1、绝密启用前 2021 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上，写在本试卷上无效。 3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1设集合 | 24Axx ，2,3, 4,5B ，则AB A2B2,3C3, 4D2,3, 4 2已知2iz ，则(i)z z A
2、62iB42iC62iD42i 3已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 A2B2 2C4D4 2 4下列区间中，函数 ( )7sin() 6 f xx单调递增的区间是 A (0,) 2 B (, ) 2 C 3 (,) 2 D 3 (, 2) 2 5已知 1 F， 2 F是椭圆 22 1 94 xy C：的两个焦点，点M在C上，则 12 | |MFMF的最 大值为 A13B12C9D6 6若tan2 ，则 sin (1sin2 ) sincos A 6 5 B 2 5 C 2 5 D 6 5 7若过点( , )a b可以作曲线exy 的两条切线，则 AebaBea
3、bC0ebaD0eab 8有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次， 每次取 1 个球甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1” ，乙表示事件“第二次取 出的球的数字是 2” ，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 8” ，丁表示事件“两 次取出的球的数字之和是 7” ，则 A甲与丙相互独立B甲与丁相互独立 C乙与丙相互独立D丙与丁相互独立 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9有一组样本数据 12 , n x xx，由这组
4、数据得到新样本数据 12 , n yyy，其中 (1, 2, ) ii yxc in，c为非零常数，则 A两组样本数据的样本平均数相同B两组样本数据的样本中位数相同 C两组样本数据的样本标准差相同D两组样本数据的样本极差相同 10已知O为坐标原点，点 1(cos ,sin ) P， 2(cos , sin )P， 3(cos( ),sin()P， (1, 0)A，则 A 12 |OPOP B 12 |APAP C 312 OA OPOP OP D 123 OA OPOP OP 11已知点P在圆 22 (5)(5)16xy上，点(4, 0)A，(0, 2)B， 则 A点P到直线AB的距离小于 1
5、0B点P到直线AB的距离大于 2 C当PBA最小时，|3 2PB D当PBA最大时，|3 2PB 12在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 1ABAA，点P满足 1 BPBCBB ，其中 0,1，0,1，则 A当1 时， 1 AB P的周长为定值 B当1 时，三棱锥 1 PABC的体积为定值 C当 1 2 时，有且仅有一个点P，使得 1 APBP D当 1 2 时，有且仅有一个点P，使得 1 AB 平面 1 AB P 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知函数 3 ( )(22) xx f xx a 是偶函数，则a _ 14已知O为坐标原点，抛物线 2 2(
6、0)C ypx p：的焦点为F，P为C上一点，PF与 x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQOP若|6FQ ，则C的准线方程为 _ 15函数( )|21| 2lnf xxx的最小值为_ 16某校学生在研究民间剪纸艺术时， 发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折 规 格为20 dm 12 dm的长方形纸， 对折 1 次共可以得到10 dm 12 dm，20 dm6 dm两 种规格的图形，它们的面积之和 2 1 240 dmS ，对折 2 次共可以得到5dm 12 dm， 10 dm6 dm，20 dm3dm三种规格的图形，它们的面积之和 2 2 180 dmS ，以此 类推则对折 4 次共可以得到不
7、同规格图形的种数为_；如果对折n次，那 么 1 n k k S _ 2 dm 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分） 已知数列 n a满足 1 1a ， 1 1, 2, n n n an a an 为奇数 为偶数. （1）记 2nn ba，写出 1 b， 2 b，并求数列 n b的通项公式； （2）求 n a的前 20 项和 18 （12 分） 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题每位参加比赛的同学先在 两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若 回答正确则从另一类问题中再随机抽
8、取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛 结束A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；B 类问题中的每个问题 回答正确得 80 分，否则得 0 分。 已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6， 且能正确回答问题的概率与回答次序无关 （1）若小明先回答 A 类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由 19 （12 分） 记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知 2 bac，点D在边AC 上，sinsinBDABCaC （1）证明：BDb； （2）若
9、2ADDC，求cosABC 20 （12 分） 如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD 平面 BCD，ABAD，O为BC的中点 （1）证明：OACD； （2）若OCD是边长为 1 的等边三角形， 点E在 棱AD上，2DEEA，且二面角EBCD的大小为 45，求三棱锥ABCD的体积 21 （12 分） 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中 ， 已 知 点 1( 17, 0)F ， 2( 17, 0) F， 点M满 足 12 |2MFMF记M的轨迹为C （1）求C的方程； （2）设点T在直线 1 2 x 上， 过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点， 且| | |TATBTPTQ，求直线A
10、B的斜率与直线PQ的斜率之和 22 （12 分） 已知函数( )(1ln )f xxx （1）讨论( )f x的单调性； （2）设a，b为两个不相等的正数，且lnlnbaabab，证明： 11 2e ab A E B O D C 绝密启用前试卷类型：B 2021 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题 卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码 横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 。 2作答选择题时，选出每小题答
11、案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项 的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答 案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各 题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写 上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1设集合|
12、24Axx ，2,3,4,5B ，则AB （） A 2B2,3C3,4D2,3,4 【答案】B 2已知2iz ，则 iz z （） A62iB42iC62iD42i 【答案】C 3已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（） A2B2 2C4D4 2 【答案】B 4下列区间中，函数 7sin 6 f xx 单调递增的区间是（） A0 2 ，B, 2 C 3 , 2 D 3 ,2 2 【答案】A 5已知 1 F， 2 F是椭圆C： 22 1 94 xy 的两个焦点，点M在C上，则 12 MFMF的最 大值为（） A13B12C9D6 【答案】C 6若tan2 ，则 si
13、n1sin2 sincos （） A 6 5 B 2 5 C 2 5 D 6 5 【答案】C 7若过点, a b可以作曲线 x ye的两条切线，则（） A b eaB a ebC0 b aeD0 a be 【答案】D 8有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次， 每次取1个球甲表示事件“第一次取出的球的数字是1” ，乙表示事件“第二次取出 的球的数字是2” ，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8” ，丁表示事件“两次 取出的球的数字之和是7” ，则（） A甲与丙相互独立B甲与丁相互独立 C乙与丙相互独立D丙与丁相互独立 【答案】B 二、选择题：本题共二、选择
14、题：本题共 4 小题。每小题小题。每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项分。在每小题给出的选项中，有多项 符合符合题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9有一组样本数据 1 x， 2 x， n x，由这组数据得到的新样本数据 1 y， 2 y， n y， 其中i1,2, ii yxcn，c为非零常数，则（） A两组样本数据的样本平均数相同 B两组样本数据的样本中位数相同 C两组样本数据的样本标准差相同 D两组样本数据的样本极差相同 【答案】CD 10已知O为坐标原点，点 1
15、cos ,sinP， 2 cos , sinP， 3 cos,sinP，1,0A，则（） A 12 OPOP B 12 APAP C 2 31 OA OPOP OP D 123 OA OPOP OP 【答案】AC 11已知点P在圆 22 5516xy上，点4,0A，0,2B，则（） A点P到直线AB的距离小于10 B点P到直线AB的距离大于2 C当PBA最小时，3 2PB D当PBA最大时，3 2PB 【答案】ACD 12在正三棱柱 111 ABCA BC中， 1 1ABAA，点P满足 1 BPBCBB ，其中 0,1，0,1，则（） A当=1时， 1 AB P的周长为定值 B当1时，三棱锥
16、1 PA BC的体积为定值 C当 1 2 时，有且仅有一个点P，使得 1 A PBP D当 1 2 时，有且仅有一个点P，使得 1 A B 平面 1 AB P 【答案】BD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13已知函数 3 22 xx f xxa 是偶函数，则a 【答案】1 14已知O为坐标原点，抛物线C： 2 20ypx p的焦点为F,P为C上一点，PF与 x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQOP若6FQ ，则C的准线方程 为 【答案】 3 2 x 15函数 212lnf xxx的最小值为 【答案】1 16 某校学生在研究民间
17、剪纸艺术时， 发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折 规 格为20 dm12 dm的长方形纸， 对折1次共可以得到10 dm 12 dm，20 dm6 dm两 种规格的图形，它们的面积之和 2 1 240 dmS ，对折2次共可以得到5 dm 12 dm， 10 dm6 dm，20 dm3 dm三种规格的图形，它们的面积之和 2 2 180 dmS ，以此 类推则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n次， 那么 1 n k k S 2 dm 【答案】5， 3 720240 2n n 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程
18、或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分） 已知数列 n a满足 1 1a ， 1 1 2 n n n an a an 为奇数 为偶数 （1）记 2nn ba，写出 1 b， 2 b，并求数列 n b的通项公式； （2）求 n a的前20项和 【答案】 （1）2n为偶数， 则 212 2 nn aa ， 2221 1 nn aa ， 222 3 nn aa ，即 1 3 nn bb ，且 121 12baa ， n b是以2为首项，3 为公差的等差数列， 1 2b， 2 5b ，31 n bn （2）当n为奇数时， 1 1 nn aa ， n a的前20项和为
19、 1220 aaa 13192420 aaaaaa 24202420 111aaaaaa 2420 210aaa 由（1）可知， 24201210 aaabbb 109 2 103 2 155 n a的前20项和为2 15510300 18 （12 分） 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题每位参加比赛的同学先在 两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束； 若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同 学比赛结束A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的 每个问题回答正确得80分，否则得0分 已知小明能
20、正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且 能正确回答问题的概率与回答次序无关 （1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由 【答案】 （1）X的取值可能为0，20，100， 010.80.2P X ， 200.810.60.32P X ， 1000.8 0.60.48P X ， X的分布列为 X020100 P0.20.320.48 （2）假设先答B类题，得分为Y， 则Y可能为0，80，100， 010.60.4P Y ， 800.610.80.12P Y ， 1000.6 0.
21、80.48P Y ， Y的分布列为 Y080100 P0.40.120.48 0 0.480 0.12100 0.4857.6E Y， 由（1）可知0 0.220 0.32100 0.4854.4E X ， E YE X， 应先答B类题 19 （12 分） 记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知 2 bac，点D在边AC上， sinsinBDABCaC （1）证明：BDb； （2）若2ADDC，求cosABC 【答案】 （1）在ABC中， sinsin ACAB ABCC ， sinsinBDABCaC， sinsin BDa CABC ， 联立得 ABAC BDa ，即acb B
22、D， 2 bac， BDb （2）若2ADDC， ABC中， 222 cos 2 abc C a b ， BCD中， 2 22 3 cos 2 3 b ab C b a ， =， 2 22222 3 3 b abcab ， 整理得 2 22222 33 3 b abcab， 222 11 20 3 abc， 2 bac， 22 61130aacc，即 3 c a 或 3 2 ac， 若 3 c a 时， 2 2 3 c bac， 则 222 cos 2 acb ABC a c 22 2 2 93 2 3 cc c c 2 2 7 9 2 3 c c 7 6 （舍） ， 若 3 2 ac， 22
23、 3 2 bacc， 则 222 cos 2 acb ABC a c 222 2 93 42 3 ccc c 2 2 7 4 3 c c 7 12 . 20 （12 分） 如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD 平面BCD，ABAD，O是BD的中点 （1）证明：OACD； （2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA，且二面角 EBCD的大小为45，求三棱锥ABCD的体积 【答案】 （1）ABAD，O为BD中点， AOBD， AO 面ABD， 面ABD 面BCD且面ABD面BCDBD， AO面BCD， AOCD （2）以O为坐标原点，OD为y轴，OA为z轴，垂直OD且过O的直
24、线为x轴， 设 3 1 ,0 22 C ，0,1,0D，0, 1,0B，0,0,Am， 1 2 0, , 3 3 Em , 42 = 0, 33 EBm ， 3 3 ,0 22 BC ， 设 1111 ,nx y z 为面EBC法向量， 111 111 42 0 33 33 0 22 EB nymz BC nxy ， 11 11 20 30 ymz xy ， 令 1 1y ， 1 2 z m ， 1 3x ， 1 2 31n m ， ， 面BCD法向量为0,0,OAm ， 1 2 22 cos, 24 4 n OA m m ，解得1m ， 1OA， 11 2 11 22 ABD SBDOA ，
25、 13 36 A BCDABDc VSx 21 （12 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知点 1 17,0F ， 2 17,0F，点M满足 12 2MFMF记M的轨迹为C （1）求C的方程； （2） 设点T在直线 1 2 x 上， 过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点， 且TA TBTPTQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和 【答案】 （1） 12 2MFMF， 轨迹C为双曲线右半支， 2 17c ，22a ， 2 1a， 2 16b ， 2 2 10 16 y xx （2）设 1 , 2 Tn ， 设AB： 1 1 2 ynkx ， 联立 1 2 2 1 2 1 16 ynk
26、x y x ， 22222 11111 1 162160 4 kxkk n xknk n， 2 11 12 2 1 2 16 kk n xx k ， 22 11 12 2 1 1 16 4 16 knk n xx k ， 2 11 1 1 2 TAkx ， 2 12 1 1 2 TBkx ， 2 112 11 1 22 TATBkxx 22 1 2 1 12 1 16 nk k ， 设PQ： 2 1 2 ynkx ， 同理 22 2 2 2 12 1 16 nk TPTQ k ， TA TBTPTQ， 22 12 22 12 11 1616 kk kk ， 22 12 1717 11 1616
27、kk ， 22 12 1616kk，即 22 12 kk， 12 kk， 12 0kk. 22 （12 分） 已知函数 1lnf xxx （1）讨论 f x的单调性； （2）设a，b为两个不相等的正数，且lnlnbaabab，证明： 11 2e ab 【答案】 （1） 1ln,0,f xxxx 1ln1lnfxxx 0,1 ,0,xfxf x 1,0,xfxf x f x在0,1单调递增， f x在1,单调递减 （2）由lnlnbaabab，得 111111 lnln aabbba 即 1111 1ln1ln aabb 令 1 1 x a ， 2 1 x b 则 12 ,x x为 f xk的两
28、根，其中0,1k 不妨令 1 0,1x ， 2 1,xe，则 1 21x 先证 12 2xx，即证 21 2xx 即证 211 2f xf xfx 令 2h xf xfx 则 2hxfxfx lnln 2 ln2 xx xx 0,1 20,1 x xx 0hx 恒成立， h x 11 10 2 h xh f xfx 12 2xx得证 同理，要证 12 xxe 即证 211 f xf xf ex 令 ,0,1xf xf exx 则 lnxx ex ，令 0 0 x 0 0,0,xxxx 0,1 , 0,xxxx 又0 x ， 0f x ，且 0f e 故0 x ， 00， 1 =110ff e 0 x恒成立 12 xxe得证 11 2e ab
