6 of 11 2）当 M=7 时，ab=4,此时有 12 , 42 aa bb （舍）因为,1a b ()71435ABM ab，或()72228ABM ab（舍） 所以 A+B 的最小值是 25。 【答案】25 【例【例 1010】两个整两个整数数A、 B的最大公约数的最大公约数是是C， 最小公倍数最小公倍数是是D， 并且已并且已知知C不等不等于于1， 也不等也不等于于A或或B， C+D=187， 那么那么 A+B 等于多少？等于多少？ 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】最大公约数
25、C，当然是 D 最小公倍数的约数，因此 C 是 187 的约数，187=1117，C 不等于 1，只能 是 C=11 或者 C=17如果 C=11，那么 D=187-11=176A 和 B 都是 176 的约数，A 和 B 不能是 11， 只能是 22，44，88，176 这四个数中的两个，但是这四个数中任何两个数的最大公约数都不是 11， 由此得出 C 不能是 11现在考虑 C=17，那么 D=187-17=170，A 和 B 是 170 的约数，又要是 17 的 倍数，有 34，85，170 三个数，其中只有 34 和 85 的最大公约数是 17，因此，A 和 B 分别是 34 和 85，
26、A+B=34+85=119 【答案】119 【例【例 1111】若若 a , b , c 是三个互不相等的大于是三个互不相等的大于 0 的自然数，且的自然数，且 a + b + c = 1155 ，则它们的最大公约数的最大，则它们的最大公约数的最大 值 为值 为， 最 小 公 倍 数 的 最 小 值 为， 最 小 公 倍 数 的 最 小 值 为， 最 小 公 倍 数 的 最 大 值， 最 小 公 倍 数 的 最 大 值 为为 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，6 年级，决赛，第 8 题，10 分 【解析】由于 a + b + c = 1155，而
27、 1155=35711。令 a=mp，b=mq，c=ms.m 为 a，b，c 的最大公约数，则 p+q+s 最小取 7。此时 m=165. 为了使最小公倍数尽量小，应使三个数的最大公约数 m 尽量大，并且使 A，B，C 的最小公倍数尽量 小，所以应使 m=165，A=1，B=2，C=4，此时三个数分别为 165，330，660，它们的最小公倍数为 660，所以最小公倍数的最小值为 660。 为了使最小公倍数尽量小，应使三个数两两互质且乘积尽量大。当三个数的和一定时，为了使它们 的乘积尽量大，应使它们尽量接近。由于相邻的自然数是互质的，所以可以令 1155=384+385+386， 但是在这种情
28、况下 384 和 386 有公约数 2，而当 1155=383+385+387 时，三个数两两互质，它们的最 小公倍数为 383385387=57065085，即最小公倍数的最大值为 57065085。 【答案】最大公约数的最大值为165，最小公倍数的最小值为660，最小公倍数的最大值为57065085 模块二、约数的个数与约数的和 【例【例 1212】2008 的约数有（的约数有（）个。）个。 【考点】约数的个数与约数的和【难度】3 星【题型】解答 【关键词】走美杯，四年级，初赛，第 4 题 【解析】因为 2008=222251，所以约数有（3+1）（1+1）=8（个） 【答案】8个 【巩固
29、】【巩固】【巩固】【巩固】2008006 共有共有()个质因数。个质因数。 （A）4（B)5(C)6(D)7 【考点】约数的个数与约数的和【难度】3 星【题型】选择 【关键词】华杯赛，初赛，第 2 题 【解析】因为 2008006=20061000+2006=20061001=（21759）（71113），共有6个。 【答案】6个 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】105 的约数共有几个的约数共有几个? 【考点】约数的个数与约数的和【难度】3 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 3 题 【解析】105357，共有(11)(11)(11)8 个约数，即 1，3，5，7，15，21，35，1
30、05。 【答案】8个 5-4-3.约数与倍数（三）.题库教师版page 7 of 11 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】已知已知 300=2300=22 23 35 55 5，则，则 300300 一共有一共有个不同的约数。个不同的约数。 【考点】约数的个数与约数的和【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，5 年级，初赛，第 5 题，6 分 【解析】32318 个 【答案】18 【例【例 1313】筐中有筐中有 60 个苹果个苹果，将它们全部都取出来将它们全部都取出来，分成偶数堆分成偶数堆，使得每堆的个数相同使得每堆的个数相同。问问：有多少种分法？有多少种分法？ 【考点】约数的个数与约数
31、的和【难度】3 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 8 题 【解析】方法一：偶数 60 的约数中，偶数有 8 个，即：2，4，6，10，12，20，30，60 因此有 8 种分法. 方法二： 偶数个约数， 即602=30的所有约数，30=23 5 ， 所以共有 1 11 11 1 =8个约数。 【答案】8个约数 【例【例 1414】数数 360 的约数有多少个的约数有多少个?这些约数的和是多少这些约数的和是多少? 【考点】约数的个数与约数的和【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】360 分解质因数:360=222335= 3 2 2 35；360 的约数可以且只能是2a3b5c,
32、(其中 a,b,c 均是 整数,且 a 为 03,6 为 02,c 为 01)因为 a、b、c 的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知, 约数的个数为(3+1)(2+1)(1+1)=24我们先只改动关于质因数 3 的约数,可以是 l,3, 2 3,它们的和为 (1+3+ 2 3),所以所有 360 约数的和为(1+3+ 2 3)2y5w；我们再来确定关于质因数 2 的约数,可以是 l,2, 2 2, 3 2,它们的和为(1+2+ 2 2+ 3 2)，所以所有 360 约数的和为(1+3+ 2 3)(1+2+ 2 2+ 3 2)5w；最后确 定 关 于 质 因 数 5 的 约 数 , 可 以
33、 是 1,5, 它 们 的 和 为 (1+5), 所 以 所 有 360 的 约 数 的 和 为 (1+3+ 2 3)(1+2+ 2 2+ 3 2)(1+5)于是,我们计算出值:13156=1170所以,360 所有约数的和为 1170 【答案】约数有 24 个，和为 1170 【例【例 1515】20086ab , a b均为自然数均为自然数a有有_种不同的取值种不同的取值 【考点】约数的个数与约数的和【难度】3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 8 题 【解析】由20086ab 可知，ab+6=2008，ab=2002。又因为 2002=271113，而且a6，所以a的
34、取值有：3+ 23 44 CC+1=14（种） 【答案】14 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】2010 除以正整数除以正整数 N，余数是，余数是 15，那么，那么 N 的所有可能值的个数是的所有可能值的个数是。 【考点】约数的个数与约数的和【难度】3 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，6 年级，1 试，第 5 题 【解析】2010151995，19953 57 19 ，1995 的约数有 16 个，其中小于等于 15 的有 5 个，所以满足 条件的 N 有 11 个。 【答案】11 【例【例 1616】自然数自然数 N 有有 45 个正约数。个正约数。N 的最小值为的最小值为。 【考点】约数
35、的个数与约数的和【难度】4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，6 年级，决赛，第 5 题，8 分 【解析】【解析】由于4545 115 3955 3 3 ，根据约数个数公式，自然数 N 可能分解成 44 a、 142 ab、 84 ab、 422 abc等形式， 在以上各种形式下， N 的最小值分别为 44 2、 142 23、 84 23、 422 235， 比较这些数的大小，可知 4414284422 22323235，所以最小值是 422 2353600 【答案】3600 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】自然数自然数N有有20个正约数，个正约数，N的最小值为的最小值为。 【考点】约数的个
36、数与约数的和【难度】4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 1 题，8 分 【解析】因为约数的个数是指数加 1 再相乘，所以先将 20 分解质因数，2020 110254522 ， 5-4-3.约数与倍数（三）.题库教师版page 8 of 11 若想 N 最小：20522 ，那么指数为 4、1、1，经试算，最小值为 4 23 5240 。 【答案】240 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】恰有恰有 20 个因数的最小自然数是（个因数的最小自然数是（ ） 。 （A）120 （B）240 （C）360 （D）432 【考点】约数的个数与约数的和【难度】4 星【题型】选择 【关键词
37、】华杯赛，初赛，第 5 题 【解析】B，20=20=210=45=225，四种情况下的最小自然数分别为： 19 2、 9 23、 43 23、 4 23 5 ， 其中最小的是最后一个，为 240。 【答案】B 【例【例 1717】设设 A 共有共有 9 个不同的约数个不同的约数，B 共有共有 6 个不同的约数个不同的约数，C 共有共有 8 个不同的约数个不同的约数，这三个数中的任何两这三个数中的任何两 个都不整除，则这三个数之积的最小值是多少？个都不整除，则这三个数之积的最小值是多少？ 【考点】约数的个数与约数的和【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】本题考查对约数个数计算公式的灵活应用
38、 由公式的结果倒推，A 有 9 个约数，那么符合公式的要求有，9(21)(21)，或者9(01)(81)， 若要求 A 的值尽可能小， 则 A 不可能为某个质数的 8 次方的形式， 那么说明 A 的形式为 22 Aab的 形式，为最终满足三个数的乘积最小的要求，那么 A 最小为 22 23A ，类似的可以知道 2 Bab, 同时为满足最小要求 2 52B 。 C 为 8 个约数情况可能有两种， 3 ,Cmnp Cmn，其中当 3 32C 时数字最小，同时三个 数任意 2 个都不整除，所以此时三个数的乘积为20243617280 【答案】17280 【例【例 1818】在在 1 到到 100 中
39、，恰好有中，恰好有 6 个约数的数有多少个？个约数的数有多少个？ 【考点】约数的个数与约数的和【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】61 623 ，故 6 只能表示为51或 1 121，所以恰好有 6 个约数的数要么能表示成某 个质数的 5 次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100 以内符合前者的只有 32，符 合后者的数枚举如下： 22222222 2222 22 2 2325272112132172192238 3235373114 52532 721 个 个 个 个 所以符合条件的自然数一共有1842116 个 【答案】16 个 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】恰有恰
40、有 8 个约数的两位数有个约数的两位数有_个个 【考点】约数的个数与约数的和【难度】5 星【题型】填空 【解析】【解析】根据约数个数公式，先将 8 进行分解：81 824222 ，所以恰有 8 个约数的数至多有 3 个 不同的质因数，分解质因数后的形式可能为 7 A， 13 A B， 111 A B C其中由于 7 2128100，所以 7 A 形式的没有符合条件的两位数； 13 A B形式中， B 不能超过 3， 即可能为 2 或 3， 有 3 23、 3 32、 3 52、 3 72、 3 11 2，共 5 个； 111 A B C形式的有23 5 、23 7 、23 11 、23 13
41、、257 ，共 5 个所以共有5510个符合条件的数 【答案】10 个 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】在三位数中，恰好有在三位数中，恰好有 9 个约数的数有多少个？个约数的数有多少个？ 【考点】约数的个数与约数的和【难度】5 星【题型】解答 【解析】【解析】由于91 93 3 ，根据约数个数公式，可知 9 个约数的数可以表示为一个质数的 8 次方，或者两 个不同质数的平方的乘积， 前者在三位数中只有 8 2256符合条件， 后者中符合条件有 22 25100、 22 27196、 22 211484、 22 213676、 22 35225、 22 37441，所以符合条件的有 7 个 5-
42、4-3.约数与倍数（三）.题库教师版page 9 of 11 【答案】7 个 【例【例 1919】能被能被 2145 整除且恰有整除且恰有 2145 个约数的数有个约数的数有个个 【考点】约数的个数与约数的和【难度】5 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，6 年级，第 6 题 【解析】【解析】先将 2145 分解质因数：21453 5 11 13 ，所以能被 2145 整除的数必定含有 3，5，11，13 这 4 个质因数；由于这样的数恰有 2145 个约数，所以它至多只有 4 个质因数，否则至少有 5 个质因数， 根据约数个数的计算公式，则有 5 个大于 1 的整数的乘积等于 2145，而
43、2145 只能分解成 3，5，11， 13 的乘积，矛盾所以所求的数恰好只有 3，5，11，13 这 4 个质因数 对于这样的每一个数， 分解质因数后 3， 5， 11， 13 这 4 个因子的幂次都恰好是23 1，451， 1011 1，1213 1的一个排列，所以共有4!24种 【答案】24 个 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】能被能被 210 整除且恰有整除且恰有 210 个约数的数有个约数的数有个个 【考点】约数的个数与约数的和【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】21023 57 ，所以原数肯定含有 2，3，5，7 这四个质因子，而且幂次一定按照某种顺序是 1， 2，4，6，可
44、以任意排列，所以有4!24个 【答案】24 个 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】1001 的倍数中，共有的倍数中，共有个数恰有个数恰有 1001 个约数个约数 【考点】约数的个数与约数的和【难度】6 星【题型】填空 【关键词】仁华学校 【解析】【解析】1001 的倍数可以表示为1001k， 由于10017 11 13， 如果 k 有不同于 7， 11， 13 的质因数， 那么1001k 至少有 4 个质因数，将其分解质因数后，根据数的约数个数的计算公式，其约数的个数为 1234 11111 n aaaaa， 其 中4n 如 果 这 个 数 恰 有 1001 个 约 数 ， 则 1234 111
45、1110017 11 13 n aaaaa， 但是 1001 不能分解成 4 个大于 1 的数的乘 积，所以4n 时不合题意，即 k 不能有不同于 7，11，13 的质因数那么1001k只有 7，11，13 这 3 个质因数设100171113 abc k ，则1111001abc，1a 、1b 、1c 分别为 7，11， 13， 共有3!6种选择， 每种选择对应一个1001k， 所以 1001 的倍数中共有 6 个数恰有 1001 个约数 【答案】6 个 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】如果一个自然数的如果一个自然数的 2004 倍恰有倍恰有 2004 个约数，这个自然数自己最少有多少个约数
46、？个约数，这个自然数自己最少有多少个约数？ 【考点】约数的个数与约数的和【难度】6 星【题型】解答 【解析】【解析】设这个自然数是a， 2 200423 167 ，将a分解质因数，设 12 12 23167 n bbbxyz n aaaa，其中 x，y，z 可以是 0 或正整数，其余的系数都是正整数，则这个数的约数的个数 12 (1)(1)(1)(1)(1)(1) n Axyzbbb 因为这个自然数的 2004 倍恰有 2004 个约数，所以 2 12 (3)(2)(2)(1)(1)(1)200423 167 n xyzbbb 可得 2004(3)(2)(2)322 (1)(1)(1)111
47、xyzxyz Axyzxyz ， 要想使A最小，需要使 322 111 xyz xyz 最大， 而 32 33 11 xx xx ， 2 22 11 yy yy ， 2 22 11 zz zz ， 所以 2004 32212 A ，得到167A 要想使等号成立，必须0 xyz，1n ， 1 166b ，即此数为一个不是 2，3，167 的质数的 166 次方，此时这个数的约数有 167 个故这个自然数最少有 167 个约数 【答案】167 个 5-4-3.约数与倍数（三）.题库教师版page 10 of 11 【例【例 2020】已知偶数已知偶数 A 不是不是 4 的整数倍，它的约数的个数为的
48、整数倍，它的约数的个数为 12，求，求 4A 的约数的个数的约数的个数. 【考点】约数的个数与约数的和【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】由于 A 是偶数但不是 4 的倍数， 所以 A 只含有 1 个因子 2， 可将 A 分解成 1 2AB， 其中 B 是奇数， 根据约数个数公式， 它的约数的个数为1 112N(其中 N 为 B 的约数个数)， 则 3 482ABB， 它的约数个数为1324N个 【答案】24 个 【例【例 2121】已知已知mn、两个数都是只含质因数两个数都是只含质因数 3 和和 5，它们的最大公约数是，它们的最大公约数是 75，已知，已知m有有 12 个约数，个约数
49、，n有有 10 个约数，求个约数，求m与与n的和的和 【考点】约数的个数与约数的和【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】因为 2 753 5， 如果设35 pq m ，35 xy n ， 那么px、中较小的数是 1，qy、中较小的数是 2 由 于一个数的约数的个数等于它分解质因数后每个质因数的次数加 1 的乘积 所以(1)(1)12pq， (1)(1)10 xy 又122634，1025， 由于2y ， 所以13y ， 那么15y ，12x ， 得到1x ，4y 那么2q ，得到3p ，所以 32 35675m ， 4 3 51875n ，=2550mn 【答案】2550 【例【例 22
50、22】已知已知 A 数有数有 7 个约数个约数，B 数有数有 12 个约数个约数，且且 A、B 的最小公倍数的最小公倍数,1728A B ，则则B 【考点】约数的个数与约数的和【难度】4 星【题型】填空 【关键词】101 中学 【解析】【解析】 63 172823，由于 A 数有 7 个约数，而 7 为质数，所以 A 为某个质数的 6 次方，由于 1728 只有 2 和 3 这两个质因数，如果 A 为 6 3，那么 1728 不是 A 的倍数，不符题意，所以 6 2A ，那么 3 3为 B 的约数，设 3 23 k B ，则 13112k ，得2k ，所以 23 23108B 【答案】108
