1、4.1任意角和弧度制、三角函数的概念任意角和弧度制、三角函数的概念 考试要求1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化， 体会引入弧度制的必 要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 1角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 (2)分类 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 S| k360，kZ 2弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作
2、 rad. (2)公式 角的弧度数公式|l r(弧长用 l 表示) 角度与弧度的换算 1 180 rad；1 rad 180 弧长公式弧长 l|r 扇形面积公式S1 2lr 1 2|r 2 3.任意角的三角函数 (1)在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点 P 的坐标是(x，y)，它与原点的距离是 r(r x2y20) 则 sin y r，cos x r，tan y x(x0) (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在 x 轴上，余弦 线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做角的 正弦线，余弦线和正切线 微思考 总结
3、一下三角函数值在各象限符号为正的规律 提示一全正、二正弦、三正切、四余弦 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角() (2)角k 3(kZ)是第一象限角( ) (3)若 sin sin 7，则 7.( ) (4)300角与 60角的终边相同() 题组二教材改编 2终边落在第一象限角平分线上的角的集合是_(用角度表示) 答案|k36045，kZ 3一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_弧度 答案 3 4若角的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点 P(1,2)，则 sin cos tan _. 答
4、案 3 510 5 题组三易错自纠 5(多选)已知角 2的终边在 x 轴的上方，那么角可能是() A第一象限角B第二象限角 C第三象限角D第四象限角 答案AC 解析因为角 2的终边在 x 轴的上方，所以 k3602k360180，kZ， 则有 k180k18090，kZ. 故当 k2n，nZ 时，n360n36090，nZ，为第一象限角； 当 k2n1，nZ 时，n360180n360270，nZ，为第三象限角故选 AC. 6已知角的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，若 A(1，y)是角终边上的一点， 且 sin 3 10 10 ，则 y_. 答案3 解析因为 sin 3 10 10
5、0，A(1，y)是角终边上一点，所以 y0， 由三角函数的定义，得 y y21 3 10 10 . 解得 y3. 题型一 角及其表示 1下列与角9 4 的终边相同的角的表达式中正确的是() A2k45(kZ)Bk3609 4 (kZ) Ck360315(kZ)Dk5 4 (kZ) 答案C 解析与角9 4 的终边相同的角可以写成 2k9 4 (kZ)或 k36045(kZ)，但是角度制与 弧度制不能混用，所以只有答案 C 正确 2集合 |k 4k 2，kZ中的角所表示的范围(阴影部分)是() 答案C 解析当 k2n(nZ)时， 2n 42n 2， 此时表示的范围与 4 2表示的范围一样； 当 k
6、2n1 (nZ)时，2n 42n 2，此时表示的范围与 4 2表示 的范围一样，故选 C. 3设集合 M x|x k 218045，kZ，N x|x k 418045，kZ，那么() AMNBMN CNMDMN 答案B 解析由于M中， xk 218045k9045(2k1)45， 2k1是奇数； 而N中， x k 4180 45k4545(k1)45，k1 是整数，因此必有 MN，故选 B. 4若角是第二象限角，则 2是第_象限角 答案一或三 解析是第二象限角， 22k2k，kZ， 4k 2 2k，kZ.当 k 为偶数时， 2是第一象限角；当 k 为奇数时， 2是第三象限角 综上， 2是第一或
7、第三象限角 思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的 终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k(kZ)赋值来求得所需的角 (2)确定 k， k(kN *)的终边位置的方法 先写出 k或 k的范围，然后根据 k 的可能取值确定 k或 k的终边所在位置 题型二 弧度制及其应用 例 1 一扇形的圆心角 3，半径 R10 cm，求该扇形的面积 解由已知得 3，R10 cm， S扇形1 2R 21 2 310 250 3 (cm2) 1若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积 解lR 310 10 3 (cm)， S弓形S扇形S三角形 50
8、3 1 2R 2sin 3 50 3 1 210 2 3 2 5075 3 3 (cm2) 2若将本例已知条件改为：“扇形周长为 20 cm”，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个 扇形的面积最大？ 解由已知得，l2R20，则 l202R(0R10) 所以 S1 2lR 1 2(202R)R10RR 2(R5)225， 所以当 R5 cm 时，S 取得最大值 25 cm2，此时 l10 cm，2 rad. 思维升华 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度 (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题 (3)在解决弧长问题和扇形面积问题
9、时，要合理地利用圆心角所在的三角形 跟踪训练 1 (1) 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著， 其中有这样一个问题： “今 有宛田，下周三十步，径十六步问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为 30 步，其所在圆的直径为 16 步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为() A120B240 C360D480 答案A 解析圆的直径为 16 步， 圆的半径为 8 步， 又弧长为 30 步， 扇形面积 S1 2830120(平方步) (2)一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的2 3，面积等于圆面积的 5 27，则扇形 的弧长与圆周长之比为_ 答案 5 18 解析设
10、圆的半径为 r，则扇形的半径为2r 3 ， 记扇形的圆心角为，由扇形面积等于圆面积的 5 27， 可得 1 2 2r 3 2 r2 5 27，解得 5 6 . 所以扇形的弧长与圆周长之比为 l C 5 6 2r 3 2r 5 18. 题型三 三角函数的概念 例 2 (1)已知角的终边与单位圆的交点为 P 1 2，y，则 sin tan 等于() A 3 3 B 3 3 C3 2 D3 2 答案C 解析设 O 为坐标原点， 由 OP21 4y 21， 得 y23 4，y 3 2 . 方法一当 y 3 2 时，sin 3 2 ，tan 3， 此时，sin tan 3 2. 当 y 3 2 时，si
11、n 3 2 ，tan 3， 此时，sin tan 3 2. 所以 sin tan 3 2. 方法二由三角函数定义知，cos 1 2，sin y， 所以 sin tan sin sin cos sin2 cos y2 1 2 3 4 1 2 3 2. (2)若为第二象限角，则 cos 2，cos 2， 1 sin 2中，其值必为正的有( ) A0 个B1 个 C2 个D3 个 答案A 解析由题意知，2k 22k(kZ)，则 4k24k2(kZ)，所以 2的终边在 第三、 第四象限或 y 轴的负半轴上， 所以 sin 20， cos 2可正可负也可为零 因为 k 4 2k 2(kZ)，所以 2的终
12、边在第一或第三象限，所以 cos 2可正可负故选 A. (3)已知角的终边上一点 P( 3，m)(m0)，且 sin 2m 4 ，则 cos _，tan _. 答案 6 4 15 3 或 15 3 解析设 P(x，y)，由题设知 x 3，ym，所以 r2OP2( 3)2m2(O 为原点)，即 r 3m2，所以 sin m r 2m 4 m 2 2，所以 r 3m 22 2，即 3m28，解得 m 5， 当 m 5时，r2 2，x 3，y 5，所以 cos 3 2 2 6 4 ，tan 15 3 ；当 m 5时，r2 2，x 3，y 5，所以 cos 3 2 2 6 4 ，tan 15 3 .
13、思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角终边上一点 P 的坐标可求的三角函数值；已知 角的三角函数值，也可以求出角终边的位置 (2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限 的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况 跟踪训练 2 (1)已知角的终边经过点(3，4)，则 sin 1 cos 等于( ) A1 5 B.37 15 C.37 20 D.13 15 答案D 解析因为角的终边经过点(3，4)，所以 sin 4 5，cos 3 5，所以 sin 1 cos 4 5 5 3 13 15.故选 D. (2)已知角的终边过
14、点 P(8m，6sin 30)，且 cos 4 5，则 m 的值为( ) A1 2 B 3 2 C.1 2 D. 3 2 答案C 解析由题意得点 P(8m，3)，r 64m29， 所以 cos 8m 64m29 4 5， 所以 m1 2. (3)设是第三象限角，且|cos 2|cos 2，则 2是( ) A第一象限角B第二象限角 C第三象限角D第四象限角 答案B 解析由是第三象限角知， 2为第二或第四象限角， |cos 2|cos 2，cos 20， 综上可知， 2为第二象限角 课时精练课时精练 1给出下列四个命题： 3 4 是第二象限角；4 3 是第三象限角；400是第四象限角；315是第一
15、象限角 其中正确命题的个数为() A1B2C3D4 答案C 解析中3 4 是第三象限角，从而错 中4 3 3，则 4 3 是第三象限角，从而正确 中40036040，从而正确 中31536045，从而正确 2已知点 P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在() A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 答案B 解析由题意知 tan 0， cos 0， 根据三角函数值的符号规律可知， 角的终边在第二象限 故 选 B. 3若角的终边在直线 yx 上，则角的取值集合为() A. |k2 4，kZ B. |k2 3 4 ，kZ C. |k 3 4 ，kZ D. |k 4，kZ 答案D 解析由
16、图知， 角的取值集合为 |2n 3 4 ，nZ |2n 4，nZ |2n1 4，nZ |2n 4，nZ |k 4，kZ. 4(2020杭州第二中学模拟)若扇形的面积为3 8 、半径为 1，则扇形的圆心角为() A.3 2 B.3 4 C.3 8 D.3 16 答案B 解析设扇形的圆心角为， 扇形的面积为3 8 、半径为 1， 3 8 1 21 2，3 4 . 5(多选)已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，下列选项可能正确的有() A圆的半径为 2 B圆的半径为 1 C圆心角的弧度数是 1 D圆心角的弧度数是 2 答案ABC 解析设扇形的半径为 r，圆心角的弧度数为， 则由题意得 2
17、rr6， 1 2r 22， 解得 r1， 4 或 r2， 1， 可得圆心角的弧度数是 4 或 1. 6(多选)关于角度，下列说法正确的是() A时钟经过两个小时转过的角度是 60 B钝角大于锐角 C三角形的内角必是第一或第二象限角 D若是第二象限角，则 2 是第一或第三象限角 答案BD 解析对于 A，时钟经过两个小时转过的角度是60，故错误； 对于 B，钝角一定大于锐角，显然正确； 对于 C，若三角形的内角为 90，则是终边在 y 轴正半轴上的角，故错误； 对于 D，角的终边在第二象限， 2k 22k，kZ， k 4 2 k 2，kZ. 当 k2n，nZ 时，2n 4 2 2n 2，nZ，得
18、2 是第一象限角； 当 k2n1，nZ 时，(2n1) 4 2 (2n1) 2，nZ，得 2 是第三象限角，故正确 7已知是第二象限角，P(x， 5)为其终边上一点，且 cos 2 4 x，则 x_. 答案 3 解析依题意，得 cos x x25 2 4 x0， 由此解得 x 3. 8若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是_ 答案2 解析设圆半径为 r，则圆内接正方形的对角线长为 2r，所以正方形边长为2r，所以圆心 角的弧度数是 2r r 2. 9已知点 P(sin ，cos )是角终边上的一点，其中2 3 ，则与角终边相同的最小正角为 _ 答案 11 6 解析因为2 3
19、， 故 P 3 2 ，1 2 ， 故为第四象限角且 cos 3 2 ， 所以2k11 6 ， kZ， 所以与角终边相同的最小正角为11 6 . 10给出下列命题： 第二象限角大于第一象限角； 不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； 若 sin sin ，则与的终边相同； 若 cos 0，则是第二或第三象限的角 其中正确命题的序号是_ 答案 解析举反例：第一象限角 370不小于第二象限角 100，故错；正确；由于 sin 6 sin 5 6 ，但 6与 5 6 的终边不相同，故错；当 cos 1，时，其既不是第二象限角，也 不是第三象限角，故错综上可知，只有正确 11
20、已知 1 |sin | 1 sin ，且 lg(cos )有意义 (1)试判断角所在的象限； (2)若角的终边上一点 M 3 5，m，且|OM|1(O 为坐标原点)，求 m 的值及 sin 的值 解(1)由 1 |sin | 1 sin ，得 sin 0， 所以是第四象限角 (2)因为 OM1，所以 3 5 2m21，解得 m4 5. 又为第四象限角，故 m0 时，r5a，sin cos 3 5 4 5 1 5. 当 a0 时，sin 3 5 0， 2 ， cos 4 5 2，0， 则 cos(sin )sin(cos )cos 3 5sin 4 5 0； 当 a0. 综上，当 a0 时，co
21、s(sin )sin(cos )的符号为负； 当 a0 时，cos(sin )sin(cos )的符号为正 13(多选)角的终边在第一象限，则 sin 2 |sin 2| cos 2 |cos 2| tan 2 |tan 2| 的值为() A1B1C3D3 答案AD 解析角的终边在第一象限， 角 2的终边在第一象限或第三象限 当角 2的终边在第一象限时， sin 2 |sin 2| cos 2 |cos 2| tan 2 |tan 2| 1113， 当角 2的终边在第三象限时， sin 2 |sin 2| cos 2 |cos 2| tan 2 |tan 2| 1111. 14.(2018北京
22、)在平面直角坐标系中，AB，CD，EF， GH是圆 x2y21 上的四段弧(如 图)，点 P 在其中一段上，角以 Ox 为始边，OP 为终边，若 tan cos sin ，不满 足； 在CD上，tan sin ，不满足； 在EF上，sin 0，cos 0，tan tan ，满足； 在 GH上，tan 0，sin 0，cos 0，不满足 故选 C. 15若角的终边落在直线 y 3x 上，角的终边与单位圆交于点 1 2，m，且 sin cos 0， 则 cos sin _. 答案 3 4 解析由角的终边与单位圆交于点 1 2，m，得 cos 1 2，又由 sin cos 0 知，sin 0，因 为
23、角的终边落在直线 y 3x 上，所以角只能是第三象限角记 P 为角的终边与单位圆的 交点，设 P(x，y)(x0，y0)，则 OP1(O 为坐标原点)，即 x2y21，又由 y 3x 得 x 1 2，y 3 2 ，所以 cos x1 2，因为点 1 2，m在单位圆上，所以 1 2 2m21，解得 m 3 2 ，所以 sin 3 2 ，所以 cos sin 3 4 . 16在一块顶角为 120、腰长为 2 的等腰三角形厚钢板废料 OAB 中，用电焊切割成扇形， 现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？ 解因为AOB 是顶角为 120、腰长为 2 的等腰三角形， 所以 AB30 6，AMBN1，AD2， 所以方案一中扇形的弧长2 6 3；方案二中扇形的弧长1 2 3 2 3 ； 方案一中扇形的面积1 222 6 3，方案二中扇形的面积 1 211 2 3 3. 由此可见：两种方案中可利用废料的面积相等，方案一中切割时间短因此方案一最优
