1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文（全国卷 2） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2 作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3考试 结束后 ， 将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ? ?i 2 3i? A 32i? B 32i? C 3 2i? D 3 2i? 2已知集合 ? ?1,3,5,7A? ， ? ?2,3,4,5B? ，则 AB? A ?3 B ?5 C ? ?3,5 D ?
2、 ?1,2,3,4,5,7 3函数 ? ?2eexxfx x ? 的图 像 大致 为 4已知向量 a ， b 满足 | | 1?a ， 1? ?ab ，则 (2 )? ? ?a a b A 4 B 3 C 2 D 0 5从 2 名男同学和 3名女同学中任选 2人参加社区服务，则选中的 2人都是女同学的概率为 A 0.6 B 0.5 C 0.4 D 0.3 6双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的离心率为 3 ，则其渐近线方程为 A 2yx? B 3yx? C 22yx?D 32yx?7在 ABC 中， 5cos25C?， 1BC? ， 5AC? ，则 AB? A 4
3、2 B 30 C 29 D 25 8为计算 1 1 1 1 112 3 4 9 9 1 0 0S ? ? ? ? ? ? ?，设计了 如图 的程序框图，则在空白框中应填入 =【 ;精品教育资源文库 】 = 开 始0 , 0N T? ?S N T? ?S输 出1i ?1 0 0i ?1N Ni? ?11T Ti? ?结 束是 否A 1ii? B 2ii? C 3ii? D 4ii? 9在 正 方体 1 1 1 1ABCD ABC D? 中， E 为棱 1CC 的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正 切值为 A 22B 32C 52D 7210若 ( ) cos sinf x x x?在
4、0, a 是减函数，则 a 的最大值是 A 4B 2C 34D 11已知 1F ， 2F 是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点， 若 12PF PF? ，且 21 60PFF? ? ? ，则 C 的离心率为 A 312?B 23? C 312?D 31? 12 已 知 ()fx 是 定 义 域 为 ( , )? 的 奇 函 数 ， 满 足 (1 ) (1 )f x f x? ? ? 若 (1) 2f ? ，则(1) (2) (3)f f f? (50)f? ? ? A 50? B 0 C 2 D 50 二、 填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 13 曲线 2lnyx?
5、 在点 (1,0) 处的切线方程为 _ 14 若 ,xy满足约束条件 2 5 0,2 3 0,5 0,xyxyx?则 z x y? 的最大值为 _ 15 已知 5 1tan( )45?， 则 tan? _ 16 已知圆锥的顶点为 S ， 母线 SA ， SB 互相垂直， SA 与圆锥底面所成角为 30? ，若 SAB 的面积为 8 ， 则该圆锥的 体积为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23 为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（
6、12 分） 记 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，已知 1 7a? ， 3 15S? （ 1）求 na 的通项公式； （ 2）求 nS ，并求 nS 的最小值 18（ 12 分） 下图是某地区 2000年至 2016 年环境基础设施投资额 y （单位：亿元）的折线图 为了预测该地区 2018年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型根据 2000年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1,2, ,17 ）建立模型 ： ? 30.4 13.5yt? ? ；根据 2010 年至 2016年的数据（时间变量 t 的值依次为 1,2, ,7 ）建立模型 ：
7、 ? 99 17.5yt? （ 1）分别利用这两个模型，求该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值； （ 2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 19（ 12 分） 如图，在三棱锥 P ABC? 中， 22AB BC? ， 4PA PB PC AC? ? ? ?， O 为 AC 的中点 （ 1）证明： PO? 平面 ABC ； =【 ;精品教育资源文库 】 = （ 2）若点 M 在棱 BC 上，且 2MC MB? ，求点 C 到平面 POM 的距离 20（ 12 分） 设抛物线 2 4C y x?： 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 ( 0)kk? 的直线 l 与 C 交于
8、A ， B 两点， | | 8AB? （ 1）求 l 的方程； （ 2）求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程 21（ 12 分） 已知函数 ? ? ? ?321 13f x x a x x? ? ? ? （ 1）若 3a? ，求 ()fx的单调区间； （ 2）证明： ()fx只有一个零点 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22 选修 4 4：坐标系与参数方程 （ 10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方 程为 2cos ,4sinx y ? ?（ 为参数），直线 l 的参数方程为 1 cos ,
9、2 sinxtyt? ?（ t 为参数） （ 1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （ 2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1,2) ，求 l 的斜率 23 选修 4 5：不等式选讲 （ 10分） 设函数 ( ) 5 | | | 2 |f x x a x? ? ? ? ? （ 1）当 1a? 时，求不等式 ( ) 0fx 的解集； （ 2）若 ( ) 1fx ，求 a 的取值范围 =【 ;精品教育资源文库 】 = 参考答案 一、选择题 1 D 2 C 3 B 4 B 5 D 6 A 7 A 8 B 9 C 10 C 11 D 12 C 二、填空题 13 y=2x 2 14 9
10、15 32 16 8 三、解答题 17 解 ： （ 1）设 an的公差为 d，由题意得 3a1+3d= 15 由 a1= 7得 d=2 所以 an的通项公式为 an=2n 9 （ 2）由（ 1）得 Sn=n2 8n=（ n 4） 2 16 所以当 n=4时， Sn取得最小值，最小值为 16 18解： （ 1）利用模型，该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值为 y$ = 30.4+13.5 19=226.1（亿元） 利用模型，该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值为 y$ =99+17.5 9=256.5（亿元） （ 2）利用模型得到的预测值更可靠 理由如下： （ i）从折线图可
11、以看出， 2000 年至 2016年的数据对应的点没有随机散布在直线 y= 30.4+13.5t上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势 2010年相对 2009年的环境基础设施投资额有明显增加， 2010年至 2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016年的数据建立的线性模型 y$ =99+17.5t可以较好地 描述 2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠 （ ii）从计算结果看，相对于
12、2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更=【 ;精品教育资源文库 】 = 可靠 以 上给出了 2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 19解： （ 1）因为 AP=CP=AC=4， O为 AC的中点，所以 OP AC，且 OP=23 连结 OB因为 AB=BC= 22AC，所以 ABC为等腰直角三角形，且 OB AC， OB=12AC =2 由 2 2 2OP OB PB?知， OP OB 由 OP OB， OP AC知 PO平面 ABC （ 2） 作 CH
13、OM，垂足为 H又由（ 1）可得 OP CH，所以 CH平面 POM 故 CH的长为点 C到平面 POM 的距离 由题设可知 OC=12AC =2， CM=23BC =423， ACB=45 所以 OM=253， CH= sinOC MC ACBOM? ? ? =455 所以点 C到平面 POM的距离为 455 20 解： （ 1）由题意得 F（ 1， 0）， l的方程为 y=k（ x 1）（ k0） 设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2） 由2( 1)4y k xyx? ? 得 2 2 2 2(2 4 ) 0k x k x k? ? ? ? 216 16 0k? ? ? ， 故 2
14、12 224kxx k? 所以 212 244( 1 ) ( 1 ) kA B A F B F x x k ? ? ? ? ? ? ? =【 ;精品教育资源文库 】 = 由题设知 22448kk? ?， 解得 k= 1（ 舍去）， k=1 因此 l的方程为 y=x 1 （ 2）由（ 1）得 AB的中点坐标为（ 3， 2），所以 AB的垂直平分线方程为 2 ( 3)yx? ? ? ， 即 5yx? ? 设所求圆的圆心坐标为（ x0， y0），则 0022 0005( 1 )( 1 ) 1 6 .2yxyxx? ? ? ? ? ?， 解得0032xy? ? ， 或 00116.xy ? ? ， 因
15、此所求圆的方程为 22( 3) ( 2) 16xy? ? ? ?或 22( 1 1) ( 6 ) 1 4 4xy? ? ? ? 21解： （ 1）当 a=3 时， f（ x） = 321 3 3 33 x x x? ? ?， f （ x） = 2 63xx? 令 f （ x） =0解得 x=3 23? 或 x=3 23? 当 x（ ， 3 23? ）（ 3 23? ， +）时， f （ x） 0； 当 x（ 3 2 3? ， 3 23? ）时， f （ x） 0 故 f（ x）在（ ， 3 2 3? ），（ 3 23? ， +）单调递增，在（ 3 23? ， 3 23? ）单调递减 （ 2）由
16、于 2 10xx? ? ? ，所以 ( ) 0fx? 等价于 32 301x axx ? 设 ()gx= 32 31x axx?，则 g （ x） = 22( 2 3)( 1)x x xxx? 0，仅当 x=0 时 g （ x） =0，所以 g（ x）在（ ， +）单调递增故 g（ x）至多有一个零点，从而 f（ x）至多有一个零点 又 f（ 3a 1） = 221 1 16 2 6 ( ) 03 6 6a a a? ? ? ? ? ? ? ?， f（ 3a+1） = 03? ，故 f（ x）有一个零点 综上， f（ x） 只有一个零点 22 解： （ 1） 曲线 C 的直角坐标方程为 2214 16xy? 当 cos 0? 时， l 的直角坐标方程为 tan 2 tanyx? ? ? ?， 当 cos 0? 时， l 的直角坐标方程为 1x? （ 2）将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程 =【 ;精品教育资源文库 】 = 22(1 3 c o s ) 4 ( 2 c o s s i n ) 8 0tt? ? ? ? ? ? ? 因为 曲线 C 截直线 l 所得线段的中
