1、2解简易方程 方程是含有未知数的等式,学习方程的概念要从认识等式开始。用等号连接 起来的式子就叫做等式。教材把它作为不加定义的概念,直接引入。教学时要做 好演示准备,引导学生边观察、边思考。 等式的性质是学习解方程的基础。 过去,在小学学习简易方程,方程变形的依 据是加减运算的关系或乘除运算的关系。现在,依据标准(2011)的要求,从小 学起就引出等式的基本性质,并以此为基础导出解方程的方法。这样做,有利于改 善和加强中小学数学教学的衔接。教材首先提出问题,引起学生的探究兴趣,然后 通过情境图展示了利用天平进行试验,探究等式基本性质的过程。 在解方程的学习中,通过教材第67页例1讨论形如x+a
2、=b,x-a=b的方程的解 法,教材第 68 页例 2 讨论形如ax=b的方程的解法,教材第 68 页例 3 讨论形如 a-x=b的方程的解法,这里不再依靠天平的图示,意图在于启发学生直接依据等式 性质进行转化。 教材第 69 页例 4 采用图示方式得出形如ax+b=c的方程,特别强调了解这个 方程的关键是先把ax看成一个整体,从而根据等式的性质 1 求出ax的值,即转化 为例 2。思路是:先求ax=?,再求x=?,这也是初中解一元一次方程的基本思路。教 材第 69 页例 5 直接给出方程,该方程可以仿照例 4 的思路,先把小括号内的式子 看作一个整体;也可以根据乘法分配律将原方程转化为例 4
3、 中的方程的形式。教 材在两种解法的关键步骤处设问,启发学生思考,寻求解法。 实际问题与方程也就是列方程解决实际问题。这部分内容共有 5 道例题,如 果用算术方法解答,都需要逆向思维,从而突出等量关系的分析及列方程解决实际 问题的特点。 教材第 73 页例 1 取材于跳远比赛,例题采用图文结合的形式给出已知条件, 并提出问题。这是学生第一次接触列方程解答实际问题,对将所求数量设为x,对 未知数参加列式,都会感到不习惯。 因此,教材先给出学生已学过的算术解法,再引 导学生将未知数设为x,列出方程。例 2 的题材源于足球的构成,即一个现代足球 是由 12 块正五边形的黑色皮和 20 块正六边形的白
4、色皮制成的。对于本题的数 量关系,学生能想到几种不同的形式。教材的解答选用了“黑色皮的块数2-4=白 色皮的块数”这种数量关系。 在例题解答之后,教材提出了一个讨论问题,引导学生 小结列方程解决实际问题的基本步骤。 教材第 77 页例 3 创设了购买两种水果的现实问题情境。撇开各数量的具体 内容,就它的数学意义来讲,可以抽象为两积之和的数量关系。这种数量关系在生 活中经常能遇到。而且,理解了两积之和的数量关系,也就容易理解两积之差、两 商之差的数量关系。同时,例 3 的两个积中,有相同的因数,可以根据乘法分配律, 得到含小括号的方程。这些都使例 3 具有举一反三的典型意义。第 78 页例 4
5、的 特点是要求两个未知数,且用两个已知未知数的和与差,或两个未知数的和(差)与 两个未知数的倍数关系。这类问题,用算术方法解,需要分别教学,改用方程解,思 路统一,解法一致,会解其中之一,其他就很容易类推解决了。 1.使学生认识方程、等式;理解方程的解、解方程的意义。 2.使学生初步了解方程的作用,初步理解等式的基本性质,能用等式的基本性 质解简易方程。 3.使学生感受数学与现实生活的联系,初步学会列方程解决一些简单的实际 问题,培养学生根据具体情况,灵活选择算法的意识和能力。 【重点】 掌握解方程的方法。 【难点】 会列方程解决实际问题。 第课时方程的意义 1.初步理解方程的意义,会判断一个
6、式子是否是方程。 2.会按要求用方程表示出数量关系。 3.经历方程的认识过程,体验观察、比较的学习方法。 4.在学习生活中,激发学生的学习兴趣,培养学生动手动脑的能力,养成仔细 认真的良好学习习惯。 【重点】 理解方程的意义。 【难点】 会根据方程的意义判断一个式子是不是方程,并用方程表示出数量关系。 【教师准备】PPT 课件。 师:我们在实际生活中,经常要用到一种称量物体质量的工具。它是什么呢? 预设 生:天平。 (老师根据学生回答用 PPT 出示天平图) 师:你对天平有哪些认识? (学生先在小组内讨论,然后在班上进行交流) 预设 生 1:天平由天平秤和砝码组成。 生 2:当放在天平左右两边
7、的物体质量相等时,天平就会平衡。 (老师根据学生的回答进行演示) (1)在左右两边各放 50 克砝码,天平两边平衡。 (老师板书)50=50 (2)在两边再各加上 50 克砝码,天平仍平衡。 (老师板书)50+50=50+50 (3)在一边加上 50 克砝码,在另一边加上x克砝码,天平平衡。 (老师板书)50+50=50+x (老师引导学生比较 50+50=50+50 和 50+50=50+x,找出两个等式的区别) 师:这个含有未知数的等式叫什么?通过今天的学习你就会知道。 用实际生活中的具体实物引入新课,让学生感受到数学源于生活,又 应用于生活。 (老师用 PPT 出示游乐场的情境图) 师:
8、同学们,你们去过游乐场吗?游乐场有哪些好玩的? 预设 生 1:摩天轮、跷跷板。 生 2:过山车、海盗船 师:那谁能告诉大家,跷跷板为什么经常一边高一边低?有没有可能两边平 衡? 生 3:有可能两边平衡。 师:如果跷跷板两边平衡了,那么说明了什么? (学生思考,老师板书:方程的意义) 用学生喜欢的活动导入新课,有利于新知识的学习。 一、方程的意义。 1.PPT 出示教材第 62 页情境图。 2.认识等式。 师:认真观察,你从第一幅图中发现了什么? 预设 生 1:天平的左边是 2 个 50 g 的砝码,右边是 1 个 100 g 的砝码。 生 2:第一幅图中的天平是平衡的,因为天平左右两边的质量相
9、等。 (老师根据学生回答进行板书) 50+50=100 老师指出:这是一个等式。(板书) 师:认真观察,你从第二幅图中发现了什么? 预设 生 1:把天平左边的砝码换成一个空杯子,天平平衡。 生 2:1 个空杯子的质量为 100 g。 3.引导观察第三五幅图,引出方程。 师:认真观察第三幅图,你有什么新发现? 预设 生 1:第三幅图中的天平不平衡了。 生 2:第三幅图中左边的杯子里加了xg 水,现在天平两边的质量不相等,天平 也就不平衡了。 生 3:第三幅图中天平向左边倾斜了,说明左边比右边重一些。 老师小结:当天平左边的杯子里加了水后,右边的质量不变,天平两边的质量 不相等,天平就不能保持平衡
10、了。 师:继续看第四幅图,说出图意。 预设 生1:第四幅图中有两架天平,第1架天平的左边还是一个杯子加xg水, 右边的砝码变成了 200 g,这时天平还是不平衡。 生 2:第 2 架天平的左边还是一个杯子加xg 水,右边的砝码变成了 300 g,这 时天平还是不平衡。 师:你能用一个式子表示吗? (学生小组讨论,教师指名板演) 100+x200100+x300 师:比较两架天平,你能确定杯子里的水有多重吗?(或x能表示什么数?) 生 3:x大于 100 且小于 200。 (引导学生观察第五幅图) 师:在第五幅图中你看到了什么?你能用式子表示出来吗? 生 4:天平平衡了。 生 5:天平的左边还是
11、一个杯子和xg 水,天平右边的砝码变成了 250 g。 生 6:100+x=250。 (老师根据学生回答进行板书) 二、认识方程。 1.观察比较 50+50=100 与 100+x=250。 预设 生:两个都是等式,一个等式里没有字母(未知数),一个等式里含有字母 (未知数)。 2.用 PPT 出示教材第 63 页情境图。 (学生看图,说出从图中得到的信息) 预设 生 1:1 本练习本的价钱是x元。 生 2:3 本练习本的价钱是 2.4 元。 师:怎样用式子表示呢? 生 3:用 3x=2.4 表示。 (老师指着 100+x=250 和 3x=2.4 小结) 师:像这样含有未知数的等式就是方程。
12、 (老师板书课题:方程的意义) 以连环画的形式引导学生认识方程,学生通过对一幅一幅连环画的 认真观察,逐步认识等式、理解方程的意义以及等式与方程的联系与区别。这样 设计使学生更容易理解和接受。 3.写方程,加深对方程的认识。 师:你会写出方程吗?试一试。 (学生在草稿本上写方程,然后用展台进行展示。可能会有部分学生写出的只 是等式或代数式,而不是方程) (老师引导学生评讲,说出不是方程的原因) 老师小结:方程必须具备两个条件:(1)必须是等式;(2)必须含有未知数。二者 缺一不可。 4.请同学们看教材第63页情境图中三个学生写的方程,或许你会对方程有更 深的了解。 练习 1 1.教材第 63
13、页“做一做”第 1 题。 学生独立完成,小组进行交流,判断是不是方程。 在组织汇报时,着重让学生说 一说为什么不是方程。 2.教材第 63 页“做一做”第 2 题。 (请两位学生板演,其他学生独立完成,全班评讲) 2x=50 x+73=166 (学生认真看图,小组交流,教师指名回答) 【参考答案】1.5x+32=47 和 6(y+2)=42 是方程。2.2x=50 x+73=166 练习 2 完成相关习题。 师:通过这节课的学习,你有什么收获? 预设 生 1:认识了方程。 生 2:知道了方程的意义。 生 3:知道方程必须具备两个条件:(1)必须是等式,(2)必须含有未知数。 作业 1 教材第
14、66 页练习十四第 1,2 题。 作业 2 完成相关习题。 方程的意义 50+50=100等式 100+x=250方程 3x=2.4方程 像 100+x=250,3x=2.4这样,含有未知数的等式就是方程。 “方程的意义”是本单元解简易方程的第1课时,这节课主要是让学生理解方程 的意义:含有未知数的等式就是方程。“方程的意义”的教学目标是:让学生理解方 程的概念,并为后续学习打好基础。通过这节课的教学,方程的意义的教学达到了 预期的教学目标,在讨论等式和方程时,学生能清楚地说出二者的联系与区别。 由于教材中有五幅图,感觉教学时间不够。在 进行设计时,我本想按照方法二进行教学的,就是担心时间不够
15、,就没有按照 方法二施教。然而在按照方法一进行教学时,还是因为时间的问题,在让学生看图 的时候,留给学生的时间不够充足,学生的自主活动的热情没有充分调动起来。 下次再教“方程的意义”时,设计更加大胆一些:可以准备几架天平,让学生分小 组进行操作,来经历认识方程的过程。 请你用方程表示下图中的数量关系。 (1) (2) 名师点拨列出方程的关键是能找出题中的等量关系。(1)三个茶杯的价钱 +一把茶壶的价钱=6.3 元。(2)足球的个数是排球个数的 3 倍。 解答(1)3x+3.06=6.3。 (2)3x-x=72。 【知识拓展】列方程解题是一种常用的方法,关键在于深刻理解题意,善于 抓住已知量和未
16、知量之间的等量关系,根据等量关系列出方程。 方程的由来 在公元 3 世纪时,我国的数学名著九章算术就记载了不少一次方程组的 问题,它在世界上最早提出联立一次方程组的概念,并系统地总结了联立一次方程 组的解法。 “方程”的取名是由于当时用算筹解方程组,列出各方程的系数和常数项 时,构成一个方形,故“方”就是“列筹成方”的意思,“程”就是“课程”,所以把这种“方”形 的“课程”叫做“方程”。 清朝初期在翻译外国数学书时按拉丁语的原意译成“相等式”。 1859 年我国学者李善兰将其改译成为我国古代的名词“方程”。 方程史话 大约 3600 年前古埃及人写在纸草上的数学问题中,就涉及了方程中含有未 知数的等式。 公元 825 年左右中亚细亚的数学家阿尔花拉子密曾写过一本名叫对消与 还原的书,重点讨论方程的解法。 宋元时期,中国数学家创立了“天元术”,用“天元”表示未知数进而建立方程。这 种方法的代表作是数学家李冶写的 测圆海镜 ,书中所说的“立天元一”相当于“设 未知数”。所以在简称方程时,将未知数称为“元”,如有一个未知数的方程叫“一元方 程”。而有两个以上的未知数,在古代又称为“天元”“地元”“人元”。 九章算术方程中,白尚恕注释:“方即方形,程即表达相课的意思,或者是 表达式。在某一问题中,如有含若干个相关的数据,将这些相关的数据并肩排列成 方形,则称为方程。”
