1、4.6解三角形解三角形 考试要求1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正 弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 1正弦定理、余弦定理 在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理 内容(1) a sin A b sin B c sin C2R (2)a2b2c22bccos A； b2c2a22cacos B； c2a2b22abcos C 变形 (3)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C； (4)sin A a 2R，sin B b 2R，sin
2、 C c 2R； (5)abcsin Asin Bsin C； (6)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin C csin A (7)cos Ab 2c2a2 2bc ； cos Bc 2a2b2 2ac ； cos Ca 2b2c2 2ab 2三角形常用面积公式 (1)S1 2ah a(ha表示边 a 上的高) (2)S1 2absin C 1 2acsin B 1 2bcsin A. (3)S1 2r(abc)(r 为三角形内切圆半径) 3测量中的几个有关术语 术语名称术语意义图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅 垂平面内)所成的角中，目标视线在水
3、平 视线上方的叫做仰角，目标视线在水平 视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到 目标方向线之间的夹角叫做方位角方 位角的范围是 0B 是 sin Asin B 的充要条件吗？ 提示在ABC 中，由 AB 可推出 sin Asin B，由 sin Asin B 也可推出 AB，故 AB 是 sin Asin B 的充要条件 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比() (2)当 b2c2a21a， 所以 B45或 B135. 故选 BC. 6在ABC 中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为
4、答案等腰三角形或直角三角形 解析由正弦定理，得 sin Acos Asin Bcos B， 即 sin 2Asin 2B， 所以 2A2B 或 2A2B， 即 AB 或 AB 2， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 题型一 利用正弦、余弦定理解三角形 例 1 在b2 2aca2c2；acos Bbsin A；sin Bcos B 2这三个条件中任选一个， 补充在下面的问题中，并解决该问题 已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，A 3，b 2，求ABC 的 面积 解(1)若选择b2 2aca2c2， 由余弦定理得 cos Ba 2c2b2 2ac 2ac 2ac 2
5、2 ， 因为 B(0，)，所以 B 4； 由正弦定理 a sin A b sin B， 得 absin A sin B 2sin 3 2 2 3， 因为 A 3，B 4， 所以 C 3 4 5 12， 所以 sin Csin 5 12sin 4 6 sin 4cos 6cos 4sin 6 6 2 4 ， 所以 SABC1 2absin C 1 2 3 2 6 2 4 3 3 4 . (2)若选择acos Bbsin A， 则 sin Acos Bsin Bsin A， 因为 sin A0，所以 sin Bcos B， 因为 B(0，)，所以 B 4； 由正弦定理 a sin A b sin
6、B， 得 absin A sin B 2sin 3 2 2 3， 因为 A 3，B 4， 所以 C 3 4 5 12， 所以 sin Csin 5 12sin 4 6 sin 4cos 6cos 4sin 6 6 2 4 ， 所以 SABC1 2absin C 1 2 3 2 6 2 4 3 3 4 . (3)若选择sin Bcos B 2， 则2sin B 4 2，所以 sin B 4 1， 因为 B(0，)，所以 B 4 4， 5 4 ， 所以 B 4 2，所以 B 4； 由正弦定理 a sin A b sin B， 得 absin A sin B 2sin 3 2 2 3， 因为 A 3
7、，B 4， 所以 C 3 4 5 12， 所以 sin Csin 5 12sin 4 6 sin 4cos 6cos 4sin 6 6 2 4 ， 所以 SABC1 2absin C 1 2 3 2 6 2 4 3 3 4 . 思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素， 基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求 得未知元素 (2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件 化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系 跟踪训练 1 (1)(2018全国)在ABC 中
8、，cos C 2 5 5 ，BC1，AC5，则 AB 等于() A4 2B. 30C. 29D2 5 答案A 解析cos C 2 5 5 ， cos C2cos2C 212 5 5 213 5. 在ABC 中，由余弦定理，得 AB2AC2BC22ACBCcos C5212251 3 5 32， AB 324 2. 故选 A. (2)(2020全国)在ABC 中，cos C2 3，AC4，BC3，则 tan B 等于( ) A. 5B2 5C4 5D8 5 答案C 解析由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos C42322432 39， 得 AB3，所以 ABBC. 过点 B 作 BDA
9、C，交 AC 于点 D，如图， 则 AD1 2AC2， BD 3222 5， 所以 tanABDAD BD 2 5 2 5 5 ， 所以 tanABC 2tanABD 1tan2ABD4 5. 题型二 正弦定理、余弦定理的应用 命题点 1判断三角形的形状 例 2 (1)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos Cccos Basin A，则 ABC 的形状为() A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形D不确定 答案B 解析由正弦定理得 sin Bcos Csin Ccos Bsin2A， sin(BC)sin2A， 即 sin(A)sin2A，sin Asin2A
10、. A(0，)，sin A0，sin A1， 即 A 2，ABC 为直角三角形 (2)(多选)已知 a，b，c 分别是ABC 三个内角 A，B，C 的对边，下列四个命题中正确的是 () A若 tan Atan Btan C0，则ABC 是锐角三角形 B若 acos Abcos B，则ABC 是等腰三角形 C若 bcos Cccos Bb，则ABC 是等腰三角形 D若 a cos A b cos B c cos C，则ABC 是等边三角形 答案ACD 解析tan Atan Btan Ctan Atan Btan C0， A，B，C 均为锐角，选项 A 正确； 由 acos Abcos B 及正弦
11、定理，可得 sin 2Asin 2B， AB 或 AB 2， ABC 是等腰三角形或直角三角形，选项 B 错； 由 bcos Cccos Bb 及正弦定理， 可知 sin Bcos Csin Ccos Bsin B， sin Asin B， AB，选项 C 正确； 由已知和正弦定理，易知 tan Atan Btan C， 选项 D 正确 命题点 2三角形面积的计算 例 3 (1)(2019全国)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 b6，a2c，B 3， 则ABC 的面积为 答案6 3 解析方法一因为 a2c， b6， B 3， 所以由余弦定理 b 2a2c22accos
12、B， 得 62(2c)2 c222cccos 3 ，得 c2 3，所以 a4 3，所以ABC 的面积 S1 2 acsin B 1 24 32 3sin 36 3. 方法二因为 a2c，b6，B 3，所以由余弦定理 b 2a2c22accos B，得 62(2c)2c2 22cccos 3，得 c2 3，所以 a4 3，所以 a 2b2c2，所以 A 2，所以ABC 的面 积 S1 22 366 3. (2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 A 6，a2，则ABC 面积的最大 值为 答案2 3 解析由余弦定理 a2b2c22bccos A， 得 4b2c22bc 3
13、2 2bc 3bc， 所以 bc4(2 3)， 所以 SABC1 2bcsin A2 3， 故ABC 面积的最大值为 2 3. 思维升华 (1)判断三角形形状的方法 化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系 化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用 ABC这个结论 (2)三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化 跟踪训练 2 (1)在ABC 中，cos2B 2 ac 2c (a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边)，则ABC 的形 状为() A等边三角形B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形 答案B 解析cos2B 2 1cos
14、 B 2 ，cos2B 2 ac 2c ， (1cos B)cac，acos Bca 2c2b2 2a ， 2a2a2c2b2，a2b2c2， ABC 为直角三角形 (2)(2018全国)ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC 的面积为 答案 2 3 3 解析由 bsin Ccsin B4asin Bsin C， 得 sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C， 因为 sin Bsin C0，所以 sin A1 2. 因为 b2c2a28，所以 cos Ab 2
15、c2a2 2bc 0， 所以 bc8 3 3 ， 所以 SABC1 2 8 3 3 1 2 2 3 3 . 题型三 解三角形应用举例 命题点 1测量距离问题 例 4 (2020宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘 密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口 径(即 A，B 两点间的距离)，现取两点 C，D，测得 CD80，ADB135，BDCDCA 15，ACB120，则图中海洋蓝洞的口径为 答案80 5 解析由已知得，在ADC 中，ACD15，ADC150，所以DAC15， 由正弦定理得 AC80sin 150 sin
16、 15 40 6 2 4 40( 6 2) 在BCD 中，BDC15，BCD135， 所以DBC30， 由正弦定理 CD sinCBD BC sinBDC， 得 BCCDsinBDC sinCBD 80sin 15 1 2 160sin 1540( 6 2) 在ABC 中，由余弦定理，得 AB21 600(84 3)1 600(84 3)21 600( 6 2)( 6 2)1 21 600161 60041 6002032 000， 解得 AB80 5，故图中海洋蓝洞的口径为 80 5. 命题点 2测量高度问题 例 5 (2021长春质检)海岛算经是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自
17、其中 的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前 表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目 着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆 BC 和 DE，两标杆之间的距离 BD1 000 步，两标杆的底端与海岛的底端 H 在同一直线上， 从前面的标杆 B 处后退 123 步，人眼贴地面，从地上 F 处仰望岛峰，A，C，F 三点共线，从 后面的标杆 D 处后退 127 步，人眼贴地面，从地上 G 处仰望岛峰，A，E，G 三点也共线， 则海岛的高为(注：1 步6 尺，1 里180 丈1
18、 800 尺300 步)() A1 255 步B1 250 步 C1 230 步D1 200 步 答案A 解 析因 为 AHBC ， 所 以 BCFHAF ， 所 以 BF HF BC AH . 因 为 AHDE ， 所 以 DEGHAG，所以DG HG DE AH.又 BCDE，所以 BF HF DG HG，即 123 123HB 127 1271 000HB， 所以 HB30 750 步，又BF HF BC AH， 所以 AH530 750123 123 1 255(步)故选 A. 命题点 3测量角度问题 例 6 已知岛 A 南偏西 38方向，距岛 A 3 海里的 B 处有一艘缉私艇岛 A
19、 处的一艘走私船正 以 10 海里/小时的速度向岛北偏西 22方向行驶， 问缉私艇朝何方向以多大速度行驶， 恰好用 0.5 小时能截住该走私船？ 参考数据：sin 385 3 14 ，sin 223 3 14 解如图，设缉私艇在 C 处截住走私船，D 为岛 A 正南方向上一点，缉私艇的速度为 x 海里/小时，结合题意知 BC0.5x，AC5，BAC1803822120. 由余弦定理可得 BC2AB2AC22ABACcos 120， 所以 BC249， 所以 BC0.5x7， 解得 x14. 又由正弦定理得 sinABCACsinBAC BC 5 3 2 7 5 3 14 ， 所以ABC38，
20、又BAD38，所以 BCAD， 故缉私艇以 14 海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用 0.5 小时截住该走私船 素养提升数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包 括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具 体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征从实际问题中抽象 出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽 象的数学素养 跟踪训练 3 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B
21、 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角 为 30，则此山的高度 CDm. 答案100 6 解析由题意，在ABC 中，BAC30，ABC18075105，故ACB45. 又 AB600 m，故由正弦定理得 600 sin 45 BC sin 30， 解得 BC300 2 m. 在 RtBCD 中，CDBCtan 30300 2 3 3 100 6 (m) 课时精练课时精练 1(2021安庆模拟)若ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 bsin 2Aasin B， 且 c2b，则a b等于( ) A.3 2 B.4 3 C. 2D. 3 答案D 解析由 bsin 2A
22、asin B， 得 2sin Bsin Acos Asin Asin B，得 cos A1 2. 又 c2b，由余弦定理得 a2b2c22bccos Ab24b24b21 23b 2， 得a b 3. 2(2020唐山模拟)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a2，b3，c4， 设 AB 边上的高为 h，则 h 等于() A. 15 2 B. 11 2 C.3 15 4 D.3 15 8 答案D 解析由余弦定理， 得 cos Ab 2c2a2 2bc 9164 234 21 24 7 8， 则 sin A 1cos 2A 149 64 15 64 15 8 ， 则 hACs
23、in Absin A3 15 8 3 15 8 ，故选 D. 3 (2021合肥模拟)在ABC 中， A60， AB2， 且ABC 的面积为 3 2 ， 则 BC 的长为() A. 3 2 B. 3 C2 3D2 答案B 解析因为 S1 2ABACsin A 1 22 3 2 AC 3 2 ， 所以 AC1， 所以 BC2AB2AC22ABACcos A3. 所以 BC 3. 4(2019全国)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asin Absin B4csin C，cos A1 4，则 b c等于( ) A6B5C4D3 答案A 解析asin Absin B4csi
24、n C， 由正弦定理得 a2b24c2， 即 a24c2b2. 由余弦定理得 cos Ab 2c2a2 2bc b 2c24c2b2 2bc 3c 2 2bc 1 4， b c6. 5(多选)某人向正东走了 x km 后向右转了 150，然后沿新方向走 3 km，结果离出发点恰好 3 km，那么 x 的值是() A. 3B2 3C3D6 答案AB 解析如图，ABx，BC3，AC 3，ABC30. 由余弦定理得 3x2923xcos 30. 解得 x23或 x 3， 故选 AB. 6(多选)对于ABC，有如下判断，其中正确的判断是() A若 cos Acos B，则ABC 为等腰三角形 B若AB
25、C 为锐角三角形，有 AB 2，则 sin Acos B C若 a8，c10，B60，则符合条件的ABC 有两个 D若 sin2Asin2B 2，则 2A 2B0，sin Acos B，故正确； 对于 C，由余弦定理可得 b8210228101 2 84，只有一解，故错误； 对于 D，若 sin2Asin2Bsin2C， 则根据正弦定理得 a2b2c2，cos Ca 2b2c2 2ab 0， C 为钝角，ABC 是钝角三角形，故正确； 综上，正确的判断为 ABD. 7 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.若 a 7， b2， A60， 则 c. 答案3 解析由余
26、弦定理，得 a2b2c22bccos A， c22c30，解得 c3(c1 舍去) 8(2020西安质检)在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 cos B1 3，b 4，SABC4 2，则ABC 的周长为 答案4 34 解析由 cos B1 3，得 sin B 2 2 3 ，由三角形面积公式可得 1 2acsin B 1 2ac 2 2 3 4 2，则 ac 12， 由 b2a2c22accos B，可得 16a2c22121 3，则 a 2c224， 联立可得 ac2 3， 所以ABC 的周长为 4 34. 9在ABC 中，C60，且 a sin A2，则ABC
27、的面积 S 的最大值为 答案 3 3 4 解析由 C60及 c sin C a sin A2，可得 c 3. 由余弦定理得 3b2a2abab(当且仅当 ab 时取等号)， S1 2absin C 1 23 3 2 3 3 4 ， ABC 的面积 S 的最大值为3 3 4 . 10.如图，在ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，ADAC，sinBAC2 2 3 ，AB3 2，AD3， 则 BD 的长为 答案3 解析因为 sinBAC2 2 3 ，且 ADAC， 所以 sin 2BAD2 2 3 ， 所以 cosBAD2 2 3 ，在BAD 中，由余弦定理， 得 BD AB2AD22ABADc
28、osBAD3 223223 232 2 3 3. 11在(ac)(sin Asin C)b(sin Asin B)；2ccos Cacos Bbcos A；ABC 的面积 为 1 2c(asin Absin Bcsin C)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答 已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 (1)求角 C； (2)若 D 为 AB 的中点，且 c2，CD 3，求 a，b 的值 解(1)选择， 根据正弦定理得(ac)(ac)b(ab)， 整理得 a2c2abb2，即 a2b2c2ab， 所以 cos Ca 2b2c2 2ab 1 2. 因为 C(
29、0，)，所以 C 3. 选择， 根据正弦定理有 sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos C， 所以 sin(AB)2sin Ccos C，即 sin C2sin Ccos C. 因为 C(0，)，所以 sin C0，从而有 cos C1 2， 故 C 3. 选择， 因为 1 2casin B 1 2c(asin Absin Bcsin C)， 所以 asin Basin Absin Bcsin C，即 aba2b2c2， 由余弦定理，得 cos Ca 2b2c2 2ab ab 2ab 1 2， 又因为 C(0，)，所以 C 3. (2)在ACD 中， AC2AD2CD22A
30、DCDcosADC， 即 b2132 3cosADC. 在BCD 中， BC2BD2CD22BDCDcosBDC， 即 a2132 3cosBDC. 因为ADCBDC， 所以 cosADCcosBDC， 所以 a2b28. 由 C 3及 c2，得 a 2b24ab，所以 ab4， 从而 a2b22ab0，所以 ab2. 12(2019全国)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asin AC 2 bsin A. (1)求 B； (2)若ABC 为锐角三角形，且 c1，求ABC 面积的取值范围 解(1)由题设及正弦定理得 sin Asin AC 2 sin Bsin A.
31、因为 sin A0，所以 sin AC 2 sin B. 由 ABC180，可得 sin AC 2 cos B 2， 故 cos B 22sin B 2cos B 2. 因为 cos B 20，所以 sin B 2 1 2，所以 B60. (2)由题设及(1)知ABC 的面积 SABC 3 4 a. 由(1)知 AC120， 由正弦定理得 acsin A sin C sin120C sin C 3 2tan C 1 2. 由于ABC 为锐角三角形，故 0A90，0C90. 结合 AC120，得 30C90， 所以1 2a2，从而 3 8 SABC 3 2 . 因此，ABC 面积的取值范围是 3
32、 8 ， 3 2 . 13.济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征李明 同学想测量泉标的高度，于是他在广场的 A 点测得泉标顶端的仰角为 60，他又沿着泉标底 部方向前进 15.2 m， 到达 B 点， 又测得泉标顶部仰角为 80.则李明同学求出泉标的高度为(sin 200.342 0，sin 800.984 8，结果精确到 1 m)() A38 mB50 mC66 mD72 m 答案A 解析如图所示，点 C，D 分别为泉标的底部和顶端 依题意，BAD60，CBD80，AB15.2 m， 则ABD100，故ADB180(60100)20. 在ABD 中，根据正
33、弦定理， BD sin 60 AB sinADB. BDABsin 60 sin 20 15.2sin 60 sin 20 38.5(m) 在 RtBCD 中，CDBDsin 8038.5sin 8038(m)， 即泉城广场上泉标的高约为 38 m. 14(2020济南模拟)已知 a，b，c 分别为ABC 的内角 A，B，C 的对边，(3ba)cos Cccos A，c 是 a，b 的等比中项，且ABC 的面积为 3 2，则 ab，ab. 答案933 解析(3ba)cos Cccos A，利用正弦定理可得 3sin Bcos Csin Acos Csin Ccos A sin(AC)sin B
34、又sin B0，cos C1 3，C 为锐角，sin C 2 2 3 .由ABC 的面积为 3 2，可得 1 2absin C3 2，ab9.由 c 是 a，b 的等比中项可得 c 2ab，由余弦定理可得 c2a2b22abcos C，(ab)211 3 ab33， ab 33. 15已知ABC 中，AC 2，BC 6，ABC 的面积为 3 2 ，若线段 BA 的延长线上存在点 D，使BDC 4，则 CD . 答案3 解 析因 为 AC 2 ， BC 6 ， ABC 的 面 积 为 3 2 1 2 ACBCsinACB 1 2 2 6sinACB，所以 sinACB 1 2， 所以ACB 6或
35、 5 6 ， 若ACB5 6 ，则BDC 4 4 5 6 ，与三角形内角和定理矛盾，所以ACB 6， 所以在ABC 中，由余弦定理得 AB AC2BC22ACBCcosACB262 2 6 3 2 2， 所以 ABAC，所以 B 6， 所以在BDC 中，由正弦定理可得 CD BCsin B sinBDC 61 2 2 2 3. 16.如图所示，经过村庄 A 有两条夹角为 60的公路 AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的 区域建一工厂 P，分别在两条公路边上建两个仓库 M，N(异于村庄 A)，要求 PMPNMN 2(单位：千米)如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最
36、 远)? 解设AMN，在AMN 中， MN sin 60 AM sin120. 因为 MN2，所以 AM4 3 3 sin(120) 在APM 中，cosAMPcos(60) AP2AM2MP22AMMPcosAMP 16 3 sin2(120)4224 3 3 sin(120)cos(60) 16 3 sin2(60)16 3 3 sin(60)cos(60)4 8 31cos(2120) 8 3 3 sin(2120)4 8 3 3sin(2120)cos(2120) 20 3 20 3 16 3 sin(2150)，0120. 当且仅当 2150270， 即60时，AP2取得最大值 12， 即 AP 取得最大值 2 3.所以设计AMN60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小
