1、5.4复复数数 考试要求1.通过方程的解，认识复数.2.结合复数的代数表示及其几何意义，考查复数的实 部、虚部，共轭复数，复数的模等概念的认识.3.结合复数的运算法则，考查复数的加、减、 乘、除运算 1复数的有关概念 (1)定义：形如 abi(a，bR)的数叫做复数，其中 a 叫做复数 z 的实部，b 叫做复数 z 的虚 部(i 为虚数单位) (2)分类： 满足条件(a，b 为实数) 复数的分类 abi 为实数b0 abi 为虚数b0 abi 为纯虚数a0 且 b0 (3)复数相等：abicdiac 且 bd(a，b，c，dR)(4)共轭复数：abi 与 cdi 共 轭ac，bd(a，b，c，
2、dR) (5)模： 向量OZ 的模叫做复数 zabi 的模， 记作|abi|或|z|， 即|z|abi| a2b2(a， bR) 2复数的几何意义 复数 zabi 与复平面内的点 Z(a，b)及平面向量OZ (a，b)(a，bR)是一一对应关系 3复数的运算 (1)运算法则：设 z1abi，z2cdi，a，b，c，dR. (2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行 如图给出的平行四边形 OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ OZ1 OZ2 ，Z 1Z2 OZ 2 OZ 1 . 微思考 1复数 abi 的实部为 a，虚部为 b 吗？ 提示不一定只有当
3、a，bR 时，a 才是实部，b 才是虚部 2i 的乘方具有周期性吗？ 提示in 1，n4k， i，n4k1， 1，n4k2， i，n4k3 (kZ) 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)方程 x2x10 没有解() (2)复数 zabi(a，bR)中，虚部为 bi.() (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小() (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的 模() 题组二教材改编 2若复数 z(x21)(x1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为() A1B0C1D1 或 1 答案A 解析z 为纯虚数， x210
4、， x10， x1. 3在复平面内，向量AB 对应的复数是 2i，向量CB对应的复数是13i，则向量CA 对应 的复数是() A12iB12iC34iD34i 答案D 解析CA CBBA13i(2i)34i. 4若复数 z 满足(34i)z1i(i 是虚数单位)，则复数 z 的共轭复数 z 等于() A1 5 7 5i B1 5 7 5i C 1 25 7 25i D 1 25 7 25i 答案D 解析由题意可得 z 1i 34i 1i34i 34i34i 17i 25 ， 所以 z 1 25 7 25i，故选 D. 题组三易错自纠 5已知 abi(a，bR)是1i 1i的共轭复数，则 ab
5、等于( ) A1B1 2 C.1 2 D1 答案D 解析由1i 1i 1i1i 1i1ii， 得 abii，由复数相等得 a0，b1， 从而 ab1. 6i 为虚数单位，若复数(1mi)(i2)是纯虚数，则实数 m 等于_ 答案2 解析因为(1mi)(i2)2m(12m)i 是纯虚数，所以 2m0，且 12m0，解得 m 2. 题型一 复数的概念 1(2020全国)若 z (1i)1i，则 z 等于() A1iB1iCiDi 答案D 解析因为 z 1i 1i 1i2 1i1ii，所以 zi. 2(2020全国)若 z1i，则|z22z|等于() A0B1C. 2D2 答案D 解析方法一z22z
6、(1i)22(1i)2， |z22z|2|2. 方法二|z22z|(1i)22(1i)| |(1i)(1i)|1i|1i|2. 3已知 i 为虚数单位，则复数 z 3i 1ii的虚部为( ) AiB2C1Di 答案C 解析因为 3i 1ii 3i1i 2i 12i i 2i，所以 z 的虚部为1. 4(2021郑州质检)若复数12ai 2i (aR)的实部和虚部相等，则实数 a 的值为() A1B1C.1 6 D1 6 答案C 解析因为12ai 2i 12ai2i 2i2i 22a 5 14a 5 i，所以由题意，得22a 5 14a 5 ，解得 a 1 6. 思维升华 解决复数概念问题的方法
7、及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只 需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可 (2)解题时一定要先看复数是否为 abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部 题型二 复数的四则运算 例 1 (1)(2020新高考全国) 2i 12i等于( ) A1B1CiDi 答案D 解析 2i 12i 2i12i 12i12i 5i 5 i. (2)(多选)(八省联考)设 z1，z2，z3为复数，z10.下列命题中正确的是() A若|z2|z3|，则 z2z3 B若 z1z2z1z3，则 z2z3 C若 z 2z3，则|z1z
8、2|z1z3| D若 z1z2|z1|2，则 z1z2 答案BC 解析由|i|1|，知 A 错误； z1z2z1z3，则 z1(z2z3)0，又 z10， 所以 z2z3，故 B 正确； |z1z2|z1|z2|，|z1z3|z1|z3|， 又 z 2z3， 所以|z2| z 2|z3|，故 C 正确， 令 z1i，z2i，满足 z1z2|z1|2， 不满足 z1z2，故选 BC. (3)(2020达州模拟)已知 z(1i)17i(i 是虚数单位)， z 的共轭复数为 z ， 则| z |等于() A. 2B34iC5D7 答案C 解析z17i 1i 17i1i 2 34i， 故 z 34i|
9、 z |5，故选 C. 思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算 (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数 跟踪训练 1 (1)(2018全国)(1i)(2i)等于() A3iB3i C3iD3i 答案D 解析(1i)(2i)22iii23i. (2)(2020乌鲁木齐模拟)已知复数 z1i(i 是虚数单位)，则z 22 z1 等于() A22iB22i C2iD2i 答案B 解析 z22 z1 1i 22 1i1 22i i 22ii i2 22i. (3)(2021武汉模拟)1i 2 021 1i _. 答案i 解析 1i2021 1i 1i 1i 1i
10、2 1i1i 2i 2 i. 题型三 复数的几何意义 例 2 (1)(2019全国)设 z32i，则在复平面内 z 对应的点位于() A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 答案C 解析 z 32i，故 z 对应的点(3，2)位于第三象限 (2)(2019全国)设复数 z 满足|zi|1，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则() A(x1)2y21B(x1)2y21 Cx2(y1)21Dx2(y1)21 答案C 解析z 在复平面内对应的点为(x，y)， zxyi(x，yR) |zi|1，|x(y1)i|1，x2(y1)21.故选 C. (3)(2020全国)设复数 z1，z2满足|z1|
11、z2|2，z1z2 3i，则|z1z2|_. 答案2 3 解析方法一设 z1z2abi，a，bR， 因为 z1z2 3i， 所以 2z1( 3a)(1b)i,2z2( 3a)(1b)i. 因为|z1|z2|2，所以|2z1|2z2|4， 所以 3a21b24， 3a21b24， 22，得 a2b212. 所以|z1z2| a2b22 3. 方法二设复数 z1，z2在复平面内分别对应向量OA ， OB ， 则 z1z2对应向量OA OB . 由题意知|OA |OB |OA OB |2， 如图所示，以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OACB， 则 z1z2对应向量BA ，且|OA |AC |OC
12、 |2， 可得|BA |2|OA |sin 602 3. 故|z1z2|BA |2 3. 思维升华 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何 联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观 跟踪训练 2 (1)(2020东北三省三校模拟)设 i 是虚数单位，则复数 1 1i在复平面内对应的点位 于() A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 答案D 解析 1 1i 1i 1i1i 1 2 1 2i，则复数 1 1i对应的点为 1 2， 1 2 ，在第四象限，故选 D. (2)如图，若向量OZ 对应的复数为 z，则 z4 z表示的复数为( ) A
13、13iB3i C3iD3i 答案D 解析由题图可得 Z(1，1)，即 z1i，所以 z4 z1i 4 1i1i 41i 1i1i1i 44i 2 1i22i3i.故选 D. 如图的复平面中，r a2b2，cos a r，sin b r，tan b a(a0) 任何一个复数 zabi 都可以表示成 zr(cos isin )的形式 我们把 r(cos isin )叫做复数的三角形式 对应于复数的三角形式，把 zabi 叫做复数的代数形式 复数乘、除运算的三角表示： 已知复数 z1r1(cos 1isin 1)，z2r2(cos 2isin 2)，则 z1z2r1r2cos(12)isin(12)
14、 z1 z2 r1 r2cos( 12)isin(12) 例 1下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式： (1)z12(cos isin )；(2)z2cos isin ；(3)z3sin icos . 解(1)由“模非负”知，不是三角形式，需做变换：z12(cos isin ) 复平面上点 Z1(2cos ，2sin )在第三象限(假定为锐角)，余弦“cos ”已在前，不需 再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“”将辐角变换到第三象限 z12(cos isin )2cos()isin() (2)由“加号连”知，不是三角形式 复平面上点 Z2(cos ，sin )在第四象限(假定为锐角)
15、，不需改变三角函数名称，可用诱导 公式“2”或“”将辐角变换到第四象限 z2cos isin cos()isin()或 z2cos isin cos(2)isin(2) 考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一 (3)由“余弦前”知，不是三角形式 复平面上点 Z3(sin ，cos )在第二象限(假定为锐角)，需改变三角函数名称，可用诱导公 式“ 2”将辐角变换到第二象限 z3sin icos cos 2isin 2. 例 2 (1)已知 zC，|z|1，且 z21，则复数 z z21( ) A必为纯虚数 B是虚数但不一定是纯虚数 C必为实数 D可能是实数也可能是虚数 答案C 解析设
16、zcos isin R，且k 2 ， 则 z z21 cos isin cos 2isin 21 cos isin 2cos2i2sin cos 1 2cos R. (2)设5 4 ，则复数cos 2isin 2 cos isin 的辐角的主值为() A23B32C3D3 答案B 解析 cos 2isin 2 cos isin cos 2isin 2 cosisincos 3isin 3. 5 4 ， 3315 4 ， 3 20， 4m0， 解得 m2， 即实数 m 的取值范围为(，2) 13计算 1i 1i 2 021 1i 1i 2 021等于( ) A2iB0C2iD2 答案B 解析1i
17、 1i 1i1i 1i1i 2i 2 i， 1i 1i 1 i i， 1i 1i 2 021 1i 1i 2 021 i2 021(i)2 021 ii0. 14(多选)设 z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是() A若|z1z2|0，则 z 1 z 2 B若 z1 z 2，则 z 1z2 C若|z1|z2|，则 z1 z 1z2 z 2 D若|z1|z2|，则 z21z22 答案ABC 解析对于 A，若|z1z2|0，则 z1z20，z1z2， 所以 z 1 z 2为真； 对于 B，若 z1 z 2，则 z1和 z2互为共轭复数， 所以 z 1z2为真； 对于 C，设 z1a1b1i，z
18、2a2b2i，a1，b1，a2，b2R， 若|z1|z2|，则 a21b21 a22b22， 即 a21b21a22b22， 所以 z1 z 1a21b21a22b22z2 z 2， 所以 z1 z 1z2 z 2为真； 对于 D，若 z11，z2i， 则|z1|z2|，而 z211，z221， 所以 z21z 2 2为假故选 ABC. 15 (2021枣庄模拟)已知复数 zxyi(x， yR)， 且满足|z2|1， 则y x的取值范围是_ 答案 3 3 ， 3 3 解析复数 zxyi，且|z2|1， 所以(x2)2y21， 它表示圆心为(2,0)，半径为 1 的圆， 则y x表示圆上的点与原
19、点连线的斜率， 由题意设过点 O 且与圆相切的直线方程为 ykx，则 x22y21， ykx， 消去 y，整理得(k21)x24x30， 由1612(k21)0， 解得 k 3 3 或 k 3 3 ， 由题意得y x的取值范围是 3 3 ， 3 3 . 16(2020张家口调研)已知复数 z 满足 z234i，且 z 在复平面内对应的点位于第三象限 (1)求复数 z； (2)设 aR，且| 1z 1 z 2 021a|2，求实数 a 的值 解(1)设 zcdi(c0，d0)， 则 z2(cdi)2c2d22cdi34i， c2d23， 2cd4， 解得 c2， d1 或 c2， d1 (舍去) z2i. (2) z 2i， 1z 1 z 1i 1i 1i 1i 1i2 2 i， 1z 1 z 2 021i2 021i2 0201i50541i， |ai| a212，a 3.
