1、第九讲指数与指数函数 回归课本 1.整数指数幂 (1)整数指数幂概念:a n (nN*); 1 n a 0,n N . 0 a 1(a 0);a * n a 2 整数指数幂的运算性质: a mnmn m, n Z ;n mmn a =a m, n Z ; m a mn a m,n Z,a 0 ; n a n n nab a b n Z . n 2.分数指数幂一般地,如果x a,那么x叫做a的n次方根, n 1, n N . n 其中 且 * 当 是奇数时 nn 当 是偶数时, , a a, n a,a 0, nn a a a,a 0, 1m a a a a ( 0);a m ( ) n a m
2、 * 且 (a 0,m,n N , n 1) ; nn nn m 1 * 且 (a 0,m,n N , n 1) . a n m n a 3.有理指数幂的运算性质 设a0,b0, 则 aras=ar+s(r,sQ); (ar)s=ars(r,sQ); (ab)r=arbr(rQ). 4.指数函数的定义 形如y=ax(a0且a1,xR)的函数叫做指数函数. 5.指数函数的图象与性质 y=axa10a0时,y1;当x0时,0y1; 当x1当x0时,0y1 在(-,+)上是 增函数 在(-,+)上是 减函数ZB) 考点陪练 x xx x e ee e 1.若f x , g(x) , 22 则f 2x
3、 等于( ) A.2f x B.2g x D.2f x C.2f x g x 2x 2xx xx x e e (e e )(e e ) 解析:f 2x 22 x xx x (e e )(e e ) 2 4 2f x 答案:D 1.5 1 2 设 0.9 0.48 ,则()2. y 4 , y 8 , y 123 A.y y y 312 B.y y y 213 C. y y y 123 D. y y y 132 1.5 1 2 解析 0.9 : y 4 2 ,y 8 2 ,y 1.8 0.48 1.44 1.5 2 . 123 由于指数函数 在 上是增函数 且 f x 2 R , 1.8 1.5
4、 1.44, x 所以y y y ,选D. 132 答案:D 2x 3 .函数y 1 x 0 的值域为( ) x 2 1 .A. 2 B.(1,) 1 C. ,1 2 1 D. , 2 2x 解析 因为 所以 由于 : x 0, 2 1.y x x 2 1 y1 2x 1 y 1. 1 y 2 答案:C |x| 1 4.设f x ,x R,那么f x 是( ) 2 A .奇函数且在 0, 上是增函数 B.偶函数且在 0, 上是增函数 C.奇函数且在 0, 上是减函数 D.偶函数且在 0, 上是减函数 1 x |x| , x0, x 0, 1 解析:f x 2 2 2x, 其图象如图.由图象可知
5、,f x 是偶函数且 在 0, 上单调递减. 答案:D 5.(2010山东青岛二模)若y=e|x|(xa,b)的值域为1,e2,则 点(a,b)的轨迹是图中的() A.线段BC和OC C.线段AB和OA B.线段AB和BC D.线段OA和OC 解析:据题意当a=-2,0b2时,函数的值域符合条件,其轨迹为 图中线段AB,当-2a0,b=2时,函数值域符合条件,此时其 轨迹为图中线段BC,故选B. 答案:B 类型一指数幂的化简与求值 解题准备:解决此类问题的关键是利用幂指式的运算性质,将 根式与指数幂互化.一般地,进行指数幂的运算时,化负指数 为正指数,化根式为分数指数幂,便于利用幂的运算性质,
6、化 繁为简. 对于计算结果,如果题目以根式形式给出,则结果用根式的形 式表示,如果题目以分数指数幂形式给出,则结果用分数指 数幂的形式表示. 有理数指数幂的运算性质中,其底数都大于0,否则不能用性 质来运算.结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既 有分母又含有负指数. 【典例1】化简下列各式: 1 2 2 1 1 7 2 ( 2 1) ; 0 (1)(0.027) 3 7 9 1 1 21 5 21 3 (2) a b) (4a b ) ab; 332 6 41 a 8a bb 33 (3) 1 2 3 a. 3 22 3 a 4b 2 ab a 3 3 1 3 1 2 27 1000 25
7、 9 解 1 原式 72 1 105 49 1 45. 33 11 1 5 2 1 3 2 3 原式 a b(2a b ) a b 62 2 3 2 131 1 5 a b a b 222 2 4 5 4 5 b 1 . 4b 111 a (a 8b)a 2b 1 333 3 原式 a 21 12 3 1 a3 3 4b 2a b a 33 3 11121 12 a a 2b a 2a b 4b 3 33 33 33 21 12 4b 2a b a 33 33 1 a3 1111 a a3 3 11 a 2b3 3 类型二指数函数的图象 解题准备:指数函数图象的特点 (1)指数函数在同一直角坐
8、标系中的图象的相对位置与底数大 小的关系如图所示,则0cd1a0,f(t)=t2-2t-5, 故f(t)=(t-1)2-6. 又t0,当t=1时,y =-6, min 故函数f(x)的值域是-6,+). 由于t=2x是增函数, 要求f(x)的增区间实际上是求f(t)的增区间,求f(x)的减区间 实际上是求f(t)的减区间. f(t)在(0,1上递减,在1,+)上递增. 故由t=2x1得x0; 由t=2x1得x0, f(x)的增区间是0,+),减区间是(-,0. x 3x 4 2 1 2 反思感悟求y 的单调区间时易忽视定义域.事实上,函数的单调性 区间是其定义域的子集. 涉及复合函数单调性问题
9、,首先应弄清函数是由哪 些基本函数复合得到的,求出复合函数的定义域,然 后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数 的单调区间.利用定义证明时可分层比较,对于内外 层函数,注意“同增异减”. 类型四指数函数的综合问题 解题准备:指数函数是一类重要函数,与其他知识综合是高考 考查的热点.解决这类问题的关键是熟练掌握指数函数的 图象和性质,并注意分类讨论和等价转化的数学思想和方 法. a x f x 【典例 】已知 x 且 a a (a 0, a 1) . 4 2 a 1 1 判断f x 的奇偶性; 2 讨论f x 的单调性; 3 当x 1,1 时,f x b恒成立.求b的取值范围. 分析先研究函
10、数定义域,再依照奇偶函数的定义判断奇偶性 ;对于单调性,可结合指数函数的单调性进行分析;对于恒成 立问题,则可借助单调性,求出f(x)的最值,再求解b的范围. 解 1 函数定义域为R,关于原点对称. a 又因为 f x f x , x x a a 2 a 1 所以f x 为奇函数. (2)当a1时,a2-10, y=ax为增函数,y=a-x为减函数, 从而y=ax-a-x为增函数, 所以f(x)为增函数. 当0a1时,a2-10,且a1时,f(x)在定义域内单调递增. 3 由 2 知f x 在R上是增函数, 在区间 1, 1 上为增函数. 所以f 1 f x f 1 , a f x f 1 a
11、 a 1 a 1 2min 2 a 1 a 1, 2 a 1 a 要使f x b在 1, 1 上恒成立, 则只需b1,故b的取值范围是 ,1 . 反思感悟判断函数的奇偶性时必须先研究函数的定义域,而 研究函数的单调性时,可以在已知的常见函数的单调性的 基础上进行讨论,对于恒成立问题,一般都会与函数的最值 有关,通过分离参数,求出函数的最值,从而可得到参数的取 值范围. 错源一忽视换元后新元的取值范围 xx1 1 1 【典例1】求函数y 的值域. 9 3 2 x1 xx1x 1 1 1 1 错解y , 9 3 3 3 x2 1 3 1 3 3 令 t, y t t 1 t则 2 2 4 4 3
12、,所以函数的值域为 , . 4 剖析上述解法错误的原因在于忽视了换元后新元t的范围. 事实上,新元t(0,+). 2 x1xxx 1 1 1 1 3 正解函数y 1 1 , 9 3 3 2 1 3 令 t则 2 x, y t t 1 t , 3 2 4 x 1 3 由t ,知t 0, 2 1 3 2 4 因为函数y t 在 0, 上为增函数,所以y 1, 所以函数的值域为 1, . 评析换元法不管在什么情况下使用,都必须要注意确定新元 的范围,因为它是换元后的新函数的定义域. 错源二忽视对参数的分类讨论造成漏解 【典例2】如果函数y=a2x+2ax-1(a0,且a1)在区间-1,1上 的最大值
13、是14,试求a的值. 2 x 2 错解设a t,则y t 2t 1 t 1 2.由于x 1, 1 , 1 所以t ,a . a 2 因此当t a时y取最大值,有 a 1 2 14, 解得a 3或a 5(舍去),即a 3. 剖析本题的错解在于忽视了对参数a的讨论,误认为a1.当 指数函数和对数函数的底数含有参数时,要先对参数进行 讨论,确定单调性,进而解决问题. 正解设t=ax, 则y=t2+2t-1=(t+1)2-2. 当a1时,ta-1,a,y =a2+2a-1=14, max 解得a=3或a=-5(舍); 当0a3-y+5-x,则下列式子成立 的是( A.x+y0 C.x-y0 ) B.x
14、+y0 x y y xx x y y 解析由3 5 3 5 ,得3 5 3 5 , 1 5 1 5 3x x 3 y y. 1 5 f x 3 x x.设 1 5 x在 上是增函数 ( , ) , y x 在 , 上是减函数, 1 x , . 在 上是增函数 y 3 x 5 由已知条件,得f x f y ,x y,x y 0, 故答案选A. 答案A 技法二四种策略比较指数大小 一 若底数相同,则可用单调性比较 【典例2】若0a1,则a,aa,aaa大小顺序是_. 解析因为f(x)=ax(0a1)在xR上是减函数,又0aaaa1, 所以aa0aaaaa1,即aaaaaa. 答案aaaaaa 二
15、若指数相同,则可用图象比较 【典例3】比较0.7a与0.8a的大小. 解设函数y=0.7x与y=0.8x,则两个函数的图象关系如图. 当x=a0时,0.8a0.7a; 当x=a0时,0.8a30=1,又y=0.4x是减函数,所 以0.430.43. 四 作商法比较 【典例5】比较aabb与abba(ab0)的大小. ababab a b b a a b a ba aa 解, a b b a b b b a 0, 1,a b 0. b ab a 1, b a b a b 即 a b1, a b a b . b a b a a b 方法与技巧当底数与指数都不同,中间量又不好找,可采用 作商比较法,即对两值作商,看其值大于1还是小于1.从而确 定所比值的大小,一般情况下,这两个值最好是正数.
