1、第四十一讲 双曲线 回归课本 1.双曲线的定义 平面内动点P与两个定点F F 的距离的差的绝对值等于常数( 1 2 小于|F F |)的点的轨迹叫做双曲线.即(|PF |- 1 2 1 |PF |=2a0), 0 10 |PF |=ex -a(x 0); 200 或|PF |=-ex -a(x 0), 0 10 |PF |=-ex +a(x 0). 0 20 2222 x yy x 4 等轴双曲线方程: 1或 1.其渐近线方 2222 a a 程为y x,离心率e 2. a a x y 5 共渐近线 0的双曲线系方程为: a b 22 x y ( R且 0). 22 a b 2222 x yy
2、 x (6) 1与 1互为共轭双曲线,有相同的渐近 2222 a bb a 线、相同的焦距. 考点陪练 1.动点P到定点F (1,0)的距离比到定点F (3,0)的距离小2,则 2 1 点P的轨迹是( ) A.双曲线 C.一条射线 D.两条射线 解析:因|PF |=|PF |-2=|F F |,则点P的轨迹是以F 为端点的 B.双曲线的一支 211 21 一条射线.故选C. 答案:C 评析:当动点到两定点的距离之差的绝对值为定值,即 |PF |-|PF |=2a时,要注意两点: 12 判断2a与|F F |的大小关系,其大小关系决定动点P的轨迹是 1 2 双曲线还是射线. (1)当2a=|F
3、F |时,动点P的轨迹是以F F 为起点的射线; 1 21 2 (2)当2a|F F |时,无满足条件的动点. 1 2 2.设ABC是等腰三角形,ABC 120,则以A B为焦点且 过点C的双曲线的离心率为( ) 1 21 3 A.B. 22 C.1 2D.1 3 解析:设双曲线的焦距为2c,实轴长为2a. 则 AB CB 2c. 由余弦定理得 | AC | 2 3c. 又双曲线以A B为焦点且过点C, 则由双曲线的定义得2a | CA| | CB | 2( 3 1)c, c13 1 e .故选B. a3 1 2 答案:B 2 y 3.设P为双曲线x2 1上的一点,F ,F 是该双曲线的两 1
4、2 12 个焦点,若 PF ： PF 3： 2,则PFF的面积为( ) 121 2 A.6 3B.12 D.24C.12 3 解析:由双曲线的定义得 PF PF 2, 12 又 PF ： PF 3： 2,所以 PF 6, PF 4, 1212 又 | F F | 2c 2 13, 1 2 222 所以 PF PF FF , 121 2 即PFF 为直角三角形. 1 2 1 SPF F | PF | PF |12.故选B. 12 2 1 2 答案:B 评析:遇到焦点三角形问题,要回归定义建立三角形的三边关 系,然后一般运用正余弦定理和三角形的面积公式即可迎 刃而解. 22 x y 4.已知F F
5、 是双曲线 1(a 0,b 0 )的两焦点,以线 12 22 a b 段FF 为边作正三角形MFF ,若边MF的中点在双曲线上, 1 21 21 则双曲线的离心率是( ) A.4 2 3B. 3 1 3 1 C.D. 3 1 2 解析:因为是正三角形且边MF的中点在双曲线上, 1 21 则设边MF的中点为P,有FPF 90,PFF 60,从而 1121 2 | PF | 3c,| PF | c. 21 所以根据双曲线的定义可知: 2a | PF | | PF | ( 3 1)c, 21 c 2 解得e 3 1,故选D. a3 1 答案:D 5.已知双曲线的离心率为2,两焦点是 4, 0 , 4
6、, 0 ,则双曲 线方程为( ) 2222 x y A. 1 4 12 x y B. 1 12 4 2222 x y C. 1 10 6 x y D. 1 6 10 解析:由已知双曲线的焦点是 4, 0 , 4, 0 ,可知c 4.因为 c 4 离心率e 2,所以a 2. a a 2 2 2 2 2 所以b c a 4 2 12. 又因为由已知的焦点坐标可知焦点在x轴上,所以双曲线 22 x y 方程为 1.故选A. 4 12 答案:A 评析:由于不能直接由离心率的值来得出a与c的值,所以应 c 根据焦点坐标得到c值后再利用e 的比值关系求出a,从 a 2 2 22 而再利用b c a 的关系
7、式求出b 即可. 类型一 双曲线的定义 解题准备:在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具 备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值 为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的 “绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支. 【典例1】已知动圆M与圆C :(x+4)2+y2=2外切,与圆C :(x- 12 4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程. 分析利用两圆内 外切的充要条件找出M点满足的几何条件 ,结合双曲线定义求解. 解设动圆M的半径为r,则由已知 | MC | r 2,| MC | r 2, 12 | MC | | MC | 2 2. 12 又C 4,0 ,C
8、 4,0 ,| C C | 8,2 2 | C 121 2 根据双曲线定义知,点M的轨迹是以C 4,0 、C 4, 0 12 为焦点的双曲线的右支. c 4, 22 x y b c a 14, M 2 2 2 1(x 2 ). 点 的轨迹方程是 2 14 反思感悟容易用错双曲线的定义将点M的轨迹误以为是整 条双曲线从而得出方程后没有限制 x 2. 求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲 线类型,从而再用待定系数法求出轨迹的方程,这样可以减 少运算量,提高解题速度与质量.在运用双曲线定义时,应 特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是 整条双曲线,还是双曲线的一支,若是一
9、支,是哪一支,以确 保轨迹的纯粹性和完备性. 类型二 求双曲线的标准方程 解题准备:待定系数法求双曲线方程最常用的设法 22 x y 1 与双曲线 1有共同渐近线的双曲线方程可设 22 a b 22 x y 为 t(t 0); 22 a b b 2 若双曲线的渐近线方程为y x,则双曲线方程可设 a 22 x y 为 t(t 0); 22 a b 22 x y 3 过两个已知点的双曲线方程可设为 1(mn 0); m n 注意:在双曲线的标准方程中,若x2的系数是正的,那么焦 点在x轴上;如果y2的系数是正的,那么焦点在y轴上,且对 于双曲线,a不一定大于b. 【典例2】根据下列条件,求双曲线
10、的标准方程. 15 1 经过点 ,3 ,且一条渐近线方程为4x 3y 0; 4 2 P 0,6 与两个焦点的连线互相垂直,与两个顶点连线的 夹角为 ; 3 3 焦点在坐标轴上的双曲线,它的两条渐近线方程为 3x y 0,焦点到渐近线的距离为3. 分析利用待定系数法 双曲线定义或双曲线系等知识求双曲 线标准方程. 15 解 1 因直线x 与渐近线4x 3y 0的交点坐标为 4 15 ,5 ,而3 5 ,故双曲线的焦点在x轴上,设其方程为 4 22 x y 1, 22 a b 2 15 2 4 3 1, 解得 a 9, 2 由 a 2 2 b 2 b 16. b 2 4 2, 2 a 3 22 x
11、 y 故所求的双曲线方程为 1. 9 16 2 设F、F 为双曲线的两个焦点,依题意,它的焦点在x轴上, 12 F ,且 OP 6, 12 2c | FF 2 OP |12,c 6. 1 2 又P与两顶点连线夹角为 , 3 a OP 3 , 2 2 2 4. b c a 2 6 22 x y 故所求的双曲线方程为 1. 12 24 3 因双曲线的渐近线方程为 3x y 0. 故设双曲线方程为3x y 0 , 2 2 当 0 时 ,a 2 2 ,b , 3 4 c a b 2 2 2 , 3 焦点坐标为(2 , 0). 3 3 3 根据点到直线的距离公式有 3,得 9, 2 22 x y 此时双
12、曲线方程为 1. 3 9 22 y x 当 0时,双曲线方程可化为 1, 3 4 即a 2 , c a b ,b 2 2 2 2 , 33 故焦点坐标为0,2 . 3 根据点到直线的距离公式有 3,得 27, 3 22 y x 此时双曲线的标准方程为 1. 27 9 2222 x y 故所求双曲线的方程为 1或 1. 3 9 27 9 y x 反思感悟对焦点位置判断不准或忽略对双曲线焦点所在坐 标轴的讨论,是导致方程出错的主要原因. 利用待定系数法求双曲线的标准方程,是最重要的方法之 一,但要注意对焦点所在坐标轴的判断或讨论;利用共渐近 线的双曲线方程求其标准方程,往往可以简化运算,但也应 注
13、意对焦点所在坐标轴的讨论. 类型三双曲线的几何性质 解题准备:双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六 点”(两个焦点 两个顶点 两个虚轴的端点),“四线”(两 条对称轴 两条渐近线),“两形”(中心 焦点以及虚轴端 点构成的三角形,双曲线上一点和两焦点构成的三角形), 研究它们之间的相互联系.明确a b c e的几何意义及它们 的相互关系,简化解题过程. 22 x y 【典例3】双曲线 1(a 1,b 0 )的焦距为2c,直线l过 22 a b 点 a, 0 和 0, b 且点 1, 0 到直线l的距离与点 1, 0 到直线l 4 的距离之和s c,求双曲线的离心率e的取值范围. 5 4
14、分析用“距离之和s c”这个条件列出只含有a和c的 5 c 不等式,变形为“e ”的不等式,然后再解之. a x y 解直线l的方程为 1,解bx ay ab 0, a b b(a 1) 由a 1,得点 1,0 到直线l的距离d . 1 2 2 a b b(a 1) 同理可得点 1, 0 到直线l的距离d , 2 2 2 a b 2ab2ab s d d 12 c 2 2 a b 42ab 4 2 22 又s c,得 c,即5a c 5 2c . 5 2 24 2 于是得5 e 12e ,即4e 25e 250. 55 2 解之得 e 5,又e 1, e的范围是e , 5. 42 反思感悟双曲
15、线中有关求离心率或离心率范围的问题, c 应找好题中的等量关系或不等关系,构造出率心率e a 2 2 的关系式,这里应和椭圆中a, b, c的关系区分好,即c a 2 b . 类型四直线与双曲线的位置关系 解题准备:与直线和圆锥曲线的位置关系有关的参数范围问 题,常采用解方程组的思想方法,转化为判别式进行;与弦 长有关的问题,常常利用韦达定理,以整体代入的方法求解 ,这样可以避免求交点,使运算过程得到简化. 2 x 【典例 】已知椭圆 的方程为 4C 2 双曲线 的左、 y 1, C 12 4 右焦点分别是C 的左、右顶点,而C 的左、右顶点分别是 12 C 的左、右焦点. 1 1 求双曲线C
16、 的方程; 2 2 若直线l：y kx 2与双曲线C 恒有两个不同的交点 2 A和B,且OA其中O为原点),求k的取值范围. 22 x y 解 1 设双曲线C 的方程为 1, 2 22 a b 2 2 2 2 22 则a 4 1 3, c 4,再由a b c ,得b 1. 2 x 故 的方程为 Cy 1. 2 2 3 2 x 2 y 1, 2 y kx 2将 代入 3 (1 3k )x 6 2kx 9 0. 得 22 由直线l与双曲线C 交于不同的两点,得 2 2 1 3k 0 , 2 2 2 ( 6 2k) 36(1 3k ) 36(1 k ) 0 1 k 2 且k 1 2 3 设A x ,
17、 y ,B x , y , 1122 6 2k9 1 3k 则x x ,x x . 12 1 2 22 1 3k x x y y x x (kx 2 )(kx 2) 1 21 21 212 2 3k 7 k 1 x x 2 2k x x 2 . 1 212 3k 1 2 又得x x y y 2, 1 21 2 2 2 3k 9 3k 7 2 .即 0, 2 2 3k 1 3k 1 1 解得 k 3 2 3 1 由得 k 1, 2 3 33 故k的取值范围为 1, 33 反思感悟在圆锥曲线中经常遇到求范围问题,这类问题在 题目中往往没有给出不等关系,需要我们去寻找.对于圆锥 曲线的参数的取值范围
18、问题或最值问题,解法通常有两种: 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时,可考 虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式(如双曲 线的范围,直线与圆锥曲线相交时 0等),通过解不等式( 组)求得参数的取值范围;当题目的条件和结论能体现一种 明确的函数关系时,则可先建立目标函数,进而转化为求解 函数的值域. 错源一 理解性质不透彻 22 x y 【典例1】若双曲线 1(a 0,b 0)的两条渐近线 22 a b 的夹角为2,用的三角函数值表示双曲线的离心率. 错解如图所示, x轴的正半轴平分两条渐近线的夹角POQ. b 则tan ,且0 2 . a2 2 2 2 因为c a b , 2
19、2 c a b1 cos 所以 e 1 tan 2 aa 2 剖析错解中没有讨论POQ的大小,认为它就是两条渐近线 的夹角,因而产生错误.两条相交直线的夹角是指两条直线 相交时构成的四个角中不大于直角的角,因此两条直线的 夹角不能大于直角. 正解当ab时,两条渐近线的夹角为POQ,且x轴平分POQ. b 此时tan ,且0 2 . a2 2 2 2 因为c a b , 2 2 c a b1 cos 所以 e 1 tan 2 . aa 2 当a b时,两条渐近线的夹角为POR,且y轴平分POR. 1 b 此时有 ,且0 2 . tan a 2 2 2 2 因为c a b , 2 2 c a b1
20、1 sin 所以e 1. aa2tan2 1 cos 故当ab时,双曲线的离心率为; 1 当a b时,双曲线的离心率为 . sin 错源二 忽视双曲线的特殊性,误用一些充要条件 【典例2】已知双曲线x2-y2=1和点P(2,2),设直线l过点P且与 双曲线只有一个公共点,求直线l的方程. 错解设直线l的方程为y=k(x-2)+2,代入双曲线方程x2- y2=1,整理得: (1-k2)x2-4k(1-k)x-4(1-k)2-1=0.(*) 方程(*)的判别式 =12k2-32k+20. 5 由 0,解得k 或k 1. 3 5 所求直线l的方程为y x或y (x 2) 2. 3 即x y 0或5x
21、 3y 4 0. 剖析错解中误以为判别式=0是直线与双曲线有一个 公共点的充要条件.事实上,命题成立的充要条件是方程 (*)有且仅有一个根.故应分类讨论. 正解设直线l的方程为y=k(x-2)+2,代入双曲线x2-y2=1,整 理得: (1-k2)x2-4k(1-k)x-4(1-k)2-1=0.(*) 当1-k2=0时,斜率k=1或k=-1. 而当k=1时,方程(*)不成立;当k=-1时,直线l的方程为x+y- 4=0. 当1-k20时,由前面错解得直线l的方程为5x-3y-4=0. 故所求直线l的方程为:x+y-4=0或5x-3y-4=0. 错源三错用双曲线的第一定义 【典例3】已知定圆F
22、:x2+y2+10 x+24=0,F :x2+y2-10 x+9=0,动 12 圆M与定圆F ,F 都外切,求动圆圆心M的轨迹方程. 1 2 错解圆F :(x+5)2+y2=1, 1 所以圆心为F (-5,0),半径r =1, 11 圆F :(x-5)2+y2=42, 2 所以圆心为F (5,0),半径r =4. 22 设动圆M的半径为R,则有 MF R 1, MF R 4, 12 所以 MF MF 3, 21 3 故M点的轨迹是以F ,F 为焦点的双曲线,且a ,c 5, 12 2 44 2 2 所以双曲线方程为 xy 1. 991 剖析实际上本题的轨迹应该是双曲线的一支,而非整条双 曲线,
23、上述解法忽视了双曲线定义中的关键词“绝对值”.正 确的解答如下. 正解由|MF |-|MF |=3,可得|MF |MF |,即点M到F (5,0) 1 2122 的距离大于点M到F (-5,0)的距离, 1 所以点M的轨迹应该是双曲线的左支, 44 y 2 1(x 0). 故双曲线方程为 x2 991 错源四错用双曲线的第二定义 【典例4】一动点到定直线x=3的距离是它到定点F(4,0)的距 1 , 离的 求这个动点的轨迹方程. 2 错解由题意,动点到定点的距离与它到定直线的距离之比 为2,所以动点的轨迹是双曲线. a 2 3,又F(4,0),所以c=4,又准线x=3,所以所以 c 22 x
24、y 1. 12 4 a2=12,b2=4,所以双曲线方程为 剖析题设中没有明确曲线的中心位置,仅有焦点F 4, 0 2 a 和准线x 3,不能得出c 4和 3 .已知双曲线或椭圆的 c 2 a 焦点及相应的准线时,应该考虑焦点到准线的距离| c | c 2 bc 的值,由离心率e 联立方程组,得出a, c的值后再进 ca 一步确定中心位置,中心不在原点时,不能套用标准方程的 形 式. 正解解法一 :设动点坐标为 x, y ,根据条件得动点到直 线x 3的距离 x 3 ,动点到定点F 4, 0 的距离为 (x 4) y . 2 2 | x 3|1 由 ,整理,得: 2 (x 4) y 2 2 3
25、x y 16x 20 0. 2 2 故动点轨迹方程为3x y 16x 20 0. 2 2 c 解法二:由题意e 2,又定点F 4, 0 与直线x 3是双曲 a 线相应的右焦点和右准线, 2 a 所以c 4 3 1, c 2 a 所以c 2a且c 1, c 24 解得a ,c , 33 8 3 4 3 所以双曲线的中心为 ,0 ,又b c a 2 2 2 , 2 8 x 2 3 y 所以双曲线方程为 1. 44 93 技法一双曲线中点弦存在性的探讨 求过定点的双曲线的中点弦问题,通常有下面两种方法: (1)点差法,即设出弦的两端点的坐标代入双曲线方程后相减, 得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系
26、,从而求出直线 方程. (2)联立法,即将直线方程与双曲线方程联立,利用韦达定理 与判别式求解. 无论使用点差法还是联立法,都要运用 0来判定中点弦是 否存在,而这完全取决于定点所在的区域.现分析如下: 利用双曲线及其渐近线,可把平面分成、三个区域( 如图). 22 0 2 x y 当P x , y 在区域内时,有0 1; 0 200 a b 2 0 2 0 2 x y 当P x , y 在区域内时,有 0; 1. 00 2 a b 22 0 2 x y 当P x , y 在区域内时,有 0 00 2 a b 利用上述结论,可以证明: 当P x , y 在区域时,以它为中点的弦不存在,而在区域
27、 00 、时,这样的弦是存在.证明过程如下: 22 x y 设双曲线 1的弦AB两端点为A x , y ,B x , y , 1122 22 a b 中点为P x , y ,则x , y . 1 x x 2 1 y y 2 0000 22 2 x b 运用点差法得出AB的斜率k . 0 y a2 0 令直线AB的方程为y y k x x , 00 即y kx kx y . 00 22 x y 把代入 1,整理得 22 a b 2 0 2 2 22 2 2 2 2 b a k x 2ka y kx x a y kx a b 0. 000 2 0 0 2 2ka y kx 4 b a k a y
28、kx a b 222 222 2 00 0 2 4a b y kx b a k . 2 2 2 2 2 0 把代入,整理得 2 22 0 2 0 2 2 0 2 2 4a b x y x y 1 . 0 2 0 22 y a b a b 22 0 2 22 0 2 x yx y 若P x , y 在 区域内,则0 2 1或 1, 0 2 0, 00 a ba b 这时 0,中点弦存在; 22 0 2 x y 若P x , y 在区域内,则0 0 2 00 a b 这时 0,中点弦不存在. 2 y 【典例1】过点Q 1,1 作双曲线x2 1的弦MN,使Q点为 2 MN的中点,则MN的方程为( )
29、 A.2x y 1 0 C.2x y 3 0 B.x 2y 1 0 D.不存在 2 y3 解析 将 及 联立 得 2x y 1 0 x 2 2 1 0 , x 2x 22 0,此时, 0;若运用上述区域法,只要判断Q 1, 1 在区域 就可得出中点弦不存在的结论,故可直接选D. 答案D 技法二 待定系数法求双曲线方程常用的设法速度 【典例2】根据下列条件,求双曲线的方程: 22 x y 1 与双曲线 1有共同的渐近线,且过点(3, 2 3); 9 16 22 x y 2 与双曲线 1有共同的焦点,且过点(3 2, 2). 16 4 22 x y 解 1 设双曲线的方程为 ( 0),将 点(3,2 3) 9 16 1 代入得 , 4 22 x y 1 可得双曲线的方程为 . 9 16 4 x2y 2 2 设双曲线的方程为1(4 k 16),将点 16 k 4 k (3 2, 2)代入得k 4, 22 x y 可得双曲线的方程为 1. 12 8
