1、大一轮复习讲义 第二章2.2函数的基本性质 第2课时奇偶性、对称性与周期性 例1判断下列函数的奇偶性： 题型一函数奇偶性的判定 师生共研 因此f(x)f(x)且f(x)f(x)， 所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数. 函数f(x)为奇函数. 解显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称 当x0， 则f(x)(x)2xx2xf(x)； 当x0时，x0， 则f(x)(x)2xx2xf(x)； 综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立， 函数f(x)为奇函数 解显然函数f(x)的定义域为R， 故f(x)为奇函数. 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关
2、于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以 首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转 化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x) 0(偶函数)是否成立. 思维升华 解析由函数奇偶性定义知，A中函数为奇函数， B中函数为奇函数， C中函数为非奇非偶函数， D中函数为偶函数. (2)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则 下列结论正确的是 A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)g(x)|是奇函数 C.|f(x)|g(x)是偶函数D.f(|x|)g(x)是奇函
3、数 解析令F1(x)f(x)g(x)， F1(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F1(x)， F1(x)为奇函数，故A错误； 令F2(x)|f(x)g(x)|， F2(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)| |f(x)g(x)|F2(x)， 故F2(x)为偶函数，故B错误； 令F3(x)|f(x)|g(x)， F3(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)F3(x)， F3(x)为偶函数，故C正确； 令F4(x)f(|x|)g(x)， F4(x)f(|x|)g(x)f(|x|)g(x)F4(x)， F4(x)为偶函数，故D错误. 题型二函数奇偶性的应用 多维探究 命题点1利用奇偶性求
4、参数的值 解析方法一(定义法)f(x)为偶函数， f(x)f(x)， 方法二(特值法)f(x)为偶函数， f(1)f(1)， 又f(1)a2，f(1)a1， 命题点2利用奇偶性求解析式 例3(2019全国)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0 时，f(x)等于 A.ex1 B.ex1 C.ex1 D.ex1 解析当x0， 当x0时，f(x)ex1， f(x)ex1. 又f(x)为奇函数， f(x)f(x)ex1. 命题点3利用奇偶性求函数值 例4已知函数f(x)ax3bx52.若f(x)在区间t，t上的最大值为M， 最小值为m，则Mm_. 解析令g(x)ax3bx5， 则g
5、(x)为奇函数， 当xt，t时，g(x)maxg(x)min0， 又f(x)g(x)2， Mg(x)max2，mg(x)min2， Mmg(x)max2g(x)min24. 4 利用函数奇偶性可以解决以下问题 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值. (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇 偶性的定义求出. (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于 参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值. (4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象. (5)求特殊值：利用奇
6、函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函 数值. 思维升华 跟踪训练2(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x) 2xxb，则f(1)的值为 A.b3 B.b3 C.2 D.2 解析f(x)为R上的奇函数，f(0)0， 即200b0，b1， f(1)f(1)(211b)2. (2)已知函数f(x)asin xbtan x1，若f(a)2，则f(a)_. 解析令g(x)asin xbtan x， 则g(x)为奇函数，且f(x)g(x)1， f(a)g(a)12，g(a)3， f(a)g(a)1g(a)14. 4 题型三函数的周期性、对称性 多维探究 命题点1函数的周
7、期性 解析因为f(x2)f(x)，所以f(x)的周期为2. 解析f(x)f(x2)， f(x)的周期为4，f(2 020)f(0)f(2)(22log22)5. 函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0). 思维升华 (4)若f(xa)f(x)c，则T2a(a0，c为常数). 命题点2函数的对称性 例6(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2x)f(2x)， 且f(x)f(x)，则下列结论正确的是 A.f(x)的图象关于x2对称 B.f(x)的图象关于(2,0)对称 C.f(x)的最小正周期为4 D.yf(x4)为偶函
8、数 解析f(2x)f(2x)，则f(x)的图象关于x2对称，故A正确，B 错误； 函数f(x)的图象关于x2对称，则f(x)f(x4)，又f(x)f(x)， f(x4)f(x)，T4，故C正确； T4且f(x)为偶函数，故yf(x4)为偶函数，故D正确. 对称性的三个常用结论 思维升华 (1)若函数f(x)满足f(ax)f(bx)，则yf(x)的图象关于直线x 对称. (2)若函数f(x)满足f(ax)f(bx)，则yf(x)的图象关于点 对称. (3)若函数f(x)满足f(ax)f(bx)c，则函数f(x)的图象关于点 对称. 跟踪训练3(1)设定义在R上的函数f(x)满足f(x3)f(x)
9、，且当x0,3) 时，f(x)2xx21，则f(0)f(1)f(2)f(2 021)_.2 696 解析f(x3)f(x)，T3， 又x0,3)时，f(x)2xx21， f(0)1，f(1)2，f(2)1， f(0)f(1)f(2)1214， f(0)f(1)f(2)f(2 021) 67442 696. (2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，其图象关于直线x2对 称.当x0,4时，f(x)x24x，则f(2 022)_.4 解析f(x)的图象关于直线x2对称， f(x)f(x4)， 又f(x)为奇函数， f(x)f(x)， 故f(x4)f(x)，T8， 又2 0222528
10、6， f(2 022)f(6)f(2)f(2)(48)4. 抽象函数 我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称 为抽象函数，一般用yf(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概 念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于 一身，是考查函数的良好载体. 拓展视野 解析对于函数yf(2x)，1x1， 212x2. 则对于函数yf(log2x)，21log2x2， 例1若函数f(2x)的定义域是1,1，则f(log2x)的定义域为_. 例2已知函数f(x)对任意正实数a，b，都有f(ab)f(a)f(b)成立. (1)求f(1)，f(1)的值； 解令a1，b1
11、， 得f(1)f(1)f(1)，解得f(1)0， 令ab1， f(1)f(1)f(1)，f(1)0. (3)若f(2)p，f(3)q(p，q均为常数)，求f(36)的值. 解令ab2，得f(4)f(2)f(2)2p， 令ab3，得f(9)f(3)f(3)2q， 令a4，b9，得f(36)f(4)f(9)2p2q. 例3已知函数yf(x)的定义域为R，并且满足f(xy)f(x)f(y)， 1， 且当x0时，f(x)0. (1)求f(0)的值； 解令xy0， 则f(0)f(0)f(0)， f(0)0. (2)判断函数的奇偶性并证明； 解f(x)是奇函数，证明如下： 令yx，得f(0)f(x)f(x
12、)0， f(x)f(x)， 故函数f(x)是R上的奇函数. (3)判断函数的单调性，并解不等式f(x)f(2x)2. 解f(x)是R上的增函数，证明如下： 任取x1，x2R，x10， f(x2)f(x1)f(x2x1x1)f(x1) f(x2x1)f(x1)f(x1) f(x2x1)0， f(x1)f(3) B.f(2)f(6) C.f(3)f(5) D.f(3)f(6) 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析yf(x4)为偶函数， f(x4)f(x4)， yf(x)的图象关于直线x4对称， f(2)f(6)，f(3)f(5). 又yf(x)在(4，)上单调递减， f
13、(5)f(6)，f(3)f(6). 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是_. 解析f(x)ax2bx为偶函数，则b0， 又定义域a1,2a关于原点对称，则a12a0， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由题意，得f(x)f(x)， 则f(1)f(1)，即1aa1，得a1(经检验符合题意). 1 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.已知函数f(x)对xR满足f(1x)f(1x)，f(x2)f(x)，且f(0)1， 则f(26)_. 1 解析f(x
14、2)f(x)， f(x)的周期为4， f(26)f(2). 对xR有f(1x)f(1x)， f(x)的图象关于直线x1对称， f(2)f(0)1，即f(26)1. 10.已知函数f(x)x3x，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0恒成立， 则x的取值范围为_. 解析易知原函数在R上单调递增，且为奇函数， 故f(mx2)f(x)0f(mx2)f(x)f(x)， 此时应有mx2xmxx20对所有m2,2恒成立. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解设x0， 所以f(x)(x)22(x)x22x. 又f(x)为奇函数， 所以f(x)f(x)， 于是x0时，f(x)x22
15、xx2mx， 所以m2. (1)求实数m的值； 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x) 的图象(如图所示)知 所以1 e2的x的取值范围是 A.(2，) B.(1，) C.(2，) D.(3，) 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析f(x)是定义域为R的奇函数， f(0)1a0，a1， f(x)exex， f(x)为R上的增函数， 原不等式可化为f(x1)f(2)， x12，即x1. 14.已知函数f(x)对任意实数x满足f(x)f(x)
16、2，若函数yf(x)的图象与 yx1有三个交点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，则y1y2y3_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 3 解析因为f(x)f(x)2， 则f(x)的图象关于点(0,1)对称， 又直线yx1也关于点(0,1)对称， 因为yf(x)与yx1有三个交点， 则(0,1)是一个交点，另两个交点关于(0,1)对称， 则y1y2y3213. 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 15.(多选)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x2)为偶函数，则下 列结论正确的是 A.函数yf(x)的图象关于直
17、线x1对称 B.f(4)0 C.f(x8)f(x) D.若f(5)1，则f(2 021)1 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数， 则f(x)f(x)， 又由函数f(x2)为偶函数， 则函数f(x)的图象关于直线x2对称， 则有f(x)f(4x)， 则有f(x4)f(x)， 即f(x8)f(x4)f(x)， 则函数f(x)是周期为8的周期函数； 12345678910 11 12 13 14 15 16 据此分析选项： 对于A，函数f(x)的图象关于直线x2对称，A错误； 对于B，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)0，又由
18、函数f(x)的图象关于 直线x2对称，则f(4)0，B正确； 对于C，函数f(x)是周期为8的周期函数，即f(x8)f(x)，C正确； 对于D，若f(5)1，则f(2 021)f(52 016)f(5)1，D正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有 f(x1x2)f(x1)f(x2). (1)求f(1)的值； 解因为对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)， 所以令x1x21，得f(1)2f(1)， 所以f(1)0. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (
19、2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； 解f(x)为偶函数，证明如下： f(x)的定义域关于原点对称， 令x1x21， 有f(1)f(1)f(1)， 令x11，x2x，得f(x)f(1)f(x)， 所以f(x)f(x)， 所以f(x)为偶函数. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上单调递增，求x的取值范围. 解依题设有f(44)f(4)f(4)2， 由(2)知f(x)是偶函数， 所以f(x1)2等价于f(|x1|)f(16). 又f(x)在(0，)上单调递增， 所以0|x1|16， 解得15x17且x1， 所以x的取值范围是(15,1)(1,17). 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
