1、大一轮复习讲义 2.5对数与对数函数 第二章函数概念与基本初等函数 考试要求 1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化 成自然对数或常用对数. 2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画 具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. 3.了解指数函数yax与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数. 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心探究核心探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 1.对数的概念对数的概念 一般地，如果a(a0，a1)的b次幂等于N，即a
2、bN，那么称b是以a为 底N的对数，记作blogaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数. 以 为底的对数叫做常用对数，记作lg N. 以 为底的对数叫做自然对数，记作ln N. 知识梳理 10 e 2.对数的性质与运算性质对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1 ，logaa ， N(a0，且a1，N0). (2)对数的运算性质 如果a0，且a1，M0，N0，那么： loga(MN) ； loga ； logaMn (nR). (3)换底公式：logab (a0，且a1，b0，c0，且c1). logaN a01 logaMlogaN logaMlogaN nlogaM 3.对数函
3、数的图象与性质对数函数的图象与性质 ylogaxa10a1时， ； 当0 x1时， ； 当0 x0 y0 y0 增函数减函数 R 4.反函数反函数 指数函数yax(a0且a1)与对数函数 (a0且a1)互为反函数， 它们的图象关于直线 对称. yx ylogax 1.根据对数的换底公式，说出logab与logba， 与logab的关系？ 提示logablogba1， logab. 2.如图给出4个对数函数的图象.比较a，b，c，d与1的大小关系. 提示0cd1a0，则loga(MN)logaMlogaN.() (2)对数函数ylogax(a0，且a1)在(0，)上是增函数.() (3)函数yl
4、oga 与函数yln(1x)ln(1x)是同一个函数.() (4)对数函数ylogax(a0，且a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)， .() 基础自测 题组二教材改编题组二教材改编 2.设函数f(x)3x9x，则f(log32)_.6 解析函数f(x)3x9x， f(log32) 2 246. 3 log 2 3 3 log 2 9 9 log 4 9 3.已知f(x)是不恒为0的函数，定义域为D，对任意xD，nN*，都有 nf(x)f(xn)成立，则f(x)_.(写出满足条件的一个f(x)即可) 解析运算符合对数函数的运算法则， 如f(x)log2x，nf(x)nlog2xlog
5、2xnf(xn)，可以填写f(x)log2x. log2x 4.函数y 的定义域是_. 2 3 log (21)x 解析由 0，得00，log5ba，lg bc,5d10，则下列等式一定成立的是 A.dac B.acd C.cad D.dac 6.计算：(log29)(log34)_.4 TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究 题型一对数式的运算 师生共研 例1(1)(2020全国)设alog342，则4a等于 解析方法一因为alog342， 所以log34a2， 所以4a329， 方法二因为alog342， 4 log 9 4 1 4 log 9 4 (2)计算：l
6、g 25lg 50lg 2lg 500(lg 2)2_.4 解析原式2lg 5lg(510)lg 2lg(5102)(lg 2)2 2lg 5lg 51lg 2(lg 52)(lg 2)2 3lg 51lg 2lg 52lg 2(lg 2)2 3lg 52lg 21lg 2(lg 5lg 2) 3lg 52lg 21lg 2 3(lg 5lg 2)1 4. 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. (2)将同底对数的和、差、倍合并. (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公 式的正用、逆用及变形应用. (4)利用常用对数中的lg 2lg
7、 51. 思维升华 解析2a5bm， log2ma，log5mb， 1 2 2log2 2 2 1 2 log ( 2) 1 2 log 2 log51251log5531312. 例2(1)已知函数f(x)loga(2xb1)(a0，且a1)的图象如图所示， 则a，b满足的关系是 A.0a1b1 B.0ba11 C.0b1a1 D.0a1b11. 函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)， 题型二对数函数的图象及应用 师生共研 (2)若方程4xlogax在 上有解，则实数a的取值范围为_. 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊
8、点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数 形结合法求解. 思维升华 跟踪训练2(1)函数f(x)loga|x|1(0a0时，g(x)的图象， 然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x1. (1，) 命题点1比较指数式、对数式的大小 例3(1)设alog3e，be1.5，c ，则 A.bac B.cab C.cba D.aclog3ea. 又clog342， acb. 1 3 1 log 4 (2)若实数a，b，c满足loga2logb2logc20，则下列关系中正确的是 A.abc B.bac C.cba
9、D.acb 解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得 即log2clog2blog2a0， 可得cbaf(a)，则实数a的取值范围是 A.(1,0)(0,1) B.(，1)(1，) C.(1,0)(1，) D.(，1)(0,1) 2 1 2 log,0, log (),0. x x xx 21 2 0, loglog a aa 解析由题意得 或 12 2 0, log ()log (), a aa 解得a1或1a0，且a1)，若f(x)1在区 间1,2上恒成立，则实数a的取值范围是_. 解析当a1时，f(x)loga(8ax)在1,2上单调递减， 由f(x)1在区间1,2上恒成立， 则f(x)
10、minf(2)loga(82a)1，且82a0， 当0a1在区间1,2上恒成立， 知f(x)minf(1)loga(8a)1，且82a0. 解得a， (2)已知函数f(x)|log2x|，实数a，b满足0ab，且f(a)f(b)，若f(x)在a2， b上的最大值为2，则 b_. 4 解析f(x)|log2x|，f(x)的图象如图所示， 又f(a)f(b)且0ab， 0a1且ab1， a2a，由图知， f(x)maxf(a2)|log2a2|2log2a2， KESHIJINGLIAN3 课时精练 12345678910 11 12 13 14 15 16 基础保分练 1.(2019全国)已知a
11、log20.2，b20.2，c0.20.3，则 A.abc B.acb C.cab D.bca 解析alog20.21，c0.20.3(0,1)，ac0，且a1)的反函数且f(2)1，则f(x)等于 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析函数yax(a0，且a1)的反函数是f(x)logax， 又f(2)1，即loga21， 所以a2. 故f(x)log2x. 1 2 log x 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.若函数f(x)loga(xb)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x) axb的图象大致是 解析由f(x)的图象可知0
12、a1,0b0且a1，b1，若logab1，则 A.(a1)(ab)0 C.(b1)(ba)0 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析当a1时，logab1logaa， ba，ba1， (a1)(ab)0. 当0a1logaa，ba， 0ba1，b10，ba0. 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知函数f(x)log2(1|x|)，则关于函数f(x)有下列说法，其中正 确的说法为 A.f(x)的图象关于原点对称 B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的最大值为0 D.f(x)在区间(1,1)上单调递增 12345678910
13、 11 12 13 14 15 16 解析f(x)log2(1|x|)为偶函数，不是奇函数， A错误，B正确； 根据f(x)的图象(图略)可知D错误； 1|x|1，f(x)log210，故C正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 0 110. 2 2 2 log3 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.已知函数yloga(x3)1的图象恒过定点P，则点P的坐标是_. (4，1) 解析令x31，则x4， yloga111， 故点P坐标为(4，1). 12345678910 11 12 13 14 15 16 2 log(2 )x 10.若函数
14、f(x)loga(x2x2)在区间0,2上的最大值为2，则实数a_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 2 解析令u(x)x2x2，则u(x)在0,2上的最大值u(x)max4，最小值 u(x)min . 故a2. 当a1时，ylogau是增函数，f(x)maxloga42，得a2； 12345678910 11 12 13 14 15 16 11.设f(x)loga(1x)loga(3x)(a0，且a1)，且f(1)2. (1)求实数a的值及f(x)的定义域； 解f(1)2，loga42(a0，且a1)， a2. 函数f(x)的定义域为(1,3). 12345678
15、910 11 12 13 14 15 16 解f(x)log2(1x)log2(3x) log2(1x)(3x)log2(x1)24， 当x0,1时，f(x)单调递增； 12.(2020合肥调研)已知函数f(x)log2 . (1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)0， log2(1a)0，a0. 经验证当a0时，f(x)x是R上的奇函数. a0. (2)若函数f(x)在区间0,1上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的 取值范围. 12345678910 11 12 13 14 1
16、5 16 解由已知得函数f(x)是减函数， 故f(x)在区间0,1上的最大值是f(0)log2(1a)， 则log2(1a)log2(4a2). 12345678910 11 12 13 14 15 16 技能提升练 13.(多选)已知函数f(x)ln xln(2x)，则 A.f(x)在(0,2)上单调递增 B.f(x)在(0,2)上的最大值为0 C.f(x)的图象关于直线x1对称 D.f(x)的图象关于点(1,0)对称 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析f(x)ln xln(2x)，定义域为(0,2)， f(x)lnx(2x)ln(x22x)， 令tx22x，y
17、ln t， tx22x，x(0,2)，在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减， f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，故A不正确； f(x)maxf(1)0，故B正确； f(1x)ln(1x)ln(1x)， f(1x)ln(1x)ln(1x)， f(1x)f(1x)， f(x)的图象关于直线x1对称，故C正确，D不正确. 14.设实数a，b是关于x的方程|lg x|c的两个不同实数根，且ab10， 则abc的取值范围是_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (0,1) 解析由题意知，在(0,10)上，函数y|lg x|的图象和直线yc有两个不
18、 同交点(如图)， ab1,0clg 101，abc的取值范围是(0,1). 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 15.设alog0.20.3，blog20.3，则 A.abab0 B.abab0 C.ab0ab D.ab0log0.210， blog20.3log210，ablog0.30.4log0.310， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解函数f(x)loga(axt2)(a0，且a1)是“半保值函数”，且定义域 为R. 当a1时，zaxt2在R上单调递增，ylogaz在(0，)上单调递增， 可得f(x)为R上的增函数； 当0a0，且t20， 12345678910 11 12 13 14 15 16 令u ，u0， 2 x a 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
