1、大一轮复习讲义 强化训练3导数中的综合问题 第三章导数及其应用 1.(2020秦皇岛模拟)如图是函数yf(x)的导数yf(x)的图象，则下面 判断正确的是 A.在(3,1)上，f(x)是增函数 B.当x1时，f(x)取得极大值 C.在(4,5)上，f(x)是增函数 D.当x2时，f(x)取得极小值 12345678910 11 12 13 14 15 16 基础保分练 12345678910 11 12 13 14 15 16 对于C，在(4,5)上，f(x)0，f(x)为增函数， 正确； 12345678910 11 12 13 14 15 16 A.abc B.bca C.bac D.ac
2、0的解集为(3,1)， 即f(x)a(x3)(x1)0，a0， 可得b2a，c3a，bac. 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.已知实数x，y满足2x2xy B.xy C.x0， 所以函数f(t)在R上单调递增， 由题意得f(x)f(y)，所以x0，f(x)单调递增； 当x(0,1)时，f(x)4时，f(x)0，函数yf(x)为减函数，则x4是函数f(x)的极大 值点，故D正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知函数f(x)x32x24x7，其导函数为f(x)，下列命题中 真命题的为 B.f(x)的极小值是15 C.当a
3、2时，对任意的x2且xa，恒有f(x)f(a)f(a)(xa) D.函数f(x)有且只有一个零点 故函数只有一个零点，A错误，BD正确； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析f(x)x32x24x7， 其导函数为f(x)3x24x4. 故当x2时，函数有极小值，极小值为f(2)15， g(x)在(2，)上单调递增， 12345678910 11 12 13 14 15 16 当a2时，对任意的x2且xa，恒有f(x)f(a)f(a)(xa)， 即f(x)f(a)f(a)(xa)x32a32x22a23a2x4ax0在x2， a2且xa上恒成立， 设g(x)f(x)f
4、(a)f(a)(xa)， g(x)3x24x3a24a， 令h(x)g(x)，h(x)6x4， 12345678910 11 12 13 14 15 16 又因为g(a)0，所以当2xa时，g(x)a时，g(x)0， 所以g(x)在(2，a)上单调递减，在(a，)上单调递增， 又xa，所以g(x)g(a)0， 所以恒有f(x)f(a)f(a)(xa).故C正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析f(x)(x22xa)ex0在区间1,2上恒成立， 则x22xa0在区间1,2上恒成立， 即a(x22x)min1223， 所以a的取值范围是(，3. 7.已知函数f(x
5、)(x2a)ex在区间1,2上单调递增，则a的取值范围是 _. (，3 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.设x是函数f(x)3cos xsin x的一个极值点，则cos 2sin2 _. 解析因为函数f(x)3cos xsin x， 所以f(x)3sin xcos x， 因为x是函数f(x)3cos xsin x的一个极值点， 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.若直线y2xb是曲线y2aln x的切线，且a0，则实数b的最小值是 _. 2 12345678910 11 12 13 14 15 16 由于直线y2xb是曲线y2aln x
6、的切线， 又2mb2aln m， b2aln a2a(a0)，b2(ln a1)22ln a， 当a1时，b0，函数b2aln a2a(a0)单调递增， 当0a1时，b0)单调递减， a1为极小值点，也为最小值点， b的最小值为2ln 122. 10.若函数f(x)exax的极值为1，则实数a的值为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 1 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由已知可得f(x)exa. 当a0时，对任意的xR，f(x)0，此时函数f(x)在R上单调递增，函数f(x) 无极值； 当a0时，令f(x)0，可得x0，可得xln
7、a，此时函数f(x)单调递增. 所以函数f(x)exax的极小值为f(ln a)eln aaln aaaln a1， 令g(a)aaln a，则a0且g(1)1， g(a)ln a. 当0a0，函数g(a)单调递增； 当a1时，g(a)0，则x23x20，解得x2. 函数yf(x)的单调递增区间为(，1)，(2，). 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)若当x1,3时，f(x)a2 恒成立，求实数a的取值范围. 解当x(1,2)时，f(x)0， f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增. 解得0a0， 当a0时，g(x)0，即g(x)在(0，)上单调
8、递减， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)若x(0，e(e2.718)，判断是否存在实数a，使函数g(x)的最小值 为2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解当a0时，g(x)在(0，e上单调递减， 所以g(x)ming(e)ea22. 故不存在最小值2. 所以g(x)ming(e)ea1ln e2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以ln a2. 解得ae2， 故当ae2时，函数g(x)的最小值为2. 12345678910 11 12 13 14 15 16
9、技能提升练 13.某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的底部为 圆柱形，高为l，底面半径为r，上部为半径为r的半球形，按照设计要求 容器的体积为 立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已 知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费 用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径r的值为 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.设定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x)，若f(x)f(x)2ex2 019(其
10、中e为自然对数的底数)的解集为 A.(0，) B.(2 019，) C.(，0) D.(，0)(2 019，) 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设g(x)exf(x)2， 所以g(x)exf(x)f(x)2， 因为f(x)f(x)2， 所以g(x)exf(x)f(x)22ex2 019等价于g(x)2 019， 所以原不等式的解集为(，0). 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 15.某数学兴趣小组对形如f(x)x3ax2bxc的某三次函数的性质进行 研究，得出如下四个结论，其中有且只有一个是错误的，则错误的结论 一定是 A.
11、函数f(x)的图象过点(2,1) B.函数f(x)在x0处有极值 C.函数f(x)的单调递减区间为0,2 D.函数f(x)的图象关于点(1,0)对称 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析对于A选项，f(2)84a2bc1； 对于B选项，f(x)3x22axb，f(0)b0； 对于C选项，由单调递减区间可得f(0)b0，f(2)124ab0，因为 有且仅有一个选项错误，所以B，C正确； 所以a3，b0.对于D选项，函数f(x)的图象关于点(1,0)对称， 则有f(1x)f(1x)0， 可赋值得到：当x0时，2f(1)0， 当x1时，f(2)f(0)0， 即可得到84a
12、2bcc0，解得c2， 与abc0解得c3，显然c有两个取值，故D错误，A正确， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解得c5， 所以f(x)x33x25， 所以f(2)1，f(x)3x26x3x(x2)， 所以函数在(，0)和(2，)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在x0处取 得极大值， 故A，B，C均正确. 16.已知函数f(x)ln x x2a1. (1)若a2，求函数f(x)的单调区间； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解f(x)的定义域是(0，). 当0 x0，当x2时，f(x)0， 所以f(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2，). (2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，求证：f(x1)f(x2)0. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为f(x)有两个极值点x1，x2， 故x1，x2为方程x2xa0的两个不等实根， 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以f(x1)f(x2)0. 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
