1、第八模块 平面解析几何 (必修2:第三章 直线与方程;第四 章 圆与方程;选修1-1:第二章 圆 锥曲线方程) 第三十七讲 直线的倾斜角 斜 率及直线方程 回归课本 1.直线的倾斜角 在直角坐标系中,对于与x轴相交的直线,以x轴为基准,x轴正 向与直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角,当直线 与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.因此,倾斜角 的范围是0,180). 2.直线的斜率 直线倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率,即斜率 k=tan ( 90).设两点 P (x ,y ),P (x ,y ),(x x ),则过这两点的斜率 1 1 1 2 2 2 1 2 k . 2 y y 1 x
2、 x1 2 注意:因为当 =90时,tan 不存在,所以此时直线不存在 斜率,即与x轴垂直的直线没有斜率,在坐标关系上,表现为 该直线上任意两点横坐标相同.但任何直线都有倾斜角,且 倾斜角范围为0,180). 3.直线方程的形式 (1)点斜式: 方程的形式为y-y =k(x-x ).不能用点斜式表示的直线为与x 1 1 轴垂直的直线. (2)两点式: y y x x , 11 方程的形式为不能用两点式表示的直线 y y x x 2121 为与坐标轴垂直的直线. (3)斜截式: 方程的形式为y=kx+b,不能用斜截式表示的直线为与x轴垂直 的直线. (4)截距式: x y 1,方程的形式为不能用
3、截距式表示的直线为与坐 a b 标轴平行或经过原点的直线. (5)一般式: 方程的形式为Ax+By+C=0(A B不同时为0),它是关于x、y的二 元一次方程. 注意:以上几种直线方程的形式,每一种方程形式都有其各自 成立的条件和适用范围.我们用待定系数法求出方程的形 式,还要注意验证不满足该方程形式的直线是否符合题意, 若满足题意,还应再加上该直线. 考点陪练 2 1.( 2010 山东淄博)直线l经过A 2,1 、B 1,m (m R)两 点, 那么直线l的倾斜角的取值范围是（ ） 3 4 4 A. 0, B. 0, C. 0, 4 D. 0, 4 2 2 m 1 1 2 : k 解析 2
4、 又 所以 的 1 m 1, k tan ,0 , l 倾斜角的取值范围为 0, 4 2 答案:D 2.( 2010 福建福州2月)设直线2x my 1的倾斜角为,若 m(,2 3) 2,),则角的取值范围是 _ . 2 解析:据题意知tan ,3或m2, m 3 6 4 3 0 tan 或0 tan 1. 0,. 3 3 6 4 答案: 0, 3.设直线ax+by+c=0的倾斜角为 ,且sin +cos =0,则a、b 满足( ) A.a+b=1 C.a+b=0 B.a-b=1 D.a-b=0 解析:0 180,又sin +cos =0,tan =-1, a 即 ,a-1b=0. b 答案:
5、D 4.设直线l与x轴的交点是P,且倾斜角为 ,若将此直线绕点P 按时针方向旋转45,得到直线的倾斜角为 +45,则( ) A.0 180 C.0 135 B.0 135 D.0 135 解析:注意直线倾斜角的取值范围,直线l与x轴相交,其倾斜 0 180, 角不能为0,由得0 135. 0 45 180,答案:D 5.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距相等的直线的条数是 ( ) A.1 条 C.3 条 B.2条 D.4条 解析:注意有直线过原点时截距相等为0和不过原点时倾斜角 为135两种情况. 答案:B 类型一直线的倾斜角和斜率 解题准备:直线的斜率与倾斜角的关系 设直线l的倾斜角为 ,斜
6、率为k. (1)0 180,k(-,+). (2)当 =0时,k=0;当0 0. 当 =90时,k不存在;当90 180时,k0. (3)当0 90时,k随着 的增大而增大且k0; 当90 180时,k随着 的增大而增大且k0,b0,则当且仅当直线l的斜率为 时,直 a 线l与x轴,y轴的正半轴围成的ABO的面积S取得最小值 2ab. 错源一忽视了直线斜率的变化随倾斜角变化的关系以及直线 倾斜角为90时直线无斜率而致错 4 1 【典例1】已知点A 2,1 ,B 2, 2 ,若直线l过点P , 5 5 且总与线段AB有交点,则直线l的斜率k的取值范围是 _ . 错解如图所示,由经过两点的直线的斜
7、率公式可得,直线 113 PA的斜率k , PB的斜率k .所以直线l的斜率k PAPB 76 11 3 的取值范围是 , . 6 7 剖析在直线l的允许活动范围内,l的倾斜角连续变化时, 直线斜率的变化并不一定连续,当直线l垂直于x轴(即直线 l的倾斜角为90)时,直线l的斜率不存在.出错的原因是 忽视了直线斜率的变化与倾斜角变化的关系,忽视直线倾 斜角为90时直线无斜率. 正解当直线l由位置PA绕点P转动到位置PB时, l的斜率逐 渐变大直至当l垂直于x轴时,当直线l垂直于x轴时l无斜率, 再转时斜率为负值逐渐变大直到PB的位置,所以直线l的 311311 斜率kk 或kk ,即k 或k
8、. PAPB 7676 311 6 答案k 或k 7 评析当直线的倾斜角 0,90)时,随着 的增大, 直线的斜率k为非负值且逐渐变大;当直线倾斜角 (90,180)时,随着 的增大,直线的斜率k为负值 且逐渐变大. 错源二 混淆“截距”与“距离”或忽视截距为零 【典例2】求过定点P(2,1)且与坐标轴围成的三角形的面积 为4的直线方程. x y 错解设所求的直线方程为 1. a b 2 1 因为直线过点P 2,1 ,所以 1, a b 即a 2b ab, 1 又由题意可得 ab 4; 2 即ab 8, a 2b ab, 由可得 解得a 4, b 2. ab 8, 故所求直线方程为x 2y 4
9、 0. 剖析错解误将直线在x轴和y轴上的截距作为距离使用. x y 正解设所求的直线方程为 1. a b 2 1 因为直线过点P 2,1 ,所以 1, a b 即a 2b ab, 直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 1 | a | b | 4, 2 由易得所求直线方程为 x 2y 4或 2 1 x 2 2 1 y 4 0 或 2 1 x 2 2 1 y 4 0. 评析截距不是距离,直线的横(纵)截距是指直线与横(纵) 轴交点的横(纵)坐标.因为截距是一个点的横或纵坐标,所 以截距可正 可负,也可以为零.如果不说明横或纵截距,只 说截距通常是指纵截距.当题目中出现“截距相等” “截 距的绝对值相
10、等” “截距互为相反数”,“在一坐标轴上 的截距是另一坐标轴上的截距的m倍(m0)”等条件时,若 采用截距式求直线方程,都要考虑“零截距”的情况. 技法一 巧用斜率求函数最值 y b x a y b x a 对形如 的函数,在求其最值时,可以将 看成动点 x, y 与定点 a,b 所在直线的斜率,先利用条件求得直线 斜率的取值范围,进而求得所求函数的最值. 2 1 1 x 【典例1】函数z 的值域为_ . 4 x 解析 设 2 则有 2 2 即点 x,y 为半 1 x y, x y 1( y 0), 1 y 4 x .所以z可看成点 x, y 圆x y 1( y0)上的点,即z 2 2 与点
11、4,1 所在直线的斜率. 1 如图所示,可得斜率的取值范围为 0, .即z的取值范围为 3 1 0, . 3 1 答案 0, 3 技法二 巧用斜率证三点共线 我们知道,如果三点A,B,C在同一条直线上,那么直线AB的斜 率与直线BC的斜率相等.利用这一特征,我们可以借助直线 的斜率证明三点共线.如典例2的解法一即是. 【典例2】已知三点A(1,-1),B(3,3),C(4,5). 求证:A,B,C三点在同一条直线上. 解解法一:A(1,-1),B(3,3),C(4,5), k =2,k =2,k =k ,故A,B,C三点共线. ABBCAB BC 解法二:A(1,-1),B(3,3),C(4,5), | AB | 2 5,| BC | 5,| AC | 3 5, |AB|+|BC|=|AC|,即A,B,C三点共线.
