1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点考点 1010三角函数图像和性质三角函数图像和性质 1正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数ysin xycos xytan x 图象 定义域RR x|xR 且 x 2 k，kZ 值域1，11，1R 单调性 22k， 2 2k(kZ)上递增； 22k， 3 2 2k(kZ)上递减 2k，2k (kZ)上递增； 2k，2k (kZ)上递减 ( 2k， 2k) (kZ)上递增 最值 x 22k(kZ)时， ymax1； x 22k(kZ) 时，y
2、min1 x2k(kZ)时， ymax1； x2k(kZ)时， ymin1 奇偶性奇函数偶函数奇函数 对称中心(k，0)(kZ) ( 2k，0) (kZ) (k 2 ，0)(kZ) 对称轴 方程 x 2k (kZ) xk(kZ) 周期22 2五点法作 yAsin(x)一个周期内的简图 用“五点法”作图，就是令x取下列 5 个特殊值：0, 2, , 3 2 , 2，通过列表，计算五点的坐标，描点得 到图象. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 3三角函数图象变换 玩转典例 题型一题型一三角函
3、数的性质及其应用三角函数的性质及其应用 例例 1 1(2020武汉)已知函数 f(x)2sin 2x 3 1. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)当 x 0， 2 时，求函数 f(x)的最大值及最小值； (3)写出函数 f(x)的单调递增区间 (4)写出函数 f(x)的对称轴和对称中心. 解(1)函数 f(x)的最小正周期为2 2 . (2)1sin 2x 3 1，12sin 2x 3 13. 当 2x 3 2 2k，即 x 12k，kZ 时，f(x)取得最大值 3；当 2x 3 2 2k，即 x5 12 k，kZ 时，f(x)取得最小值1. (3)由 2 2k2x 3 2 2k，得
4、5 12 kx 12k，kZ. 函数 f(x)的递增区间为 12k， 12k，kZ. 例例 2（2018新课标）函数 2 tan ( ) 1 x f x tan x 的最小正周期为() A 4 B 2 CD2 【答案】C 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【解析】函数 222 tansin cos1 ( )sin2 1cossin2 xxx f xx tan xxx 的最小正周期为 2 2 ，故选：C 玩转跟踪 1.（2018新课标）已知函数 22 ( )2cossin2f xxx，则(
5、) A( )f x的最小正周期为，最大值为 3 B( )f x的最小正周期为，最大值为 4 C( )f x的最小正周期为2，最大值为 3 D( )f x的最小正周期为2，最大值为 4 【答案】B 【解析】函数 22 ( )2cossin2f xxx 2222 2cossin2sin2cosxxxx， 22 4cossinxx 2 3cos1x cos21 31 2 x 3cos25 22 x ， 故函数的最小正周期为，函数的最大值为 35 4 22 ，故选：B 2.（2017新课标）设函数( )cos() 3 f xx ，则下列结论错误的是() A( )f x的一个周期为2B( )yf x的图
6、象关于直线 8 3 x 对称 C()f x的一个零点为 6 x D( )f x在( 2 ，)单调递减 【答案】D 【解析】A函数的周期为2k，当1k 时，周期2T ，故A正确， B当 8 3 x 时， 89 cos()cos()coscos31 3333 x 为最小值，此时( )yf x的图象关于直线 8 3 x 对称，故B正确，C当 6 x 时， 3 ()cos()cos0 6632 f ，则()f x的一个零点为 6 x ，故C正确，D当 2 x 时，5 4 633 x ，此时函数( )f x不是单调函数，故D错误，故选： D 题型二题型二三角三角函数的函数的图像和图像变换图像和图像变换
7、例例 3（2016新课标）将函数2sin(2) 6 yx 的图象向右平移 1 4 个周期后，所得图象对应的函数为() A2sin(2) 4 yx B2sin(2) 3 yx C2sin(2) 4 yx D2sin(2) 3 yx 【答案】D 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【解析】函数2sin(2) 6 yx 的周期为 2 2 T ， 由题意即为函数2sin(2) 6 yx 的图象向右平移 4 个单位， 可得图象对应的函数为2sin2() 46 yx ，即有2sin(2) 3 yx 故
8、选：D 例例 4（2016新课标）若将函数2sin2yx的图象向左平移 12 个单位长度，则平移后的图象的对称轴为( ) A() 26 k xkZ B() 26 k xkZ C() 212 k xkZ D() 212 k xkZ 【答案】B 【解析】将函数2sin2yx的图象向左平移 12 个单位长度， 得到2sin2()2sin(2) 126 yxx ，由2() 62 xkkZ 得：() 26 k xkZ ， 即平移后的图象的对称轴方程为() 26 k xkZ ，故选：B 玩转跟踪 1.（2017新课标）已知曲线 1: cosCyx， 2 2 :sin(2) 3 Cyx ，则下面结论正确的是
9、 A把 1 C上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度，得 到曲线 2 C B把 1 C上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得 到曲线 2 C C把 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度，得 到曲线 2 C D把 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得 到曲线 2 C 【答案】D 【解析】把 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，得到函数cos2yx图象
10、， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度， 得到函数 2 cos2()cos(2)sin(2) 1263 yxxx 的图象，即曲线 2 C，故选：D 2.（2020江苏卷）将函数 y= sin(2) 4 3x 的图象向右平移 6 个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴最近的对 称轴的方程是_. 【答案】 5 24 x 【解析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【详解】3sin2()3sin(2) 6412 yxx 7 2()()
11、 122242 k xkkZxkZ ,当1k 时 5 24 x ,故答案为： 5 24 x 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题. 题型题型三三由由图象求图象求 yAsin(x)的的解析解析式式 例例 5（2020新全国 1 山东）下图是函数 y= sin(x+)的部分图像，则 sin(x+)= （） A. sin( 3 x ）B. sin(2 ) 3 xC. cos(2 6 x ）D. 5 cos(2 ) 6 x 【答案】BC 【解析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确 结果. 【详解】由函数图像可知：
12、 2 2362 T ，则 22 2 T ，所以不选 A, 当 2 5 36 212 x 时，1y 53 22 122 kkZ ， 解得： 2 2 3 kk Z，即函数的解析式为： 2 sin 22sin 2cos 2sin2 36263 yxkxxx . 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 而 5 cos 2cos(2 ) 66 xx ,故选：BC. 玩转跟踪 1.（2020芮城县模拟）已知函数( )sin()(0,0,|) 2 f xAxA 的部分图象如图所示，( )f x关于点 ( ,
13、0)a对称，则|a的最小值为() A 12 B 6 C 3 D 5 12 【解答】解由图象易知，2A ， 4 11 () 3126 T ， 2，又22 62 k ，2() 6 kkZ ，| 2 ， 6 ， ( )2sin(2) 6 f xx ，()()0f axf ax，( )f x关于点( ,0)a对称， 即有2, 6 akkZ ，, 212 k akZ ，|a的最小值为 12 ，故选：A 2.(四川，6)函数 f(x)2sin(x) 0， 2 2的部分图象如图所示， 则，的值分别是() A2， 3 B2， 6 C4， 6 D4， 3 解析设该三角函数的周期为 T，则由图象可得 1 2T 1
14、1 12 5 12 1 2，所以 T 2 ，所以2.又图象 过点 5 12 ，2 ，所以 sin 5 6 1， 2 2 ，解得 3 .答案A 玩转练习 1.（2017山东）函数3sin2cos2yxx的最小正周期为() A 2 B 2 3 CD2 【答案】C 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【解析】函数3sin2cos22sin(2) 6 yxxx ，2，T， 故选：C 2.（2020眉山模拟）函数 22 ( )2cos(sincos )2f xxxx的单调递增区间是() A,() 4
15、4 kkkZ B 3 ,() 88 kkkZ C 5 ,() 88 kkkZ D 3 ,() 88 kkkZ 【解答】 解： 2222 ( )2cos(sincos )22cos12sin cos22cos1sin2sin2cos22sin(2) 4 f xxxxxxxxxxxx ， 由222 242 kxk ，kZ，得 3 222 44 kxk ，kZ， 即 3 88 kx k ，kZ，即函数的单调递增区间为 3 8 k ， 8 k ，kZ，故选：D 3.（2020五华区校级模拟）函数 22 ( )sincos2 3sin cosf xxxxx的最小值为() A2B3C2D1 【解答】解：因
16、为为 22 ( )sincos2 3sin coscos23sin22sin(2) 6 f xxxxxxxx ， 所以函数的最小值为2， 故选：A 4.（2020番禺区模拟）若 12 3 , 44 xx 是函数( )sin()(0)f xx 两个相邻的零点，则() A2B 3 2 C1D 1 2 【解答】解：由于 12 3 , 44 xx 是函数( )sin()(0)f xx 两个相邻的零点， 所以 3 2442 T ，解得T，所以 2 2 故选：A 5.（2020乌鲁木齐一模）已知函数 2 ( )2sin ()3sin(2)1 63 f xxx ，则下列判断正确的是() A( )f x的图象
17、关于 6 x 对称B( )f x为奇函数 C( )f x的值域为 3，1D( )f x在0, 3 上是增函数 【解答】解： 2 ( )2sin ()3sin(2)1 63 f xxx 11 3sin(2)cos(2) 33 xx2sin(2) 6 x ， 由于 6 x 时，函数值为 2 为函数的最大值，满足对称的性质，故A正确，故选：A 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 6 （2020桂林一模）将函数( )2sin(2) 6 f xx 的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再把所
18、得 图象向上平移 2 个单位长度，得到函数( )yg x的图象，则() A( )2sin(4)2 6 g xx B( )2sin(4)2 6 g xx C( )2sin()2 6 g xx D( )2sin()2 6 g xx 【解答】 解： 将函数( )2sin(2) 6 f xx 的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍， 得到2sin() 6 yx ， 再把所得图象向上平移 2 个单位长度，得到函数( )yg x的图象，即( )2sin()2 6 g xx ， 故选：C 7. （2020石家庄一模） 将函数 2 ( )3cossin cosf xxxx的图象横坐标变成原来的 2 倍，
19、 再向左平移(0)t t 个单位，所得函数( )g x关于 3 x 对称，则t的最小值为() A 3 B 6 C 5 6 D 2 3 【解答】 解： 2 1cos213133 ( )3cossin cos3sin2sin2cos2sin(2) 2222232 x f xxxxxxxx ， 将函数( )f x的图象横坐标变成原来的 2 倍，得到 3 sin() 32 yx ， 再向左平移(0)t t 个单位，所得函数( )g x，则 3 ( )sin() 32 g xxt ， 若关于 3 x 对称，则 332 tk ，得 6 tk ，0t ， 当1k 时，t取得最小值为 5 66 ，故选：C 8
20、.（2020株洲一模）若将函数( )2sin() 6 f xx 图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 （纵坐标不变） ，再向 下平移一个单位得到的函数( )g x的图象，函数( )(g x) A图象关于点( 12 ，0)对称B最小正周期是 2 C在(0,) 6 上递增D在(0,) 6 上最大值是 1 【解答】解：若将函数( )2sin() 6 f xx 图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 （纵坐标不变） ，再 则2sin(2) 6 yx ，向下平移一个单位得到的函数( )g x的图象， 则( )2sin(2)1 6 g xx ， .2()0 126 A ，则函数( )g x关于( 12
21、，1)对称，故A错误， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 B函数的周期 2 2 T ，故B错误， C当(0,) 6 x 时，2( 66 x ，) 2 ，此时函数( )g x为增函数，故C正确， D由C知当(0,) 6 x 时，2( 66 x ，) 2 ，此时函数无最大值，故D错误， 故选：C 9.（2020芜湖模拟）已知将曲线sin(2) 6 yx 向左平移(0) 个单位长度后，得到的曲线( )yg x经过 点( 12 ，1)，有下列四个结论： 函数( )g x的最小正周期T； 函数(
22、)g x在 11 12 ，17 12 上单调递增； 曲线( )yg x关于直线 6 x ； 曲线( )yg x关于点 2 ( 3 ，0)对称 其中所有正确的结论是() ABCD 【 解 答 】 解 ： 将 曲 线sin(2) 6 yx 向 左 平 移(0) 个 单 位 长 度 后 ， 得 到 sin2()sin(22) 66 yxx ， ( )yg x经过点( 12 ，1)，sin2()2sin(2)sin21 12666 ， 即22 2 k ， 则( )sin(22)sin(22)sin(2)cos(2) 626266 g xxxkxx ， 函数( )g x的最小正周期 2 2 T ；故正确
23、， 当 11 12 x ，17 12 时， 11 2 6 x ，17 6 ，22 6 x ，3 ，此时函数为减函数，即函数( )g x在 11 12 ， 17 12 上单调递增错误，故错误； 当 6 x 时，()cos(2)cos0 6662 g ，曲线( )yg x关于直线 6 x 不正确；故错误， 当 2 3 x 时， 223 ()cos(2)cos0 3362 g ，曲线( )yg x关于点 2 ( 3 ，0)对称，故正确， 故正确的是，故选：C 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨
24、10(2018 天津)将函数sin(2) 5 yx 的图象向右平移 10 个单位长度，所得图象对应的函数 A在区间 35 , 44 上单调递增B在区间 3 , 4 上单调递减 C在区间 53 , 42 上单调递增D在区间 3 ,2 2 上单调递减 【解析】把函数sin(2) 5 yx 的图象向右平移 10 个单位长度得函数 ( )sin2()sin2 105 g xxx 的图象， 由222 22 kxk (k Z)得 44 kxk (k Z)， 令1k ，得 35 44 x ， 即函数( )sin2g xx的一个单调递增区间为 35 , 44 ，故选 A 11.（2020江苏卷）将函数 y=
25、sin(2) 4 3x 的图象向右平移 6 个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴最近的 对称轴的方程是_. 【答案】 5 24 x 【解析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【详解】3sin2()3sin(2) 6412 yxx 7 2()() 122242 k xkkZxkZ ,当1k 时 5 24 x ,故答案为： 5 24 x 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题. 12.（2020天津卷）已知函数( )sin 3 f xx 给出下列结论： ( )f x的最小正周期为2； 2 f 是 ( )f x的最大值； 把函数 si
26、nyx 的图象上所有点向左平移 3 个单位长度，可得到函数( )yf x的图象 其中所有正确结论的序号是 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为( )sin() 3 f xx ，所以周期 2 2T ，故正确； 51 ()sin()sin1 22362 f ，故不正确； 将函数 sinyx 的图象上所有点向左平移 3 个单位长度，得到sin() 3 yx 的图象， 故正确.故选：B. 13.(
27、安徽高考)已知函数 f(x)(sin xcos x)2cos 2x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间 0， 2 上的最大值和最小值 解： (1)因为 f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2x1sin 2xcos 2x 2sin 2x 4 1， 所以函数 f(x)的最 小正周期为 T2 2 . (2)由(1)知，f(x) 2sin 2x 4 1.当 x 0， 2 时，2x 4 4， 5 4 ， 由正弦函数 ysin x 在 4， 5 4 上的图象知， 当 2x 4 2，即 x 8时，f(x)取得最大值 21；当 2x 4 5 4 ，即 x 2时，
28、f(x)取得最小值 0. 综上，f(x)在 0， 2 上的最大值为 21，最小值为 0. 14 （2016 年天津）已知函数( )4tan cos cos()3 3 f xxxx . ()求( )f x的定义域与最小正周期； ()讨论( )f x在区间, 4 4 上的单调性 【解析】()( )f x的定义域为 |, 2 x xkkZ ( )4tan cos cos()3 3 f xxxx 4sin cos()3 3 xx 13 4sin ( cossin )3 22 xxx 2 2sin cos2 3sin3xxx 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 sin23(1cos2 )3xxsin23cos2xx2sin(2) 3 x 所以( )f x的最小正周期 2 2 T 令2, 3 zx 函数2sinyz的单调递增区间是2,2,. 22 kkkZ 由222 232 kxk ,得 5 ,. 1212 kxkkZ 设 5 , 4 41212 ABxkxkkZ ，易知, 12 4 AB 所以, 当, 4 4 x 时,( )f x在区间, 12 4 上单调递增, 在区间 412 ，上单调递减
