1、第三十二讲 一元二次不等式及其解法 名师指导练基础 回归课本 1.一元二次不等式的定义 只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式叫做 一元二次不等式. 2.一元二次不等式的解集如下表 3.分式不等式与一元二次不等式的关系 设a b, x a 0等价于 x a x b 0; x b x a x b 0等价于 x a x b 0; (x a)(x b)0, 0等价于 x a x b x b 0; (x a)(x b)0, 0等价于 x a x b x b 0. 分式不等式解法的实质是转化,把分式不等式转化为整式 不等式来求解,需要注意分式有意义即分母不为零,也可将 分式不等式转化为两个不
2、等式的交集,继而求出其解集. 4.用一个程序框图来描述一元二次不等式ax2+bx+c0(a0) 的求解的 考点陪练 1.(2010大连模拟题)不等式x(1-x)0的解集为( ) A.x|x0 B.x|-1x0 C.x|0 x1 D.x|x1 解析:利用数轴标根法可得0 x1.所以选C. 答案:C 2.(2010南昌调研题)若不等式x2+ax+40对一切x(0,1 恒成立,则a的取值范围为( ) A.0,+)B.-4,+) C.-5,+)D.-4,4 2 4 x 4 解析:原不等式可转化为a x 在区间 0,1 x x 4 上恒成立.即将问题转化为求函数f (x) x 在区间 x 0,1 上的最
3、大值问题. 4 x 函数 x) x 在 0,1 上为增函数, f x f 1 5,a 5,故应选C. 最大值 答案:C 3.(2010海口调研题)若a0,则下列结论一定成立 的是( ) A.b24ac C.b24acD.不能确定 解析:构造二次函数f(x)=ax2+bx+c,a0, 抛物线与x轴一定有两个交点,则 =b2-4ac0,故选B. 答案:B x 2 x 2 的解集是( ) 4.( 2010 江西 不等式 xx A. 0,2 B. ,0 C. 2, D. ,0 0, x 2 x 2 x 2 x 2 解析:由题得 或 ,即0 0或 xxxx 2x x 2 0,解得0 x 2. 答案:A
4、5.若关于x的不等式x2-ax-a0的解集为(-,+),则实数a 的取值范围是_;若关于x的不等式x2-ax-a-3的 解集不是空集,则实数a的取值范围是_. 解析:由 0即a2-4(-a)0得-4a0(a0),ax2+bx+c0). (2)计算相应的判别式. (3)当 0时,求出相应的一元二次方程的根. (4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集. 【典例1】 解下列不等式: (1)2x2+4x+30; (2)-3x2-2x+80; (3)8x-116x2. 分析 首先将二次项系数转化为正数,再看二次三项式能 否因式分解,若能,则可得方程的两根,大于号取两边,小于 号取中间,若不能,则再
5、看“ ”,利用求根公式求解方程 的根,而后写出解集. 2 4 2 3 16 24 8 0. 1解 方程2x 4x 3 0 2 没有实根. 2 的解集为. 2x 4x 3 0 2 2 原不等式等价于3x 2x 80 4 x 2 3x 4 0 x 2或x . 3 4 不等式的解集为 (,2 , . 3 2 2 3 原不等式等价于16x 8x 10 4x 1 0. 1 只有当4x 1 0,即x 时不等式成立, 4 1 故不等式解集为 . 4 类型二含有参数的一元二次不等式的解法 解题准备:1.含参数的一元二次不等式中关于字母参数的取 值范围问题,主要考查一元二次不等式的解与系数的关系 以及分类讨论的
6、数学思想. 2.含有参数的不等式的求解,往往需要比较相应方程的根的 大小,对参数进行讨论. 3.含参数的一元二次不等式,若二次项系数为常数,可先考 虑分解因式,再对参数进行讨论.若不易因式分解,则可对 判别式进行分类讨论,分类要不重不漏.若二次项系数为参 数,则应先考虑二次项系数是否为零,然后再讨论二次项系 数不为零时的情形,以便确定解集的形式.然后对方程的根 进行讨论,比较大小,以便写出解集. 【典例2】 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10的解是全体实数(或恒成立) a 0, 的条件是当a=0时,b=0,c0;当a0时, 0. 2.不等式ax2+bx+c0的解是全体实数(或恒成立)的
7、条件是当 a 0, a=0时,b=0,c0的不等式恒成立问题,必须对a=0或 a0分类讨论,避免产生漏解. 【典例3】 已知不等式mx2-2x+m-20. (1)若对于所有的实数x不等式恒成立,求m的取值范围; (2)设不等式对于满足|m|2的一切m的值都成立,求x的取值 范围. 分析 (1)讨论m是否为零,可结合二次函数的图象求解 ;(2)看作关于m的一次函数,利用其单调性求解. 解 (1)对所有实数x,都有不等式mx2-2x+m-20恒成立, 即函数f(x)=mx2-2x+m-2的图象全部在x轴下方. 当m=0时,-2x-20知g(m)在-2,2上为增函数,则由题意只需 g(2)0即可,
8、即2x2+2-2x-20,解得0 x1. 即x的取值范围是(0,1). 反思感悟 对于含参数的不等式恒成立问题,若参数的次 数是一次且易于分离时,可以变换主元,借助于一次函数的 单调性求解. 类型四 一元二次不等式的实际应用 解题准备:不等式解法的应用主要体现在两个方面:一是不等 式作为一种重要的数学工具在函数和方程中的应用;二是 通过建立不等式模型,解决生活中的实际问题.本类问题解 决时,注意等价转化和函数方程思想的应用. 【典例4】 某种商品,现在定价p元,每月卖出n件,设定价上 涨x成,每月卖出数量减少y成,每月售货总金额变成现在的 z倍. (1)用x和y表示z; (2)设y=kx(0k
9、0(aR). 2 错解由x ax 4 0得 a a 16 2 x 1,2 , 2 所以不等式的解集为 a a 16 2 2 a a 16 x | x 或x . 22 剖析 本题忽略对判别式的讨论是导致错误的主因. 正解 因为 =a2-16, (1)当 0,即-4a4时,解集为R; (2) =0,即a=4. a=4时,解集为x|x-2, a=-4时,解集为x|x2. 3 当 0,即a 4或a 4时, a a 16 2 2 a a 16 解集为x | x 或x . 22 错源二思维滞于表面现象,忽视分类讨论 x a 【典例2】解关于x的不等式(0aR). x a 2 错解 原不等式即为(x-a)(
10、x-a2)0. aa2. 不等式的解集为x|axa而不分类,也易在分类时 漏掉a=a2的情况;或在讨论a=a2时,误将不等式解集写成 x|xR且x0. 正解 原不等式即为(x-a)(x-a2)0, a-a2=a(1-a),则 当a1时,aa2,此时不等式的解为axa2; 当0aa2,此时不等式的解为a2xa; 当a=0或a=1时,a=a2, 原不等式变形为(x-a)20不成立. 综上,当a1时, 原不等式的解集为x|axa2; 当0a1时,原不等式的解集为x|a2x4x+p-3恒成立,求x的取值范围. 解题切入点 这是一个有关x的二次不等式恒成立问题,但 若以x为主元考虑解题将非常复杂,而变换
11、视角,令p为主元 便可构建关于p的一次函数,使问题很容易得解. 解 构造函数 2 f p x 1 p x 4x 3, 依题知f p 0对0p4恒成立, f (0) 0, x2 4x 3 0, 因此只要 x 3或x 1. f (4) 0,x2 1 0, 技法二数轴标根法 2 x 3x 2 0【典例2】不等式的解集是( ) 2 x 2x 3 A.(-,-1)(1,2)(3,+) B.(-1,1)(2,3) C.(-1,1)(1,2) D.(1,2)(2,3) (x 1)(x 2) (x 1)(x 3) 解析原不等式为等价于: 0 (x+1)(x-1)(x-2)(x-3)0(0) n 12 的值的符
12、号变化,写出不等式的解集. 注意:当因式中出现“正项”时用“舍项法”;当因式中出现 “偶次方项(x+a)2m”时利用“挖点法(去掉点x=-a)”;当 因式中出现“奇次方项(x+b)2m+1”时利用“视一法(看成 一次式x+b).” 技法三转化与化归思想 3 【典例3】若关于x的不等式 x|4xm,求实数a、m的值. 的解集为x ax 2 解题切入点根据式子的特征,可令 x t, 将不等式转化成关于t的一元二次不等式.结合一元二次不等式的解与一 元二次方程根的关系,可求得a、m. 解 解法一 令 则 : x t, x t ( t0),则原不等式等价于 2 3 2 at t 0.(*) 2 又原不
13、等式的解集为 x | 4 x m , 所以 * 式的解集应为2 t m. 3 t 2,t m 由此可知 是方程 2 的两根 由根与 at t 0, 12 2 1 2 m ,1 a , a 3 系数的关系可得解得 8 , m 36. 2 m 2a 解法二:用数形结合法求解. 3 2 在同一坐标系中,作出函数y x, y ax 12 的图象如图所示. 因为原不等式的解集为 4, m ,所以a 0时,由 3 图象可知x 4,x m是方程 x ax 的两个解, 12 2 3 4 a4 , 1 a , 2 所以有解得 8 3 m a m , m 36. 2 方法与技巧考虑将 x换元,转化为一元二次方程根的情 况求解.
