1、大一轮复习讲义 第八章解析几何 8.4直线与圆、圆与圆的位置关系 考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 内容 索引 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 位置关系相交相切 相离 公共点个数 个 个 个 判定 方法 几何法：设圆心到直线的距离d d rd r d r 代数法：由 消元得到一元二次方程根的判别式 0 0 0 1.直线直线AxByC0与圆与圆(xa)2(yb)2r2(r
2、0)的位置关系的判断的位置关系的判断 知识梳理 210 _d_ |r1r2|d _ d_ (r1r2) 0d|r1r2| (r1r2) r1r2r1r2 r1r2 |r1r2| (2)代数法 通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. 相交 内切或外切 内含或外离 1.过一点圆的切线有几条？ 微思考 提示应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切 线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条. 2.用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置 关系？ 提示不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两 种可能情况，当方程组无解时，两圆
3、有外离和内含两种可能情况. 3.当两圆相交时，怎样求两圆公共弦所在直线的方程？ 提示两圆方程相减得到的直线方程即为两圆公共弦所在的直线的方程. 题组一思考辨析题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号内打“”或“”) (1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.() (2)若两圆相切，则有且只有一条公切线.() (3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或 相切.() (4)过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0 xy0yr2.() 基础自测 题组二教材改编题组二教材改编 2.直线yx1与圆x2y21的位置关系为 A.相切 B.相交但直线不过圆
4、心 C.直线过圆心 D.相离 3.直线l：3xy60与圆x2y22x4y0相交于A，B两点，则AB _. 4.两圆x2y22y0与x2y240的位置关系是_. 内切 题组三易错自纠题组三易错自纠 5.(多选)直线xym0与圆x2y22x10有两个不同交点的一个 充分不必要条件是 A.0m1 B.1m0 C.m1 D.3m0，得3m1. m|0m1m|3m1，m|1m0m|3m1， 0m1和1m0)上恒有4个点到直线l：xy20的距离为1， 则实数r的取值范围是 直线l：xy20与圆相交， l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1， 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关
5、系. (2)代数法：联立方程之后利用判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与 圆相交. 思维升华 跟踪训练1(1)已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1 与圆O的位置关系是 A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 解析因为M(a，b)在圆O：x2y21外， 所以a2b21，而圆心O到直线axby1的距离 所以直线与圆相交. (2)(2021安徽江淮十校联考)已知直线l：xcos ysin 1(R)与圆C： x2y2r2(r0)相交，则r的取值范围是 A.0r1 B.0r1 故r1. 命题点1切线问题 例2(1)(2020银川模拟)与3x4y
6、0垂直，且与圆(x1)2y24相切 的一条直线是 A.4x3y6 B.4x3y6 C.4x3y6 D.4x3y6 题型二圆的切线、弦长问题 多维探究 解析设与直线3x4y0垂直的直线方程为l：4x3ym0， 直线l与圆(x1)2y24相切，则圆心(1,0)到直线l的距离为半径2， 所以m6或m14，所以4x3y60，或4x3y140， 结合选项可知B正确. (2)(2019浙江)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2xy 30与圆C相切于点A(2，1)，则m_，r_. 2 解析方法一设过点A(2，1)且与直线2xy30垂直的直线方 程为l：x2yt0， 所以22t0，所以t4，所
7、以l：x2y40， 令x0，得m2， 方法二因为直线2xy30与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点 为A(2，1)， 命题点2弦长问题 例3(1)(多选)已知圆M的一般方程为x2y28x6y0，则下列说法 中正确的是 A.圆M的圆心为(4，3) B.圆M被x轴截得的弦长为8 C.过原点的最短弦长为8 D.圆M被y轴截得的弦长为6 解析圆M的一般方程为x2y28x6y0， 则(x4)2(y3)225. 圆的圆心坐标为(4，3)，半径为5. 过原点的最短弦长为6，选项C不正确. ABD均正确. (2)过点P(0,2)引一条直线l交圆(x1)2y24于A，B两点，若AB2 ， 则直线l的方程为_.
8、x0或3x4y80 解析当直线l的斜率不存在时，其方程为x0， 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为ykx2，即kxy20. 如图，设圆心为C，点D是弦AB的中点，连结CD，AC， 则CDAB. 在RtADC中，ADC90，ACr2， 这时直线l的方程为3x4y80. 故所求直线方程为x0或3x4y80. (1)判断直线与圆的位置关系常用几何法. (2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半 径构成直角三角形. (3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关 系解决问题. 思维升华 跟踪训练2(1)已知过原点的直线l与圆C：x2y26x50相交于不
9、 同的两点A，B，且线段AB的中点坐标为D(2， )，则弦长为 A.2 B.3 C.4 D.5 解析将圆C：x2y26x50整理， 得其标准方程为(x3)2y24， 所以圆C的圆心坐标为(3,0)，半径为2. (2)过直线y2x3上的点作圆C：x2y24x6y120的切线，则 切线长的最小值为 解析圆的方程可化为(x2)2(y3)21， 要使切线长最小，只需直线y2x3上的点和圆心之间的距离最短， 此最小值即为圆心(2，3)到直线y2x3的距离d， (3)过点(2,0)引直线l与圆x2y22相交于A，B两点，O为坐标原点，当 AOB面积取最大值时，直线l的斜率为_. 解析由题意可得，直线l的斜
10、率存在，设直线l的斜率为k， 则直线l的方程为yk(x2)，即kxy2k0， 当AOB面积取最大值时，OAOB，此时圆心O到直线的距离为d1， 例4已知两圆x2y22x6y10和x2y210 x12ym0.求： (1)m取何值时两圆外切？ 题型三圆与圆的位置关系 师生共研 解两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m， 圆心分别为M(1,3)，N(5,6)， (2)求m45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解两圆的公共弦所在直线的方程为(x2y22x6y1)(x2y2 10 x12y45)0，即4x3y230. 由圆的半径、弦长、弦心距间的关系， (1)
11、判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两 圆半径之间的关系，一般不采用代数法. (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x2，y2项得到. 思维升华 跟踪训练3(1)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段 的长度是2 ，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是 A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 解析由题意得圆M的标准方程为x2(ya)2a2， 圆M，圆N的圆心距MN 小于两圆半径之和12， 大于两圆半径之差1，故两圆相交. (2)若圆x2y2a2与圆x2y2ay60的公共弦长为2 ，则a_. 解析两圆方程作差得公共弦
12、所在直线方程为a2ay60. a24，a2. 2 阿波罗尼斯圆拓展视野 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在平面轨迹一 书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果： 到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆. 如图，点A，B为两定点，动点P满足PAPB. 则1时，动点P的轨迹为直线；当0且1时， 动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆. 证明：证明：设AB2m(m0)，PAPB，以AB的中点为原点，直线AB为 x轴建立平面直角坐标系， 则A(m,0)，B(m,0). 又设P(x，y)， 两边平方并化简整理得(21)x22m(21)x(21)y2m2(12
13、). 当1时，x0，轨迹为线段AB的垂直平分线； 上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理. 例1在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0)，B(3,0)，C(0，a)，D(0，a 2)，若存在点P，使得PA PB，PCPD，则实数a的取值范围是 _. 整理得(x5)2y28， 另一方面，由PCPD知动点P在线段CD的垂直平分线ya1上运动， 因而问题就转化为直线ya1与圆(x5)2y28有交点. 例2如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点 A(0,3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心 在l上. (1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线， 求切线的方程； 切线的斜率存在，
14、设切线方程为ykx3. 故所求切线方程为y3或3x4y120. (2)若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围. 解设点M(x，y)，由MA2MO， 化简得x2(y1)24. 即点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆， 可记为圆D. 又因为点M也在圆C上，故圆C与圆D的关系为相交或相切. 故1CD3， KESHIJINGLIAN3 课时精练 1.直线l：mxy1m0与圆C：x2(y1)25的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 12345678910 11 12 13 14 15 16 基础保分练 解析方法一由题意知， 12345678910 11 1
15、2 13 14 15 16 方法二直线l：mxy1m0过定点(1,1)， 因为点(1,1)在圆x2(y1)25的内部， 所以直线l与圆相交. 2.圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是 A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r11， 圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r22， 而r2r11，r1r23，则有r2r1d15，故15a0)上存在点P，且点P关于直线xy0的对称点Q在圆C2：(x2)2 (y1)21上，则r的取值范围是_. 解析圆C1关于直线xy0对称的圆C3的
16、方程为(x1)2y2r2(r0)， 则圆C3与圆C2存在公共点， 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 15.已知直线l：xy10截圆：x2y2r2(r0)所得的弦长为 ，点 M，N在圆上，且直线l：(12m)x(m1)y3m0过定点P，若 PMPN，则MN的取值范围为 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为直线l：(12m)x(m1)y3m0过定点P，故P(1,1)； 设MN的中点为Q(x，y)， 则OM2OQ2MQ2OQ2PQ2， 即4x2y2(x1)2(y1)2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12
17、345678910 11 12 13 14 15 16 16.已知圆C经过(2,4)，(1,3)两点，圆心C在直线xy10上，过点 A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C相交于M，N两点. (1)求圆C的方程； 解设圆C的方程为(xa)2(yb)2r2， 圆C的方程为(x2)2(y3)21. 12345678910 11 12 13 14 15 16 过点A(0,1)作直线AT与圆C相切，切点为T， 易得AT27， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解依题意可知，直线l的方程为ykx1， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将ykx1代入(x2)2(y3)21， 并整理，得(1k2)x24(1k)x70， 又当k1时，0，k1，直线l的方程为yx1. 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
