1、第十八讲 两角和与差及二倍角公式 回归课本 1.C cos(-)=coscos+sinsin (-) C cos(+)=coscos-sinsin (+) S sin(+)=sincos+cossin (+) S sin(-)=sincos-cossin (-) tan tan (,+k+ ,kZ) 1tantan T tan(+)= (+) 2 T tan(-)=(,-k+ ,kZ). (-) tan tan 1tantan 2 注意:(1)注意公式的适用范围:在T 中,都不等于 () k+ (kZ).即保证tan tan tan()都有意义. 2 tan tan 1tantan (2)对公
2、式tan(+)=,下面的四种变式在以后的 解题中经常用到: tan tan 1tantan 1-tantan= =tan(+)(逆用); tan tan ; tan( ) tan+tan=tan(+)(1-tantan); tantantan(+)=tan(+)-tan-tan. 2.在和角公式S C T 中,当=时就可得到二倍角 (+)(+)(+) 的三角函数公式S C T . 222 sin2=2sincos,cos2=cos2-sin2, 2tan tan2=. 1 tan 2 3.余弦二倍角公式有三种形式,即cos2=cos2- sin2=2cos2-1=1-2sin2,由此可得变形公
3、式sin2= 1 cos21 cos2 ,cos2=,它的双向应用分别起到缩角 22 升幂和扩角降幂的作用. a 4.asin+bcos=sin(+),其中cos= ,sin= a b 2 2 a b 22 bb ,tan= a2 b2 .的终边所在象限由点(a,b)来确定. a 注意:(1)公式成立的条件:在公式中,只有当公式的等号两端都 有意义时,公式才成立. (2)公式应用要讲究一个“活”字,即正用 逆用 变形用,还要 创造条件用公式,如拆角 配角技巧:=(+)- ,2=(+)+(-)等. 注意切化弦 通分等方法的使用,充分利用三角函数值的变式, 1 1 如1=tan45,-1=tan1
4、35, =tan60, =cos60或 3 2 2 =sin30,sinx+ cos3x=2sin 学会灵活地运用公 x, 3 式. (3)当角,中有一个角为90的整数倍时,使用诱导公式较 为简便,诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特例. (4)搞清公式的来龙去脉,C 是基础,其他公式都是用代换法 (-) 及诱导公式得到的推论,即 (5)二倍角公式的正用 逆用及变形用是公式的三种主要使用 方法,特别是变形用有时恰是解题思路的关键.如: 2sincos=sin2, 1 sincos= sin2, 2 sin2 2sin cos= , cos2-sin2=cos2, 2tan =tan2, 1
5、tan 2 1sin2=sin2+cos22sincos =(sincos)2, 1+cos2=2cos2, 1-cos2=2sin2. 考点陪练 1.sin15cos75+cos15sin105等于( ) A.0 C. B. 1 2 3 D.1 2 解析:sin15cos75+cos15sin105 =sin15cos75+cos15sin75=sin90=1. 答案:D 3 4 2.已知 , , sin ,则tan 等于 2 5 1 7 A.B.7 1 7 C.D. 7 343 解析:, , sin ,cos ,tan . 2 554 3 1 tan 1 4 1 tan 1 . 7 4 3
6、 1 4 而tan 答案:A 3.已知cos2 ,其中 ,0 ,则sin的值为 1 2 4 A. 1 B. 1 22 33 C.D. 22 1 2 1 4 2 1 2sin , sin 2 2 .解析: 1 又,0 ,sin . 4 2 答案:B 3 4.下列各式中,值为 的是( ) 2 A.2sin15cos15B.cos215-sin215 C.2sin215-1D.sin215+cos215 1 2 2 解析: A : 2sin15 cos15 sin30 ;B: cos 15 sin 15 2 33 cos30 ;C: 2sin 15 1 cos30 2 ; 22 2 2 D :sin
7、 15 cos 15 1. 答案:B 5 .已知cos ( ) , sin ,且 0, , ,0 , 35 513 2 2 则sin等于 3363 65 A.B. 65 33 65 63 C.D. 65 解析:由于 0, , ,0 ,因此 (0, ). 2 2 2 3 又由于cos ( ) 0,因此 0, . 5 412 sin ( ) 且cos , sin sin 13 5 sin cos cos sin 4 12 3 5 33 .因此选A. 5 13 5 13 65 答案:A 类型一两角和与差的三角函数 解题准备:利用和差公式对三角函数式进行化简与求值,是每 年高考必考内容,纵观近几年的高
8、考试题,对本考点的内容 一是直接考查,二是以和差公式为角的变换工具,与向量 函 数 不等式等知识相结合的综合题. 11 【典例1】已知sin ( ) , sin( ) , 23 tan( ) tan tan 求的 值. 2 tan otan( ) 分析 先将条件等式展开,联立方程组求得sincos与 cossin的值,再将待求式子化简即可. 1 1 sin( ) sincos cossin , 2 1 2 1 解由得 sin( ) , sincos cossin , 3 5 3 1 解得sinocos ,cososin . 1212 tan( ) tan tan 2 )tan otan( ta
9、n( ) tan( )(1tanotan) 2 )tan otan( tan sinocos tan cososin 5. 反思感悟 已知三角函数值,求三角函数式的值,往往要对待 tan tan 转化为求 求式进行化简.像本题通过化简发现必须先求的值, tan tan 而已知条件为正弦函数值,因此由求 sincos 的值,从而容易想到将两个条件等式展开,再联 cossin 立方程组即可. 类型二二倍角的三角函数 解题准备:本考点的考查基本上是以二倍角公式或变形公式 为工具,对角或函数名称进行恰当变换,以化简求值为主,在 具体问题中,必须熟练准确地运用公式. 2 2 cos 的 值. 【典例2】
10、已知cos , , ,求 3 2 sin2 sin 2 2 7 9 3 解因为cos , , ,所以sin 1 . 3 2 cos 1 cos 2 sin2 又原式 , 2sincos sin sincos cos 2 cos sin sin2 sin cos 14 . 2 所以 反思感悟二倍角的余弦公式的正用是化倍角为单角,相应三 角函数式项的次数翻倍(即升幂);其逆用则是化二次式为一 次式(即降幂),单角变倍角,求解中注意倍角与单角的相对 性. 类型三辅助角公式的应用 解题准备:1.由S ,我们可以得出辅助角公式,即 (+) asinx+bcosx=sin(x+)(其中角的终边所在象 a2
11、b2 a 限由a,b的符号确定,角满足cos=,sin= 2 2 a b b ),这是经常用到的一个公式,它可把含sinx、cosx a2 b2 的一次式的三角函数式化为Asin(x+)的形式,从而进一步 探索三角函数的性质. 2.常用结论: sinx 3cosx 2sin x ; 3 sinx cosx 2sin x ; 4 sinx 3cosx 2cos x . 6 31 64sin 20 . 2 【典例3】不查表 计算, 2 sin 20 cos 20 2 3cos 20 sin 20 解 原式 64sin 20 2 2 sin 20 cos 20 ( 3cos20 sin20 )( 3
12、cos20 sin20 ) 64sin 20 2 1 2 sin 40 4 16sin80 sin40 64sin 20 2 2 sin 40 1 cos40 32cos40 64 32. 2 反思感悟对于形如asin bcos的三角函数式的化简求值, 2 2 往往需要通过提取公因式 a b 构造辅助角 主要为 , , , 6 4 3 然后逆用两角和与差的正 余弦公式化简,尤其是当系数中 含有 3时,一般都可运用辅助角公式. 错源一使用公式时不注意使用条件 【典例1】若sin m,为第二象限角,则tan2的值为( ) 2 2 2m 1 m 2m 1 m A. C. B. 1 2m2 1 2m2
13、 2m 1 m2 D .以上全不对 1 2m2 错解由sin m,为第二象限角,得: m 1 sin2 1 m , tan 2 ,cos 1 m2 2tan 1tan2 2m 1 m2 tan2 ,故选A. 1 2m2 剖析这是一道热点测试题,上述解法执行了“标准”答案选 3 A.题设条件中的m(0,1),事实上,如当=2k+ (kZ) 4 时,1-2m2=0,tan2失掉意义,若题设条件中限制m, 2 则应当选A. 2 答案D 错源二求角时对角的范围讨论不准确 1 1 【典例2】若tan(-)= ,tan= ,且,(0,),求2- 27 的值. 错解 tan tan tan( ) tan 1
14、2tan 3 ,所以tan2 , )tan 3 1 tan 2 41 tan( tan2 tan 1tan2tan 3 所以tan(2 ) 1,由题设知tan2 , 4 得0 2 ,又 0,所以 2 , 22 3 故2 或2 . 44 剖析上述解法就是犯了对角的讨论不正确而错误确定了所 求角的取值范围. 正解 tan tan tan( ) tan 12tan 3 ,所以tan2 , )tan 3 1 tan 2 41 tan( tan2 tan 1 tan2tan 所以tan(2 ) 1. 1 由tan 0,且 (0, ),知0 , 32 3 所以0 2 ,又tan2 0,所 以0 2 , 4
15、2 1 又tan ,且 (0, ),所以 ,所以 , 722 3 2 0,所以2 . 4 技法一构造斜率 sin20 sin40 cos20 cos40 【典例1】求值: . 解设A(cos40,sin40),B(cos20,sin20),于是所求 是A B两点连线的斜率k ,而A B两点都在单位圆 AB x2+y2=1上. 设直线AB与x轴交于C点,作ODAB垂足为D.易知 xOB=20,xOA=40,BOA=20,BOD=10, 于是在RtCOD中,COD=30,DCO=60,于是直线 AB的倾斜角xCD=120, sin20 sin40 cos20 cos40 =tan120= 3. 所
16、以k = AB 技法二巧用两角和与差公式解题 一 巧变角 1.巧凑角 43 【典例2】若锐角、满足cos= ,cos(+)= ,求 5 5 sin的值. 解注意到=(+)-, sin=sin(+)- =sin(+)cos-cos(+)sin 2 4 34 为锐角且cos= ,sin= 1 . 5 55 34 又 ) ,则0 ,sin ( ) . 525 4 4 3 3 7 5 5 5 5 25 sin 2.巧拆角 sin7 cos15 cos7 sin15 【典例3】求的值. 解题切入点该题为非特殊角三角函数求值,不能直接进行,注 意拆角向特殊靠拢易求值. 解注意到7 158, sin(15
17、8 ) cos15 sin8 原式 cos(1 5 8 ) sin15 sin8 sin15 cos8 cos15 sin8 cos15 sin8 cos15 cos8 sin15 sin8 sin15 sin8 sin15 cos8 tan15 tan 4530 cos15 cos8 tan45 tan30 1tan45 tan30 2 3. 二 巧变公式结构 【典例4】求tan25+tan35+ tan25tan35的值. 3 解注意到25+35=60,故用两角和正切变形公式.原式 =tan(25+35)(1-tan25tan35)+ 3 tan25tan35= 3 (1-tan25tan
18、35)+3 tan25tan35= 3. 三 巧引参数 sin4 cos 4 【典例5】已知锐角、满足条件求1, 证+= cos2 sin 2 . 2 解题切入点若注意到已知条件满足公式sin2+cos2=1时, 可引进参数,进行三角代换. sin2 cos =sin,则有cos2 sin 证明由已知可设 sin2=coscos, cos2=sinsin =cos, +得sin2+cos2=coscos+sinsin 即1=cos(-). -=2k(kZ),=2k+(kZ). sin2=coscos=cos2, cos2=sinsin=sin2. 又 为锐角,sin=cos=sin . 2 又= -,故+=. 2 2
