1、第三十三讲二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题 回归课本 1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平 面区域(半平面)不包括边界直线,不等式Ax+By+C0所表 示的平面区域(半平面)包括边界直线. (2)对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有的点(x,y),使得 Ax+By+C值的符号相同,也就是位于同一半平面的点,其坐 标适合Ax+By+C0;而位于另一半平面的点,其坐标适合 Ax+By+C0(或 0 00 0 Ax+By+C0(1且图象在过A、C两点的图象之 间. 当图象过A时,
2、a2=10, a 10 , 当图象过C时,a3=8,a=2, 故a的取值范围为 2, 10故.选B. 剖析结合指数函数的图象知,图象应在过B、C两点的图象 之间,为避免错误,也可把图象过A、B、C时的a值求出,再 作比较得出a的范围. 正解作出平面区域M同上. 求得A(2,10),C(3,8),B(1,9). 由图可知,欲满足条件必有a1且图象在过B、C两点的图象之 间. 当图象过B时,a1=9,a=9. 当图象过C时,a3=8,a=2. 故a的取值范围为2,9.故选C. 答案C 错源二 平面区域不明致误 y 0, 【典例2】在直角坐标系中,若不等式组 y2x, 表 yk(x 1) 1, 示一
3、个三角形区域,则实数k的取值范围是 _ . 剖析题目给出的区域边界两“静”一“动”,可以画出 区域,利用数形结合解决.本题很容易在分析动直线的位置 时出错,这个错误就出现在当直线y=k(x-1)-1的斜率为正 值时,误以为三条直线仍然能够构成三角形,这样做的结果 是k的取值范围是(-,-1)(0,2)(2,+). 正解如图所示,直线y=k(x-1)-1过定点(1,-1),当这条直 线斜率为负值时,该直线与y轴的交点必须在坐标原点上方 ,即直线的斜率为(-,-1),可构成三角形区域;当直线的 斜率为正值时,yk(x-1)-1所表示的是直线y=k(x-1)-1及 其下方的半平面,这个区域和另外两个
4、半平面的交集是一 个无界区域,不能构成三角形;当直线斜率为0时,构不成平 面区域.因此k的取值范围是(-,-1). 答案(-,-1) 评析一条直线Ax+By+C=0把平面分成两个半平面,在每个 半平面内的点(x,y)使Ax+By+C值的符号一致,判断Ax+By+C 的符号可以采用特殊点等.在解决平面区域问题时要结合 直线的各种情况进行分析,不要凭直觉进行解答,如本题看 似简单,实际上在考试中做对并不容易,两条定直线构成一 个三角形区域,但对于那条动直线,当斜率为正和为负时, 是很容易弄错的. 技法一最优整数解问题 对于线性规划问题中的最优整数解的问题,当解方程组得到 的解不是整数时,可用下面方
5、法求解: (1)平移找解法:先打网格,描整点,平移直线l,最先经过或最 后经过的整点便是最优整点解,这种方法应充分利用非整 点最优解的信息,结合精确的作图才行,当可行域是有限区 域且整点个数又较少时,可将整点坐标逐个代入目标函数 求值,经比较得到最优解. (2)调整优值法,先求非整点最优解及最优值,再借助不定方 程的知识调整最优值,最后筛选出整点最优解. (3)由于作图示有误差,有时仅由图形不一定就能准确而迅速 地找到最优解,此时可将整个可能解逐一检查即可得到答 案. 【典例1】某工厂要在4米长的角铁上,截取长度为70厘米 和52厘米的甲 乙两种毛坯,问怎样截取才能使铁的残料最 少? 解设需截
6、取x个 乙, y个甲能使残料最少,则x, y满足 70y 52x 400 ,作出可行域.如图,在方格纸上适当选一 x N, y N 整点作为原点O,从O向上数5.7格得A点,向左数7.7格得B 点,连结A B两 点,位于AOB内部或边上任一整点都代表 一种截取方案. 例 如, C点代表截取4个甲 2个乙的截法,残料为400 (4 384 70 252) 16厘米,材料利用率为 96%; D点代表截 400 1个甲, 6个乙的截取方法,残料为18厘米,材料利用率为382 400 95.5%;整点M恰在AB上,代表残料为0的最佳方案. x 7.7, 综上,在可行域 y5.7, 内离直线AB最近的整
7、点M x N, y N 5,2 即为所求的最优解,即截5个乙, 2个甲能使残料最少. 技法二 借用截距巧求规划问题 a 在线性规划解题中,若将目标函数z ax by作变换y x b z z ,把 看作直线在y轴上的截距,从而把待求目标函数最值 b b 化归为求直线在坐标轴上截距的最值.这种借用截距求最值 的方法往往有事半功倍的效果. 1 【典例2】已知3x6, xy2x.求x y的最大值和最小值. 3 3 x 6, 解作出不等式 所表示的平面区域如图,即可 1 3 xy2x 行 域. 易求得A 6,12 ,B 3,1 . 令x y b,则它表示斜率为1在y轴截距为b的直线. 由图知,直线x y b过点A时, b取最大值b x y 6 12 1 8; 过点B时, b取最小值b x y 31 4. 所以 x y 18, x y 4. maxmin
