1、4.5函数函数 yAsin(x)的图象及应用的图象及应用 考试要求1.结合具体实例，了解 yAsin(x)的实际意义；能借助图象理解参数， A 的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可 以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型 1简谐运动的有关概念 yAsin(x)(A0， 0)，x0 振幅周期频率相位初相 A T2 f1 T 2 x 2.用“五点法”画 yAsin(x)(A0，0)一个周期内的简图时，要找五个特征点 x 0 2 3 2 2 x0 2 3 2 2 yAsin(x)0A0A0 3.函数 ysin x 的图象经变换得到 yAsin(x)
2、(A0，0)的图象的两种途径 微思考 1如图所示为函数 ysin(x)的部分图象利用零点代入求时，x1取哪些值？ 提示2k，kZ. 2函数 ysin(x)图象的对称轴是什么？对称中心是什么？ 提示对称轴是直线 xk 2 (kZ)， 对称中心是点 k ，0(kZ) 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)把 ysin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的1 2， 纵坐标不变， 所得图象对应的函数解析 式为 ysin 1 2x.( ) (2)将 ysin 2x 的图象向右平移 6个单位长度，得到 ysin 2x 3 的图象() (3)函数 f(x)Asin(x)(A
3、0)的最大值为 A，最小值为A.() (4)如果 yAcos(x)的最小正周期为 T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为 T 2.( ) 题组二教材改编 2函数 y2sin 1 2x 3 的振幅、频率和初相分别为() A2,4， 3 B2， 1 4， 3 C2， 1 4， 3 D2,4， 3 答案C 解析由题意知 A2，f1 T 2 1 4，初相为 3. 3函数 ysin x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 2 倍得到的图象对应的 函数解析式是_ 答案ysin 1 2x 解析根据函数图象变换法则可得 4如图，某地一天从 614 时的温度变化曲线近似满足函数 yAsin(
4、x)b,0，则 这段曲线的函数解析式为_ 答案y10sin 8x 3 4 20，x6,14 解析从题图中可以看出，从 614 时的图象是函数 yAsin(x)b 的半个周期， 所以 A1 2(3010)10，b 1 2(3010)20， 又1 2 2 146，所以 8. 又 8102k，kZ,0，所以 3 4 ， 所以 y10sin 8x 3 4 20，x6,14 题组三易错自纠 5ycos(x1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是_ 答案24 解析相邻最高点与最低点的纵坐标之差为 2，横坐标之差恰为半个周期，故它们之间的距 离为 24. 6将曲线 C1：y2cos 2x 6 上的点向右平
5、移 6个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的 1 2，纵坐标不变，得到曲线 C 2，则 C2的方程为() Ay2sin 4xBy2sin 4x 3 Cy2sin xDy2sin x 3 答案A 解析将曲线 C1：y2cos 2x 6 上的点向右平移 6个单位长度，可得 y2sin 2x 的图象，再 将各点横坐标缩短为原来的1 2，纵坐标不变，可得曲线 C 2：y2sin 4x，故选 A. 题型一 函数 yAsin(x)的图象及变换 例 1 (1)(2020天津)已知函数 f(x)sin x 3 .给出下列结论： f(x)的最小正周期为 2； f 2 是 f(x)的最大值； 把函数 ysin x
6、 的图象上所有点向左平移 3个单位长度，可得到函数 yf(x)的图象 其中所有正确结论的序号是() ABCD 答案B 解析T2 1 2，故正确 当 x 3 22k(kZ)， 即 x 62k(kZ)时，f(x)取得最大值，故错误 ysin x 的图象 向左平移 3个单位长度 ysin x 3 的图象，故正确 (2)(2020江苏)将函数 y3sin 2x 4 的图象向右平移 6个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是_ 答案x5 24 解析将函数 y3sin 2x 4 的图象向右平移 6个单位长度， 所得图象的函数解析式为 y3sin 2 x 6 43sin 2x 12 . 令
7、 2x 12k 2，kZ， 得对称轴的方程为 xk 2 7 24，kZ， 分析知当 k1 时，对称轴为直线 x5 24，与 y 轴最近 思维升华 (1)由函数 ysin x 的图象通过变换得到 yAsin(x)的图象有两条途径： “先平 移后伸缩”与“先伸缩后平移” (2)当 x 的系数不为 1 时，特别注意先提取系数，再加减 跟踪训练 1 (1)(2020广州测试)由 y2sin 6x 6 的图象向左平移 3个单位长度，再把所得图 象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，所得图象对应的函数解析式为() Ay2sin 3x 6By2sin 3x 6 Cy2sin 3x 12Dy2sin 12x
8、 6 答案A 解析由 y2sin 6x 6 的图象向左平移 3 个单位长度，可得 y2sin 6 x 3 6 2sin 6x2 6 2sin 6x 6 的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍， 得到 y2sin 3x 6 的图象，故所得图象对应的函数解析式为 y2sin 3x 6 ，选 A. (2)已知函数 f(x)sin 2x 3cos 2x，将 yf(x)的图象向左平移 6个单位长度，再向上平移 1 个单位长度得到函数 yg(x)的图象，则所得函数的最小正周期为_，g 3 4 的值为 _ 答案3 解析由题意知函数 f(x)sin 2x 3cos 2x2sin 2x 3 ，
9、 将 yf(x)的图象向左平移 6个单位长度， 可得 y2sin 2x 3 3 2sin 2x 的图象， 再向上平移 1 个单位长度得到函数 yg(x)2sin 2x1 的图象， 则 T2 2 ，g 3 4 2sin 3 2 13. 题型二 由图象确定 yAsin(x) 的解析式 1(2020全国改编)设函数 f(x)cos x 6 在，上的图象大致如图，则 f(x)的解析式 为() Af(x)cos 3 2x 6 Bf(x)cos 3 2x 6 Cf(x)cos 3 4x 6 Df(x)cos 3 4x 6 答案B 解析由图象知T2，即2 |2， 所以 1|2. 因为图象过点 4 9 ，0
10、，所以 cos 4 9 6 0， 所以4 9 6k 2，kZ， 所以9 4k 3 4，kZ. 因为 1|0，0，| 2 的部分图象如图所示，则() Ag(x)sin 2x 3Bg(x)sin 2x2 3 Cg(x)sin 2xDg(x)sin 2x 6 答案C 解析根据题图有 A1，3 4T 5 6 12 3 4 T2 2(T 为 f(x)的最小正周期)，所以 f(x)sin(2x)，由 f 12 sin 2 121sin 61 6 22k，kZ 3 2k，kZ.因为|0，0，0)为奇函数，该函数的部 分图象如图所示， EFG(点 G 是图象的最高点)是边长为 2 的等边三角形， 则 f(1)
11、_. 答案 3 解析由题意得，A 3，T42 ， 2. 又因为 f(x)Acos(x)为奇函数， 所以 2k，kZ，由 00， 2 2 的图象相邻的两个对称中心 之间的距离为 2，若将函数 f(x)的图象向左平移 6个单位长度后得到偶函数 g(x)的图象，则函 数 f(x)的一个单调递减区间为() A. 3， 6B. 4， 7 12 C. 0， 3D. 2， 5 6 答案B 解析因为函数 f(x)sin(x)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 2， 所以 T 2 2， 即 T ，即2 ，2，得 f(x)sin(2x)，将 f(x)的图象向左平移 6个单位长度后，得到 g(x) sin 2x
12、3的图象， 因为 g(x)为偶函数， 所以 3k 2(kZ)， 解得k 6(kZ) 又 因为 2 2，所以 6，所以 f(x)sin 2x 6 . 令 22k2x 6 3 2 2k(kZ)， 解得 6kx 2 3 k(kZ) 当 k0 时，得到一个单调递减区间为 6， 2 3 . 又 4， 7 12 6， 2 3 ，故选 B. 命题点 2函数零点(方程根)问题 例 3 已知关于 x 的方程 2sin2x 3sin 2xm10 在 2，上有两个不同的实数根， 则 m 的 取值范围是_ 答案(2，1) 解析方程 2sin2x 3sin 2xm10 可转化为 m12sin2x 3sin 2xcos
13、2x 3sin 2x 2sin 2x 6 ，x 2，. 设 2x 6t，则 t 7 6 ，13 6， 题目条件可转化为m 2 sin t，t 7 6 ，13 6有两个不同的实数根 ym 2和 ysin t，t 7 6 ，13 6的图象有两个不同交点，如图： 由图象观察知，m 2 的取值范围是 1，1 2 ， 故 m 的取值范围是(2，1) 本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则 m 的取值范围是 _ 答案2,1) 解析同例题知，m 2的取值范围是 1，1 2 ， 2m0)的函数关系式，并求当 t 0， 2 时，y 的取值范围 解(1)连结 AB，OA，OB(图略)，当 t 4时，
14、xOA 2 3 5 6 ，xOB 2，所以AOB 2 3 . 又 OA1，OB2， 所以 AB21222212cos 2 3 7， 即 A，B 两点间的距离为 7. (2)依题意，y1sin 2t 3 ，y22sin 2t， 所以 ysin 2t 3 2sin 2t 3 2 cos 2t3 2sin 2t 3cos 2t 3 ， 即函数关系式为 y 3cos 2t 3 (t0)， 当 t 0， 2 时，2t 3 3， 4 3 ， 所以 cos 2t 3 1，1 2 ， 故当 t 0， 2 时，y 3， 3 2 . 思维升华 (1)研究 yAsin(x)的性质时可将x视为一个整体，利用换元法和数
15、形结合 思想进行解题 (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数 (3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽 象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题 跟踪训练 2 (2021南昌模拟)函数 f(x)2sin(x) 0 2，| 2 的部分图象如图所示， A(0， 3)，C(2,0)，并且 ABx 轴 (1)求和的值； (2)求 cosACB 的值 解(1)由已知得 f(0)2sin 3，又| 2， 所以 3，所以 f(x)2sin x 3 .因为 f(2)0，即 2sin 2 3 0，所以 2 3k，kZ， 解得k 2 6，kZ，而 00
16、，函数 ycos x 3 的图象向右平移 3个单位长度后与函数 y sin x 的图象重合，则的最小值为() A.11 2 B.5 2 C.1 2 D.3 2 答案B 解析函数 ycos x 3 的图象向右平移 3个单位长度后， 所得函数图象对应的解析式为 ycos x 3 3cos x 3 3 ， 其图象与函数 ysin xcos x 22k，kZ 的图象重合， 22k 3 3，kZ， 6k5 2，kZ， 又0， 的最小值为5 2，故选 B. 5(多选)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数， 给出下列函数中是“互为生成”函数的是() Af(x)sin xco
17、s x Bf(x) 2(sin xcos x) Cf(x)sin x Df(x) 2sin x 2 答案AD 解析f(x)sin xcos x 2sin x 4 与 f(x) 2sin x 2经过平移后能够重合 6(多选)将函数 f(x) 3cos 2x 3 1 的图象向左平移 3个单位长度，再向上平移 1 个单位 长度，得到函数 g(x)的图象，则函数 g(x)具有以下哪些性质() A最大值为 3，图象关于直线 x 3对称 B图象关于 y 轴对称 C最小正周期为 D图象关于点 4，0成中心对称 答案BCD 解析将函数 f(x) 3cos 2x 3 1 的图象向左平移 3个单位长度， 得到 y
18、 3cos 2 x 3 31 3cos(2x)1 3cos 2x1 的图象； 再向上平移 1 个单位长度，得到函数 g(x) 3cos 2x 的图象 对于函数 g(x)，它的最大值为3，由于当 x 3时，g(x) 3 2 ，不是最值，故 g(x)的图象不 关于直线 x 3对称，故 A 错误； 由于该函数为偶函数，故它的图象关于 y 轴对称，故 B 正确； 它的最小正周期为2 2 ，故 C 正确； 当 x 4时，g(x)0，故函数的图象关于点 4，0成中心对称，故 D 正确 7(2018全国)函数 f(x)cos 3x 6 在0，上的零点个数为_ 答案3 解析由题意可知，当 3x 6k 2(kZ
19、)时，f(x)cos 3x 6 0. x0， 3x 6 6， 19 6， 当 3x 6的取值为 2， 3 2 ，5 2 时，f(x)0， 即函数 f(x)cos 3x 6 在0，上的零点个数为 3. 8(2021济南模拟)已知曲线 C1：ycos x，C2：ysin 2x2 3 ，则为了得到曲线 C1，首先 要把 C2上各点的横坐标变为原来的_倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移 _个单位长度(本题所填数字要求为正数) 答案2 6 解析曲线 C1：ycos xsin x 2 sin 21 2x 2 3 6 ， 先将曲线 C2上各点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线
20、ysin 21 2x 2 3 向右至少平移 6个单位长度 9函数 ycos(2x)(0)的图象向右平移 2个单位长度后，与函数 ysin 2x 3 的图象 重合，则_. 答案 6 解析把函数 ycos(2x)(0)的图象向右平移 2个单位长度后，得到 ycos(2x) 的图象， 与函数 ysin 2x 3 的图象重合，则 cos(2x)sin 2x 3 ， 即 sin 2x 2sin 2x 3 ， 所以 2 32k，kZ，又 00，| 2 的部分图象如图所示，则_，函数 f(x) 的单调递增区间为_ 答案2 5 12k， 12k(kZ) 解析由图象知T 2 3 6 2， 则周期 T，即2 ，
21、则2，f(x)2sin(2x) 由 2 6 2k，kZ， 又|0)，且 f(x)的最小正周 期为. (1)求的值及函数 f(x)的单调递减区间； (2)将函数 f(x)的图象向右平移 6个单位长度后得到函数 g(x)的图象，求当 x 0， 2 时，函数 g(x)的最大值 解(1)由题意知 f(x) 3sin 2x1cos 2x 2sin 2x 6 1， 周期 T，即2 2，1， f(x)2sin 2x 6 1， 令 22k2x 6 3 2 2k，kZ， 得 6kx 2 3 k，kZ. 函数 f(x)的单调递减区间为 6k， 2 3 k ，kZ. (2)g(x)2sin 2 x 6 612sin
22、 2x 6 1， 当 x 0， 2 时， 62x 6 5 6 ， 当 2x 6 2，即 x 3时，g(x) max2113. 13.(2020湖南衡阳高中毕业联考)将函数 f(x)的图象向右平移 6个单位长度， 再将所得函数图象 上的所有点的横坐标缩短到原来的2 3，得到函数 g(x)Asin(x) A0，0，| 2 的图 象已知函数 g(x)的部分图象如图所示，则() A函数 f(x)的最小正周期为2 3 ，最大值为 2 B函数 f(x)的最小正周期为，图象关于点 6，0中心对称 C函数 f(x)的最小正周期为2 3 ，图象关于直线 x 6对称 D函数 f(x)的最小正周期为，在区间 6，
23、3 上单调递减 答案D 解析对于 g(x)，由题图可知，A2，T4 2 9 18 2 3 ，所以2 T 3，则 g(x)2sin(3x )，又由 g 2 9 2 可得 62k，kZ，而|0)个单位长度，得到 函数 yg(x)的图象，若 g 6xg(x)对任意实数 x 成立，则实数 a 的最小值为() A.5 24 B. 4 C. 3 D. 6 答案D 解析因为 f(x)2sin xcos x2 3cos2x 3sin 2x 3cos 2x2sin 2x 3 ， 则 g(x)2sin 2x 32a， 由 g 6xg(x)得函数 g(x)的对称轴为 x 12， 所以 6 32ak 2，kZ， 所以
24、ak 2 3，kZ， 因为 a0，所以当 k1 时，可得a 6， 即 a 6，即 a 的最小值为 6. 15 如图， 将绘有函数 f(x) 3sin x5 6 (0)部分图象的纸片沿 x 轴折成直二面角， 若 A， B 之间的空间距离为 10，则 f(1)_. 答案 3 2 解析由题设并结合图形可知， AB 32 32 T 2 2 6T 2 4 6 2 2 10，得 2 24，则 2， 所以 f(1) 3sin 2 5 6 3sin 3 3 2. 16摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可 以从高处俯瞰四周的景色(如图 1)某摩天轮的最高点距离地面的高度为
25、 90 米，最低点距离 地面为 10 米， 摩天轮上均匀设置了 36 个座舱(如图 2) 开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动， 游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱摩天 轮转一周需要 30 分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时 (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米， 已知H关于t的函数关系式满足H(t)Asin(t )B(其中 A0，0)，求摩天轮转动一周的解析式 H(t)； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为 30 米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔 5 个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记 两人距离地面的高
26、度差为 h 米，求 h 的最大值 解(1)由题意可知 H(t)Asin(t)B(A0，0，B0)，摩天轮的最高点距离地面的高 度为 90 米，最低点距离地面 10 米， AB90， AB10， 得 A40，B50. 又函数周期为 30，2 30 15， 所以 H(t)40sin 15t50(0t30)， 又 t0 时，H(t)10，所以 1040sin 15050， 即 sin 1，可取 2， 所以 H(t)40sin 15t 2 50 40cos 15t50(0t30) (2)H(t)40cos 15t5030，cos 15t 1 2， 解得 t5， 所以游客甲坐上摩天轮 5 分钟后，距离地面的高度恰好为 30 米 (3)由题意知相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为30 36，游客甲，乙中间相隔 5 个座舱， 则游客乙在游客甲之后 5 分钟进入座舱，若甲在摩天轮上坐了 t(5t30)分钟，则游客乙在 摩天轮上坐了 t5 分钟， 所以高度差为 h40cos 15t50 40cos 15t550 40 cos 15tcos 15t5 40 1 2cos 15t 3 2 sin 15t 40cos 15t 3 ， 因为 5t30，所以2 3 15t 3 7 3 ， 当 15t 3，即 t10 时，h 取得最大值 40.
