1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(浙江卷浙江卷) 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1设集合 |1Ax x， | 12Bxx ，则(AB ) A |1x x B |1x xC | 11xx D |12xx 【命题意图】本题考查了集合交集的运算，解题的关键是掌握集合交集的定义，考查运算求解能力 【答案】D 【解析】因为集合 |1Ax x， | 12Bxx ， 所以 |12A
2、Bxx 故选：D 【方法总结】进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算. 2已知aR，(1)3(ai ii i为虚数单位），则(a ) A1B1C3D3 【命题意图】本题考查了复数相等定义的理解和应用，考查运算求解，逻辑推理能力 【答案】C 【解析】因为(1)3ai ii，即3aii ， 由复数相等的定义可得，3a ，即3a 故选C 3已知非零向量a ，b ，c ，则“a cb c ”是“ab ”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【命题意图】本题考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是掌握平面向量的基本概念和基
3、本运算，考查逻辑 推理能力 【答案】B 【解析】当0c 时，0a bb c ，但a 与b 不一定相等， 故a bb c 不能推出ab ， 则“a cb c ”是“ab ”的不充分条件； 由ab ，可得0ab ， 则()0abc ，即a bb c ， 所以ab 可以推出a bb c ， 故“a cb c ”是“ab ”的必要条件 综上所述，“a cb c ”是“ab ”的必要不充分条件 故选：B 4某几何体的三视图如图所示（单位：)cm，则该几何体的体积（单位： 3) cm是() A 3 2 B3C 3 2 2 D3 2 【命题意图】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，考查
4、空间想象能力 【答案】A 【解析】由三视图还原原几何体如图， 该几何体为直四棱柱，底面四边形ABCD为等腰梯形， 且2 2AB ，2CD ， 1 1AA ，等腰梯形的高为 22 2 22 ， 则该几何体的体积 123 ( 22 2)1 222 V 故选：A 【易错防范】由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认 识不准易导致失误. 5若实数x，y满足约束条件 1 0 0 231 0 x xy xy ，则 1 2 zxy的最小值是() A2B 3 2 C 1 2 D 1 10 【命题意图】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想 【答案】B 【解析】由约束条件
5、作出可行域如图， 联立 10 2310 x xy ，解得( 1,1)A ， 化目标函数 1 2 zxy为22yxz，由图可知，当直线22yxz过A时， 直线在y轴上的截距最大，z有最小值为 13 11 22 故选B 6如图，己知正方体 1111 ABCDABC D，M，N分别是 1 AD， 1 D B的中点，则() A直线 1 AD与直线 1 D B垂直，直线/ /MN平面ABCD B直线 1 AD与直线 1 D B平行，直线MN 平面 11 BDD B C直线AD与直线 1 D B相交，直线/ /MN平面ABCD D直线 1 AD与直线 1 D B异面，直线MN 平面 11 BDD B 【命
6、题意图】本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理与性质，考查了逻辑推理核心素养 【答案】A 【解析】连接 1 AD，如图： 由正方体可知 11 ADAD， 1 A DAB， 1 AD平面 1 ABD， 11 ADD B，由题意知MN为 1 D AB的中位线，/ /MNAB， 又AB 平面ABCD，MN 平面ABCD，/ /MN平面ABCDA对； 由正方体可知AD、 1 AD都与平面 1 BDD相交于点D， 1 D B 平面 1 BDD， 1 DD B， 直线AD、 1 AD都与直线 1 D B是异面直线，B、C错； / /MNAB，AB不与平面 11 BDD B垂直，MN不与平面 11
7、 BDD B垂直，D错故选：A 7已知函数 2 1 ( ) 4 f xx，( )sing xx，则图象为如图的函数可能是() A 1 ( )( ) 4 yf xg xB 1 ( )( ) 4 yf xg x C( ) ( )yf x g xD ( ) ( ) g x y f x 【命题意图】本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、 特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力 【答案】D 【解析】由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数， 因为 2 1 ( ) 4 f xx为偶函数，( )sing xx为奇
8、函数， 函数 2 1 ( )( )sin 4 yf xg xxx为非奇非偶函数，故选项A错误； 函数 2 1 ( )( )sin 4 yf xg xxx为非奇非偶函数，故选项B错误； 函数 2 1 ( ) ( )()sin 4 yf x g xxx，则 2 1 2 sin()cos0 4 yxxxx 对(0,) 4 x 恒成立， 则函数( ) ( )yf x g x在(0,) 4 上单调递增，故选项C错误故选D 8.已知, 是三个锐角，则sincos,sincos ,sincos中，大于 1 2 的数至多有（） A0 个B1 个 C2 个D3 个 【命题意图】本题考查了反证法，基本不等式，考查
9、逻辑推理能力 【答案】C 9.已知,0a bR ab， 函数 2 ( )()f xaxb xR， 若(),( ),()f stf sf st成等比数列， 则( , )s t平面上的点的轨迹是 （） A直线和圆B直线和椭圆 C直线和双曲线D直线和抛物线 【命题意图】本题考查等比数列，轨迹问题，考查数学抽象，逻辑推理能力 【答案】C 8已知数列 n a满足 1 1a ， 1 (*) 1 n n n a anN a 记数列 n a的前n项和为 n S，则() A 100 1 3 2 SB 100 34SC 100 9 4 2 SD 100 9 5 2 S 【命题意图】本题主要考查数列的递推关系式及其
10、应用，数列求和与放缩的技巧等知识，考查数学抽象，运算求解能 力 【答案】A 【解析】由题意可得： 22 1 11111111 () ?() 242 nn nnn aaaaa ， 1 1111?11 ,1 222 nnn nn aaa ， 从而 1 2 41 , 2 (1)31 1 1 nn nnn n aan aaa nna n ， 1 100 1611 113 16( ?)13 3(1)(2)24 522 n n n an aS annn 故选：A 二二填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应
11、位置 11我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成 的一个大正方形（如图所示）若直角三角形直角边的长分别为 3，4，记大正方形的面积为 1 S，小正方形的面积为 2 S， 则 1 2 S S 25 【命题意图】本题考查了三角形中的几何计算和勾股定理，考查运算能力 【答案】25 【解析】直角三角形直角边的长分别为 3，4， 直角三角形斜边的长为 22 345， 即大正方形的边长为 5， 2 1 525S， 则小正方形的面积 21 1 254341 2 SSS 阴影 ， 1 2 25 S S 12已知aR，函数 2 4,2, ( ) |3|,
12、2 xx f x xa x 若( ( 6)3f f，则a 2 【命题意图】本题考查了函数的求值问题，主要考查的是分段函数求值，考查数学运算能力 【答案】2 【解析】因为函数 2 4,2 ( ) |3|,2 xx f x xa x ， 所以 2 ( 6)( 6)42f， 则( ( 6)f ff（2）|23|3a ，解得2a 13已知多项式 34432 1234 (1)(1)xxxa xa xa xa，则 1 a 5； 234 aaa 【命题意图】本题考查了二项展开式的通项公式的运用以及赋值法求解系数问题，考查数据分析运算求解能力 【答案】5；10 【解析】 1 a即为展开式中 3 x的系数， 所
13、以 001 134 ( 1)5aCC； 令1x ，则有 34 1234 1(1 1)(1 1)16aaaa， 所以 234 165110aaa 【方法归纳】1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a， bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法. 2.若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0a2a4 f（1）f（1） 2 ， 偶数项系数之和为 a1a3a5f（1）f（1） 2 14 在MBC中，60*B， 2AB ，M是BC的中点，2 3AM ，则AC 2 13；cosM
14、AC 【命题意图】本题考查余弦定理应用，考查逻辑推理，数学运算能力 【答案】2 13； 2 39 13 【解析】 在ABM中： 222 2cos60AMBABMBA BM， 222 1 (2 3)222 2 BMBM， 2 280BMBM， 解得：4BM 或2（舍去） 点M是BC中点，4MC，8BC ，在ABC中： 222 2822 8cos6052AC ，2 13AC； 在AMC中： 222 (2 3)(2 13)42 39 cos 13 22 32 13 MAC 15袋中有 4 个红球，m个黄球，n个绿球现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的 概率为 1 6 ，一红一
15、黄的概率为 1 3 ，则mn1，( )E 【命题意图】本题考查了古典概型的概率，组合数公式的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望， 考查了数学抽象及运算求解能力 【答案】1； 8 9 【解析】由题意， 2 4 2 4 16 (2) 636 m n C P C ， 又一红一黄的概率为 11 4 2 4 112 336 m m n C C C ， 所以 21 4 36,3 m nm CC ， 解得3m ，2n ，故1mn； 由题意，的可能取值为 0，1，2， 所以 2 5 2 9 105 (0) 3618 C P C ， 11 45 2 9 2010 (1) 3618 C C P C
16、 ， 13 (2) 618 P， 所以 51038 ( )012 1818189 E 16已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab ，焦点 1( ,0)Fc， 2( F c，0)(0)c 若过 1 F的直线和圆 222 1 () 2 xcyc相切，与 椭圆的第一象限交于点P，且 2 PFx轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是 【命题意图】本题考查了椭圆、圆的简单几何性质，以及点到直线的距离公式，考查分类讨论，逻辑推理，数学运算 能力 【答案】 2 55 , 55 【解析】直线斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意； 由直线过 1 F，设直线的方程为()yk xc， 直线和圆 222
17、1 () 2 xcyc相切， 圆心 1 (,0) 2 c到直线的距离与半径相等， 2 |0| 2 1 c kkc c k ，解得 2 5 5 k ， 将xc代入 22 22 1 xy ab ，可得P点坐标为 2 ( ,) b P c a ， 2 2 12 12 2 5 tan 25 b PF a PFFk FFc ， 22 2 5 25 ac ac ， 2 12 5 25 e e ， 5 5 e 【解题方法】求椭圆离心率的方法 (1)直接求出 a，c 的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2a2c2消去 b，转化为含有 e 的方程(或不等
18、式) 求解. 17.已知平面向量, , (0)a b c c 满足1,2,0,()0aba babc 记平面向量d 在, a b 方向上的投影分别为, ,x y da 在c 方向上的投影为z,则 222 xyz的最小值是 【命题意图】考查向量的投影，向量的数量积运算，均值不等式，考查分析问题，数学运算的能力 【答案】 2 5 三三、解答题解答题：共共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题题为必考题，每个试题考生每个试题考生 都必须作答都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作
19、答. 18设函数( )sincos ()f xxx xR （）求函数 2 () 2 yf x 的最小正周期； （）求函数( ) () 4 yf x f x 在0， 2 上的最大值 【命题意图】本题考查了三角函数的图像性质，涉及求解函数的周期以及最值问题，考查了运算能力，逻辑推理能力 【解析】函数( )sincos2sin() 4 f xxxx ， （）函数 222 () 2sin()2cos () 2244 yf xxx 1cos2()1cos(2)1sin2 42 xxx ， 则最小正周期为 2 2 T ； （）函数( ) ()2sin()2sin() 4444 yf x f xxx 2 (
20、 2(sincos )sin2(sin cos )xxxsin xxx 1cos212 2(sin2 )sin(2) 2242 x xx ， 因为0, 2 x ，所以 3 2, 444 x ， 所以当2 42 x ，即 3 8 x 时， 2 ( )1 2 max f x 【命题意图】本题考查线面垂直的位置关系，线面角，考查逻辑推理能力，空间想象能力 【命题意图】本题等比数列的通项公式，数列错位相减法求和，考查逻辑推理能力，运算求解能力 【命题意图】本题抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，求范围问题，考查逻辑推理能力，数学运算能力。 【命题意图】本题利用导数研究函数的单调性，零点，考查数学抽象，逻辑推理能力，运算求解能力
