1、数学试题 第 1页（共 5页） 绝密启用前 2021 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上，写在本试卷上无效。 3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1设集合 | 24Axx ，2,3, 4,5B ，则AB A2B2,3C3, 4D2,3, 4 2
2、已知2iz ，则(i)z z A62iB42iC62iD42i 3已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 A2B2 2C4D4 2 4下列区间中，函数 ( )7sin() 6 f xx单调递增的区间是 A (0,) 2 B (, ) 2 C 3 (,) 2 D 3 (, 2) 2 5已知 1 F， 2 F是椭圆 22 1 94 xy C：的两个焦点，点M在C上，则 12 | |MFMF的最 大值为 A13B12C9D6 6若tan2 ，则 sin (1sin2 ) sincos A 6 5 B 2 5 C 2 5 D 6 5 数学试题 第 2页（共 5页） 7若过点
3、( , )a b可以作曲线exy 的两条切线，则 AebaBeabC0ebaD0eab 8有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次， 每次取 1 个球甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1” ，乙表示事件“第二次取 出的球的数字是 2” ，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 8” ，丁表示事件“两 次取出的球的数字之和是 7” ，则 A甲与丙相互独立B甲与丁相互独立 C乙与丙相互独立D丙与丁相互独立 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错
4、的得 0 分。 9有一组样本数据 12 , n x xx，由这组数据得到新样本数据 12 , n yyy，其中 (1, 2, ) ii yxc in，c为非零常数，则 A两组样本数据的样本平均数相同B两组样本数据的样本中位数相同 C两组样本数据的样本标准差相同D两组样本数据的样本极差相同 10已知O为坐标原点，点 1(cos ,sin ) P， 2(cos , sin )P， 3(cos( ),sin()P， (1, 0)A，则 A 12 |OPOP B 12 |APAP C 312 OA OPOP OP D 123 OA OPOP OP 11已知点P在圆 22 (5)(5)16xy上，点(4
5、, 0)A，(0, 2)B， 则 A点P到直线AB的距离小于 10B点P到直线AB的距离大于 2 C当PBA最小时，|3 2PB D当PBA最大时，|3 2PB 12在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 1ABAA，点P满足 1 BPBCBB ，其中 0,1，0,1，则 A当1 时， 1 AB P的周长为定值 B当1 时，三棱锥 1 PABC的体积为定值 C当 1 2 时，有且仅有一个点P，使得 1 APBP 数学试题 第 3页（共 5页） D当 1 2 时，有且仅有一个点P，使得 1 AB 平面 1 AB P 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知函数 3
6、 ( )(22) xx f xx a 是偶函数，则a _ 14已知O为坐标原点，抛物线 2 2(0)C ypx p：的焦点为F，P为C上一点，PF与 x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQOP若|6FQ ，则C的准线方程为 _ 15函数( )|21| 2lnf xxx的最小值为_ 16某校学生在研究民间剪纸艺术时， 发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折 规 格为20 dm 12 dm的长方形纸， 对折 1 次共可以得到10 dm 12 dm，20 dm6 dm两 种规格的图形，它们的面积之和 2 1 240 dmS ，对折 2 次共可以得到5dm 12 dm， 10 dm6 dm，20 dm3d
7、m三种规格的图形，它们的面积之和 2 2 180 dmS ，以此 类推则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折n次，那 么 1 n k k S _ 2 dm 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分） 已知数列 n a满足 1 1a ， 1 1, 2, n n n an a an 为奇数 为偶数. （1）记 2nn ba，写出 1 b， 2 b，并求数列 n b的通项公式； （2）求 n a的前 20 项和 18 （12 分） 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题每位参加比赛的同学先在 两类问题中选择
8、一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若 回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛 结束A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；B 类问题中的每个问题 回答正确得 80 分，否则得 0 分。 已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6， 且能正确回答问题的概率与回答次序无关 （1）若小明先回答 A 类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； 数学试题 第 4页（共 5页） （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由 数学试题 第 5页（共 5页）
9、19 （12 分） 记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知 2 bac，点D在边AC 上，sinsinBDABCaC （1）证明：BDb； （2）若2ADDC，求cosABC 20 （12 分） 如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD 平面 BCD，ABAD，O为BC的中点 （1）证明：OACD； （2）若OCD是边长为 1 的等边三角形， 点E在 棱AD上，2DEEA，且二面角EBCD的大小为 45，求三棱锥ABCD的体积 21 （12 分） 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中 ， 已 知 点 1( 17, 0)F ， 2( 17, 0) F， 点M满 足 12 |2MFMF记M的轨迹为C （1）求C的方程； （2）设点T在直线 1 2 x 上， 过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点， 且| | |TATBTPTQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和 22 （12 分） 已知函数( )(1ln )f xxx （1）讨论( )f x的单调性； （2）设a，b为两个不相等的正数，且lnlnbaabab，证明： 11 2e ab A E B O D C
