1、大一轮复习讲义 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 1.6基本不等式 考试要求 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用. 课时精练课时精练 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心探究核心探究 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 知识梳理 (1)基本不等式成立的条件： . (2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号. (3)其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数. a0，b0 ab 2.几个重要的不等式几个重要的不等式 (1)a2b2
2、(a，bR). 以上不等式等号成立的条件均为ab. 2ab 2 3.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 已知x0，y0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 时，和xy有最 值 .(简记： 积定和最小) (2)如果和xy是定值p，那么当且仅当 时，积xy有最 值 .(简记： 和定积最大) 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”. xy 小 xy 大 微思考 1.若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？ 提示不一定.若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值； 若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值. 题组一思考辨析题组一思考辨析 1
3、.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) 基础自测 题组二教材改编题组二教材改编 解析x2， 3.已知函数f(x)x ，若方程f(x)a有实数根，则实数a的取值范围为 A.(，2 B.2，) C.(，11，) D.(，22，) 综上，f(x)的值域为(，22，)， 故a的取值范围是(，22，). 4.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积 是_ m2.25 解析设矩形的一边为x m，面积为y m2， 当且仅当x10 x，即x5时，等号成立， 所以ymax25， 即矩形场地的最大面积是25 m2. 题组三易错自纠题组三易错自纠 5.函数y (x0)的最大值为_.
4、4 解析x1，x10， TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究 命题点1配凑法 例1(1)已知0 x1，则x(32x)的最大值为_. 题型一利用基本不等式求最值 多维探究 5 因为x1，所以x10， 故f(x)有最小值4. 命题点2常数代换法 解析因为2mn1， 命题点3消元法 例3已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_. 6 解析方法一(换元消元法) 当且仅当x3y，即x3，y1时取等号. 即(x3y)212(x3y)1080， 令x3yt，则t0且t212t1080， 得t6，即x3y的最小值为6. 方法二(代入消元法) 1266， 所以x3y的最小值
5、为6. 引申探究 本例条件不变，求xy的最大值. 当且仅当x3y，即x3，y1时取等号， xy的最大值为3. xy的最大值为3. (1)前提：“一正”“二定”“三相等”. (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利 用基本不等式. (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形， 利用常数“1”代换的方法；三是消元法. 思维升华 解析令x1m，y2n， x0，y0，m0，n0， 则mnx1y28， 命题点1基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例4设等差数列an的公差为d，其前n项和是Sn，若a1d1，则 的最小值是_. 题型二基本不等式的综合应用 多
6、维探究 命题点2求参数值或取值范围 例5(2021厦门联考)对任意m，n(0，)，都有m2amn2n20， 则实数a的最大值为 解析对任意m，n(0，)，都有m2amn2n20， (1)当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等 式的条件，然后利用常数代换法求最值. (2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等 号成立的条件，从而得到参数的值或范围. 思维升华 跟踪训练2(1)已知不等式(xy) 9对任意正实数x，y恒成立，则 正实数a的最小值为 A.2 B.4 C.6 D.8 即正实数a的最小值为4，故选B. (2)若ABC的内角满足3sin Asin B
7、sin C，则cos A的最小值是 解析由题意结合正弦定理有3abc，结合余弦定理可得： 当且仅当bc时等号成立. 核心素养题型三基本不等式的实际应用 例6小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需 支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每 年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后，考 虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为 (25x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年). (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ 解设大货车运输到第x年年底， 该车运输累计收入与总支出的差为y万元， 则y
8、25x6xx(x1)50 x220 x50(00， 所以大货车运输到第3年年底该车运输累计收入超过总支出. (2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利 润累计收入销售收入总支出) 解因为利润累计收入销售收入总支出， 所以二手车出售后， 所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润 最大. (1)利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量， 注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型， 再利用基本不等式求得函数的最值. (2)构建数学模型，提升数学建模核心素养. 素养提升 跟踪训练3网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一
9、段时期内， 成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年 1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营 发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足 函数关系式x3 .已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品 每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%” 与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大 月利润是_万元. 37.5 设该公司的月利润为y万元， 柯西不等式拓展视野 柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西 (Cauchy,17891857)发现的，故命名为柯西不等
10、式.柯西不等式是数学 中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外， 柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技 巧可以达到事半功倍的效果. 1.(柯西不等式的代数形式)设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2 d2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立. ，n)或存在一个实数k，使得aikbi(i1，2，n)时，等号成立). 2.(柯西不等式的向量形式)设，为平面上的两个向量，则|， 其中当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时等号成立. 3.(柯西不等式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3为任意实数，则： (当且仅当bi0(i
11、1，2， 一、利用柯西不等式求最值 例1已知2x2y21，则2xy的最大值为_. 例2已知x，y满足x3y4，则4x2y2的最小值为_. 当且仅当y12x时，等号成立， 二、利用柯西不等式证明不等式 当且仅当b1b2时，等号成立. n个 KESHIJINGLIAN3 课时精练 1.下列函数中，最小值为2的是 12345678910 11 12 13 14 15 16 基础保分练 2.已知a0，且b0，若2ab4，则ab的最大值为 12345678910 11 12 13 14 15 16 ab2，当且仅当a1，b2时，等号成立， ab的最大值为2. 12345678910 11 12 13 1
12、4 15 16 3.若a0，b0，lg alg blg(ab)，则ab的最小值为 A.8 B.6 C.4 D.2 解析依题意abab， ab4，当且仅当ab时取等号， ab的最小值为4. 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元.若每批 生产x件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为1元， 为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生 产产品 A.60件 B.80件 C.100件 D.120件 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析若每批生产x件产品， 5.(多
13、选)(2020新高考全国)已知a0，b0，且ab1，则 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为a0，b0，ab1， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)设a0，b0，则下列不等式中一定成立的是 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析a0，b0， 故A一定成立； 12345678910 11 12 13 14 15 16 当且仅当ab时取等号， 当且仅当ab时取等号，故D一定成立. 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.
14、已知a，bR，且a3b60，则2a 的最小值为_. 解析由题设知a3b6，又2a0,8b0， 3 2 2 ab 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.已知实数a，b满足|ln a|ln b|，ab，则 的最小值为_. 解析因为|ln a|ln b|且ab， 所以ln aln b，即ln aln b0， 所以ln(ab)0， 所以ab1，a0，b0， 4 9.若a，b都是正数，且ab1，则(a1)(b1)的最大值为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.命题“x(1，)，x2axa20”为真命题，则实数a的取值 范围是_. 1234567
15、8910 11 12 13 14 15 16 解析依题意x(1，)，x2axa20恒成立， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 11.已知x0，y0，且2x8yxy，求： (1)xy的最小值； 当且仅当2x8y，即x16，y4时，等号成立， xy的最小值为64. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)xy的最小值. 所以xy的最小值为18. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910
16、11 12 13 14 15 16 (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用. 12345678910 11 12 13 14 15 16 技能提升练 13.几何原本卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数 学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够 通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上， 点C在直径AB上，且OFAB，设ACa，BCb，则该图形可以完成的无字 证明为 12345678910 11 12 13 14 15 16 当且仅当ab时取等号.故选D. 14.正实数x，y满足4x2y2xy1，则xy的
17、最大值为_；2xy的最大 值为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析1xy4x2y24xy， 12345678910 11 12 13 14 15 16 4x2y2xy1， (2xy)23xy1， 当且仅当2xy时，取等号. 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 15.设ab0，则a2 的最小值是 A.1 B.2 C.3 D.4 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析ab0，ab0， 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.已知abc3，且a，b，c都是正数. 12345678
18、910 11 12 13 14 15 16 证明因为abc3，且a，b，c都是正数， 12345678910 11 12 13 14 15 16 当且仅当abc1时，取等号， (2)是否存在实数m，使得关于x的不等式x2mx2a2b2c2对所 有满足题设条件的正实数a，b，c恒成立？如果存在，求出m的取值范围； 如果不存在，请说明理由. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解因为abc3， 所以(abc)2a2b2c22ab2bc2ca3(a2b2c2)， 因此a2b2c23(当且仅当abc1时，取等号)， 所以(a2b2c2)min3， 由题意得x2mx23恒成立， 即得x2mx10恒成立， 因此m2402m2. 故存在实数m2,2使不等式x2mx2a2b2c2成立. 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
