1、大一轮复习讲义 1.5一元二次不等式及其解法 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 考试要求 1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次 方程的联系. 3.会解一元二次不等式. 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 1.一元二次不等式一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是_的不等式，称为一元 二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2bxc0或ax2bx c000)的图象 方
2、程ax2bxc0 (a0)的根 有两个不相等的实 数根x1，x2(x10 (a0) 的解集 _R ax2bxc0) 的解集 _ x|xx2 x|x1x0(0(0(0)恒成立的条件是什么？ 微思考 题组一思考辨析题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若不等式ax2bxc0.() (2)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解 集为R.() (3)若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0的 解集一定不是空集.() 基础自测 2.已知集合Ax|x25x40，Bx|x2x60，则AB等于 A.(2,3) B.(1,3)
3、C.(3,4) D.(2,4) 题组二教材题组二教材改编改编 解析由题意知Ax|1x4，Bx|2x0的解集为_.(用区间表示) 解析由x23x40可知，(x4)(x1)0， 得4x0， 题组三易错自题组三易错自纠纠 14 6.若不等式x2ax40，即a216. a4或a4. (，4)(4，) TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究 命题点1不含参的不等式 例1(1)(2020全国)已知集合Ax|x23x40，B4,1,3,5， 则AB等于 A.4,1 B.1,5 C.3,5 D.1,3 解析Ax|x23x40 x|(x1)(x4)0 x|1x4， B4,1,3,5，
4、AB1,3. 题型一一元二次不等式的求解 多维探究 (2)不等式 0的解集为 A.2,1 B.(2,1 C.(，2)(1，) D.(，2(1，) 解得2x1. 命题点2含参不等式 例2解关于x的不等式ax2(a1)x10). 解原不等式变为(ax1)(x1)0改成aR，解不等式. 解当a0时，同例2， 当a0时，原不等式等价于x11， 当a1时，不等式的解集为， 当a0时，不等式的解集为x|x1， 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 思维升华 跟踪训练1(
5、1)已知不等式ax2bx10的解集是 ，则不 等式x2bxa0的解集是_. 故不等式x2bxa0为x25x60， 解得x3或x2. x|x3或x2 (2)解不等式12x2axa2(aR). 解原不等式可化为12x2axa20， 即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0， 当a0时，不等式的解集为(，0)(0，)； 命题点1在R上的恒成立问题 例3对于任意实数x，不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，则实数a 的取值范围是 A.(，2) B.(，2 C.(2,2) D.(2,2 题型二一元二次不等式恒成立问题 多维探究 解析当a20，即a2时，40恒成立； 当a20，即a2时， 解
6、得2a2. 综上，实数a的取值范围是(2,2. 命题点2在给定区间上的恒成立问题 例4已知函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)5m恒成立，则 实数m的取值范围为_. 解析要使f(x)0时，g(x)在1,3上单调递增， 所以g(x)maxg(3)，即7m60， 当m0时，60恒成立； 当m0时，g(x)在1,3上单调递减， 所以g(x)maxg(1)，即m60， 所以m6，所以m0. 又因为m(x2x1)60， 命题点3给定参数范围的恒成立问题 例5若mx2mx10对一切实数x都成立，则实数a的取 值范围为 解析当a0时，x0不恒成立，故a0不合题意； (2)当x(1,2)时，不等
7、式x2mx40恒成立，则m的取值范围是 A.(，4 B.(，5) C.(，5 D.(5，4) 解析令f(x)x2mx4， x(1,2)时，f(x)0)有不相等的两根为x1，x2，且x1x2， 相应的二次函数为f(x)ax2bxc，方程的根即为二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要 条件). 分布 情况 两个负根即两根都 小于0(x10，x20，x20) 一正根一负根即一个根小于 0，一个根大于0(x100) 得出 的结 论 f(0)0 表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况) 大致图象 (a0 综合结论 (不讨论a) af(0)0 分布情况 两根
8、都小于k即 x1k，x2k，x2k 一个根小于k，一个根 大于k即x1k0) 得出的结论 f(k)0 表二：(两根与k的大小比较) 大致图象 (a0 综合结论 (不讨论a) af(k)0 分布 情况 两根都在(m，n) 内 两根有且仅有一根在 (m，n)内(图象有两种 情况，只画了一种) 一根在(m，n)内， 另一根在(p，q)内， mnp0) 表三：(根在区间上的分布) 得出的 结论 f(m)f(n) 0 大致图象 (a0) 得出的 结论 f(m)f(n) 0 综合结论 (不讨论a) f(m)f(n) 0 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在 区间两侧x1n，(图形
9、分别如下)需满足的条件是 对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m，n)内有以下特殊 情况： ()若f(m)0或f(n)0，则此时f(m)f(n)0不成立，但对于这种情况 是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根 在区间(m，n)内，从而可以求出参数的值.如方程mx2(m2)x20在 区间(1,3)上有一根，因为f(1)0，所以mx2(m2)x2(x1)(mx2)， ()方程有两个相等的根，且这个根在区间(m，n)内，即0，此时 由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根， 检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数.如方程x24mx 2m
10、60有且只有一根在区间(3,0)内，求m的取值范围.分析：由 例1已知二次方程(2m1)x22mx(m1)0有一正根和一负根，求 实数m的取值范围. 解设f(x)(2m1)x22mx(m1)， 由(2m1)f(0)0 ，即(2m1)(m1)0， 例2已知方程2x2(m1)xm0有两个不等正实根，求实数m的取值 范围. 解设f(x)2x2(m1)xm， 例3已知二次函数f(x)(m2)x2(2m4)x3m3与x轴有两个交点， 一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围. 解由(m2)f(1)0 ， KESHIJINGLIAN3 课时精练 1.已知集合Ax|x2x20，Bx|x23x0，则AB等于
11、 A.(0,2) B.(1,0) C.(3,2) D.(1,3) 12345678910 11 12 13 14 15 16 基础保分练 解析Ax|1x2，Bx|3x0的解 集为(1,3)，那么不等式f(2x)0的解集是(1,3)， 即a1，b3. f(x)x22x3， f(2x)4x24x3， 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.已知某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y3 000 20 x0.1x2，x(0,240).若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本 (销售收入不小于总成本)时的最低产量是 A.100台 B.120台 C.150台
12、D.180台 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由题设，产量为x台时，总售价为25x； 欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本， 即25x3 00020 x0.1x2， 即0.1x25x3 0000，x250 x30 0000， 解得x150或x200(舍去). 故欲使生产者不亏本，最低产量是150台. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知函数f(x)x2axb(a0)有且只有一个零点，则 A.a2
13、b24 B.a2 4 C.若不等式x2axb0 D.若不等式x2axb0)有且只有一个零点，故可得a24b 0，即a24b0. 对于A，a2b24等价于b24b40，显然(b2)20，故A正确； 对于C，因为不等式x2axb0的解集为(x1，x2)，故x1x2b0，故 C错误； 对于D，因为不等式x2axbc的解集为(x1，x2)，且|x1x2|4， 12345678910 11 12 13 14 15 16 则方程x2axbc0的两根为x1，x2， 故可得c4. 12345678910 11 12 13 14 15 16 即(x1)(x4)0，解得1x4， 原不等式的解集为x|1x4. x|
14、1x4 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.一元二次方程x2(k2)xk10有一正一负实数根，则k的取值范围 是_. (，1) 解得k1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4. 令g(m)(x2)mx24x4， 由题意知在1,1上，g(m)的值恒大于零， 9.若对任意m1,1，函数f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零， 则x的取值范围是_. (，1)(3，) 解析不等式x2(a1)xa0， 可化为(x1)(xa)0， 当a1时，不等式为(x1)21时，不等式的解集为x|1xa，则3a4
15、， 当a1时，不等式的解集为x|ax1，则2a1， 综上有2a1或3a4. 10.关于x的不等式x2(a1)xa0. (1)若该不等式的解集为(4,2)，求a，b的值； 解得a2，b8. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)若ba1，求此不等式的解集. 解当ba1时，x2axb0 x2ax(a1)0， 即x(a1)(x1)0. 当a11，即a2时，原不等式的解集为； 当a11，即a1，即a2时，原不等式的解集为(1，a1). 综上，当a2时，不等式的解集为(1，a1). 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.某商品每件成本价为80元，售
16、价为100元，每天售出100件.若售价降低 x成(1成10%)，售出商品数量就增加成.要求售价不能低于成本价. (1)设该商店一天的营业额为y元，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并 写出定义域； 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为售价不能低于成本价， 解得0 x2. 所以yf(x)40(10 x)(254x)， 定义域为x|0 x2. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围. 解由题意得40(10 x)(254x)10 260， 解析f(x)2 021(xa)(xb)x2(
17、ab)xab2 021， 又f(a)f(b)2 021，c，d为函数f(x)的零点， 且ab，cd， 所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象， 如图所示，由图可知cabd，故选D. 13.已知a，b，c，d都是常数，ab，cd.若f(x)2 021(xa)(xb)的零 点为c，d，则下列不等式正确的是 A.acbd B.abcdC.cdab D.cabd 12345678910 11 12 13 14 15 16 技能提升练 14.若不等式x2ax20在区间1,5上有解，则a的取值范围是 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由a280知方程恒有两个不等实
18、根， 又因为x1x220， 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 15.已知二次函数f(x)x22x3，不等式f(x)m的解集的区间长度为6 (规定：闭区间a，b的长度为ba)，则实数m的值是_.5 12345678910 11 12 13 14 15 16 又(x2x1)2(x1x2)24x1x236， 44(m3)36，即m5. 解析不等式f(x)m可化为x22x3m0， 令x22x3m0的解集为x|x1xx2， 则x2x16， 16.已知f(x)2x2bxc，不等式f(x)0的解集是(0,5). 12345678910 11 12 13 14 15 16
19、 解因为不等式f(x)0的解集是(0,5)， 所以0,5是一元二次方程2x2bxc0的两个实数根， 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以f(x)2x210 x. 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6， 可得65k7，解得2k1， 所以k的取值范围是2，1). (2)若对于任意x1,1，不等式tf(x)2恒成立，求t的取值范围. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解tf(x)2，即t(2x210 x)2，即tx25tx10， 当t0时显然成立， 12345678910 11 12 13 14 15 16 当t0时，函数ytx25tx1在1,1上单调递增， 所以只要其最大值满足条件即可， 12345678910 11 12 13 14 15 16 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
