1、第八讲一次函数 二次函数 幂函数 共 61 页1 回归课本 共 61 页2 1.二次函数的性质与图象 (1)函数y=ax2+bx+c(a0)叫做二次函数,它的定义域是R. 共 61 页3 2 二次函数有如下性质: 函数的图一条抛物线,抛物线顶点的坐标是象是, 2 b 4ac b , 2a 4a b 抛物线的对称轴是x ; 2a b 当a 0时,抛物线开口向上,函数在x 处取最小 2a b 2a b 2a b 2a 值 f ；在区间 , 上是减函数,在 , 上是增函数; 共 61 页4 b 当a 0时,抛物线开口向下,函数在x 处取最大值 2a b 2a b 2a b 2a f ;在区间 , 上
2、是增函数,在 , 上是减函数; 与y轴的交点是 0, c ; 共 61 页5 当=b2-4ac0时,与x轴两交点的横坐标x x 分别是方程 12 ax2+bx+c=0(a0)的两根;当=0时,与x轴切于一点 b 2a ,0 ;当25 共 61 页13 4.已知当mR时,函数f(x)=m(x2-1)+x-a的图象和x轴恒有公 共点,则实数a的取值范围_. 答案:m=0时,aR;m0时,a-1,1 共 61 页14 1 5. a 1, 1, ,3 ,设 则使函数 y x 的定义域为R且 a 2 为奇函数的所有a值为（ ） A.1, 3B.1,1 C.1,3D.1,1, 3 共 61 页15 33
3、解析:在函数y=x-1,y=x,y=x ,y=x 中,只有函数y=x和y=x 的定 义域是R,且是奇函数,故a=1,3. 答案:A 共 61 页16 类型一二次函数图像和性质的应用 2 的图象是一条抛物线, f x ax bx c(a 0) 解题准备 二次函数: 2 bb 4ac b 对称轴方程为x ,顶点坐标是 ,. 2a2a 4a 共 61 页17 (1)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),当=b2-4ac0时,图象与x 轴有两个交点 M (x ,0),M (x ,0), | M M x x | . 11221212 | a | (2)二次函数的图象与性质是历年高考的热点内容,今后
4、仍是 高考命题的热点,选择题 填空题 解答题三种题型中都有 可能出现. 共 61 页18 【典例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最 大值是8,试确定此二次函数. 分析由题目条件知二次函数过(2,-1),(-1,-1)两点,且知其最 大值,所以可应用一般式 顶点式或两根式解题. 共 61 页19 解解法一:利用二次函数一般式, 设 f x ax bx c a 0 . 2 由题意得 4a 2b c 1, a 4, a b c 1, 解得b 4, c 7. 2 4ac b 8, 4a 所求二次函数为 y 4x 4x 7. 2 共 61 页20 2 解法二:利
5、用二次函数顶点式,设f x a x m n a 0 . f 1 , 2 (1) 11 抛物线对称轴为x ,m . 222 又根据题意函数有最大值y 8, 2 1 2 1, y f x a x 8. 2 1 a 2 8 1, 2 2 1 2 a 4. f x 解得 4 x 8 4x 4x 7. 2 共 61 页21 解法三:利用两根式. 由已知f(x)+1=0的两根为x =2,x =-1, 12 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a0), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 4a( 2a 1) a2 又函数有最大值y =8,即 8， max 4a 解得a=-4,或a=0(舍). 所求
6、函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 共 61 页22 类型二二次函数在特定区间上的最值问题 解题准备:1.二次函数在闭区间上必有最大值和最小值,它只 能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得. 共 61 页23 2.二次函数在闭区间上的最值讨论 :当a 0时,f x 在区间 p, q 上的最大值为M,最小值为m, 1 令x ( p q). 0 2 b 1 若 p,则f p m, f q M; 2a b b 2a 2 若p x ,则f m, f (q) M; b 0 2a b 3 若x q,则f p M, f m; 0 2a 2a b 4 若 q,则f p M, f q m. 2a 当a
7、 0时,f x 在 p, q 上的最大值与上述最小值讨论一致, 而最小值类似上述最大值讨论. 共 61 页24 3.解答此类问题往往离不开数形结合和分类讨论的数学思想, 有利于培养学生综合分析问题的能力. 共 61 页25 【典例2】已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0 x1时有最大值2, 求a的值. 分析作出函数图象,因对称轴x=a位置不定,故分类讨论对称 轴位置以确定f(x)在0,1上的单调情况. 解当对称轴x=a0时,如图(1)所示. 当x=0时,y有最大值,y =f(0)=1-a. max 所以1-a=2,即a=-1,且满足a0时,幂函数y=x有下列性质: 图象都通过点(0,0
8、),(1,1); 在第一象限内,函数值随x的增大而增大; 在第一象限内,1时,图象是向下凹的;01时,图象是向 上凸的; 在第一象限内,过(1,1)点后,图象向右上方无限伸展. 共 61 页40 (2)当0时,幂函数y=x有下列性质: 图象都通过点(1,1) 在第一象限内,函数值随x的增大而减小,图象是向下凹的; 在第一象限内,图象向上与y轴无限地接近,向右与x轴无限 地接近; 在第一象限内,过(1,1)点后,|越大,图象下落的速度越快. 共 61 页41 【典例 】已知幂函数 m22m34y x(m N )的图象关 * 于y轴对称,且在(0,)上是减函数,、 m m 求满足 a 1 (3 2
9、a) 的a的取值范围. 3 3 共 61 页42 解函数在(0,+)上单调递减, m2-2m-30,解得-1m3. mN*,m=1,2. 又函数图象关于y轴对称, m2-2m-3是偶数. 而22-22-3=-3为奇数, 12-21-3=-4为偶数, m=1. 共 61 页43 1 在 ,0 和 0, 上均为减函数,且当x 0时 11 , x 0;x 0时, x 0, 33 1 1 (a 1) (3 2a) 33 等价于a 1 3 2a 0或3 2a a 1 0或a 1 0 3 2a, 23 解得a 1或 a . 32 2 3 2 故a的取值范围为a | a 1或 a . 3 共 61 页44
10、错源一力求先化简,不盲目用判别式法 2 x x 2 【典例1】求函数y 的值域. 2 x 1 2 x x 2 错解因为y 2 x 1 所以 x 1 , yx y x x 2, y 1 x x y 2 0. 2 2 即 2 当y 1 0,即y 1时,由得x 1(舍去),所以y 1; 当y 1 0,即y 1时, 1 4 y 1 y 2 0 2 得 2y 3 0,则yR .综上得原函数的值域为 y | y 1且yR. 共 61 页45 2 3 x x 2 3 剖析事实上,当y ,即 2 x 1 2 2 3 时,解得x 1,而当x 1时原函数没有意义,故y . 2 错误的原因在于当 时 x 1 , y
11、 1 x x y 2 0, 2 所以x 1是方程的根,但它不属于原函数的定义域, 2 x x 2 所以方程与方程不同解,故函数y 2 x 1 不能转化为二次方程,用二次方程的理论行不通. 共 61 页46 (x 2)(x 1) x 2 (x 1)(x 1) x 1 正解原函数可化为y 1 x 1 1 x 1 即y 1x 1 ,因为 0,所以y 1 3 3 2 且y .故原函数的值域为 y | y 1且y . 2 共 61 页47 错源二忽视幂函数中幂指数=0 【典例2】已知幂函数y=xn2-2n-3的图象与x,y轴都没有公共点 且关于y轴对称,求整数n的值. 错解因为函数y=xn2-2n-3的
12、图象与x,y轴都没有公共点, 所以n2-2n-30,解得-1n0.80.50.80.9,0.90.510.9-0.5, 所以0.80.90.80.50.90.510.9-0.5. 剖析错解混淆了指数函数的性质且没有比较0.80.5与0.90.5 的大小. 共 61 页51 正解因为y=x0.5在(0,+)上单调递增,且0.80.9,所以 0.80.50.90.5. 作出函数y=x0.5与y=x-0.5在第一象限内的图象,易知0.90.50.80.9. 故0.80.90.80.50.90.50(a-1,1)恒成立,所以, 2 g( 1) (x 2) (x 4x 4) 0, 2 g(1) (x 2
13、) (x 4x 4) 0. 解得x 3或x 1.故x的取值范围是x 3或x 1. 共 61 页59 技法三构造二次函数解题 2 2 16 0 【典例3】已知关于x的方程x 2m 8 3 的两个实数根x ,x 满足x x ,求实数m的取值范围. 1212 2 共 61 页60 解 构造二次函数 y x 2m 8 x m 16, 因为方程x 2m 8 x m 16 0的两个实数 3 2 2 2 2 3 根x ,x 满足x x ,所以f 0, 2 1212 2 2 3 2 3 即 (2m 8)m 16 0, 2 2 7 2 即4m 12m 7 0,解得 m ,故m的取值范围是 2 1 m | m . 2 2 7 共 61 页61
