1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点 21双曲线 1双曲线的概念 把平面内到两定点 F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线定点 F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距 用集合语言表示为：PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a，c 为常数且 a0，c0. 说明：定义中，到两定点的距离之差的绝对值小于两定点间距离非常重要令平面内一点到两定点 F1，F2 的距离的差的绝对值为 2a(a 为常数)，则只有当
2、2a|F1F2|，则点的轨迹不存在 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21 (a0，b0) y2 a2 x2 b21 (a0，b0) 图形 性 质 范围xa 或 xa，yRxR，ya 或 ya 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a) 渐近线yb ax ya bx 离心率ec a，e(1，)，其中 c a 2b2 实虚轴 线段 A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段 B1B2叫 作双曲线的虚轴， 它的长|B1B2|2b； a 叫作双曲线的实半轴长， b 叫作双曲线的虚半轴长 a、b、c 的关系
3、 c2a2b2(ca0，cb0) 说明：在双曲线的标准方程中，决定焦点位置的因素是 x2或 y2的系数若 x2系数为正，则焦点在 x 轴上， 若 y2的系数为正，则焦点在 y 轴上 3双曲线与椭圆的区别 (1) 定义表达式不同：在椭圆中|PF1|PF2|2a，而在双曲线中|PF1|PF2|2a； (2) 离心率范围不同：椭圆的离心率 e(0，1)，而双曲线的离心率 e(1，)； (3) a，b，c 的关系不同：在椭圆中 a2b2c2，ac；而在双曲线中 c2a2b2， ca 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公
4、众号玩转高中数学研讨 玩转典例 题型题型一一双曲线的定义和标准方程双曲线的定义和标准方程 例例 1（1）（2020日喀则市拉孜高级中学高三期末）到两定点 12 3,0 ,3,0FF的距离之差的绝对值等 于 6 的点M的轨迹为（） A椭圆B两条射线C双曲线D线段 （2）（2020甘肃省民乐县第一中学高三）已知双曲线 22 :1 25144 yx C的上、下焦点分别为 1 F， 2 F，点 P 在双曲线 C 上，若 2 14PF ，则 1 PF （） A38B24C38 或 10D24 或 4 【答案】（1）B（2）B 【解析】（1）到两定点 F1（3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于
5、6， 而|F1F2|6，满足条件的点的轨迹为两条射线故选 B （2）由题意可得5a ，12b ，13c ，因为 2 1418PFac，所以点 P 在双曲线 C 的下支上， 则 12 210PFPFa，故 1 24PF 故选：B. 例例 2（2020安徽）方程 22 1,() 22 xy kR kk 表示双曲线的充分不必要条件是（） A2k 或2k B1k C3k D1k 或1k 【答案】C 【解析】方程 22 1 22 xy kk 表示双曲线，可得( 2)(2)0kk ，解得2k 或2k ； 记集合 |2Ak k 或2k ；所以方程 22 1 22 xy kk 表示双曲线的充分不必要条件为集合
6、A的真子集， 由于 | 3k kA ，故选：C 例例 3（1）（2020江西高三期末）已知双曲线 22 1 7 xy m ，直线 l 过其左焦点 1 F，交双曲线左支于 A、B 两 点，且AB4， 2 F为双曲线的右焦点， 2 ABF的周长为 20，则 m 的值为（） A8B9C16D20 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 (2)（2020四川南充.高三期末）设 12 FF、分别是双曲线 2 2 1 3 y x 的两个焦点，P 是该双曲线上的一点，且 12 34PFPF，则 12 PFF
7、的面积等于 A5 3B2 10 C4 5D3 15 【答案】（1）B(2)D 【解析】（1）由已知，|AB|+|AF2|+|BF2|20，又|AB|4，则|AF2|+|BF2|16 据双曲线定义，2a|AF2|AF1|BF2|BF1|，所以 4a|AF2|+|BF2|（|AF1|+|BF1|）16412， 即 a3，所以 ma29，故选 B (2)设 12 | 4 ,| 3PFx PFx，则由双曲线的定义可得 12 |-| 4322,PFPFxxxa 故 12 | 8,| 6PFPF，又 12 4FF ，故 12 3664 167 2 6 o 8 c s 8 FPF ，故 12 15 sin
8、8 FPF ， 所以 12 PFF的面积为 115 6 83 15 28 .故选：D. 玩转跟踪 1 （2020全国高三课时练习）若 m 为实数，则“12m”是“曲线 C： 22 1 2 xy mm 表示双曲线”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若方程 22 1 2 xy mm 表示双曲线，则 (2)0m m ，得02m， 由12m可以得到02m，故充分性成立；由02m推不出12m，故必要性不成立； 则“12m”是“方程 22 1 2 xy mm 表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A 2.（2020宁夏兴庆.银川九中）已知 12 ,
9、F F是双曲线 22 (0)xym m的两个焦点，点P为该双曲线上一 点，若 12 PFPF，且 12 2 3PFPF，则m（） A1B 2 C 3 D3 【答案】A 【解析】双曲线 22 (0)xym m化为标准方程可得 22 1 xy mm 即,2am bm cm 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 由双曲线定义可知 12 2PFPFm,所以 22 1122 24PFPFPFPFm, 又因为 12 2 3PFPF,所以 22 1122 212PFPFPFPF, 由以上两式可得 22 1
10、2 26PFPFm,由 12 PFPF得 22 2 12 48PFPFcm, 所以826mm,解得1m ,故选:A. 3.（2020浙江瓯海.温州中学高三期末）双曲线 22 1 412 xy 的左右焦点分别为 1 F， 2 F，点在P双曲线上， 若 1 5PF ，则 2 PF （） A1B9 C1或9D7 【答案】B 【解析】双曲线 22 1 412 xy 的2,2 3,4 124abc， 点在P双曲线的右支上，可得 1 6PFac，点在P双曲线的左支上，可得 1 2PFca， 由 1 5PF 可得P在双曲线的左支上，可得 21 24PFPFa，即有 2 549PF .故选：B. 题型二题型二
11、双曲线的离心率双曲线的离心率 例例 4（2020江苏南京）在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P(4 3，0)到双曲线 C： 22 2 1 9 xy a 的一条渐近 线的距离为 6，则双曲线 C 的离心率为（） A2B4C 2 D 3 【答案】A 【解析】双曲线 C： 22 2 1 9 xy a 的一条渐近线为3 0 xay，则 2 12 3 6 9a ，解得 3a ， 2 3 2 3 c e a .故选：A. 玩转跟踪 1(湖南，6)若双曲线x 2 a2 y2 b21 的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为( ) A. 7 3 B.5 4 C.4 3 D.5 3 玩转数学培优题型
12、篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 解析由条件知 yb ax 过点(3，4)， 3b a 4，即 3b4a，9b216a2， 9c29a216a2，25a29c2，e5 3.故选 D. 答案D 2(四川，7)过双曲线 x2y 2 3 1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A，B 两点，则 |AB|() A.4 3 3 B2 3C6D4 3 解析右焦点 F(2，0)，过 F 与 x 轴垂直的直线为 x2，渐近线方程为 x2y 2 3 0，将 x2 代入渐近线方程 得 y212，y2
13、3，A(2，2 3)，B(2，2 3)，|AB|4 3. 答案D 3(浙江，9)如图，F1，F2是椭圆 C1：x 2 4 y21 与双曲线 C2的公共焦点，A，B 分别 是 C1， C2在第二、 四象限的公共点 若四边形 AF1BF2为矩形， 则 C2的离心率是() A. 2B. 3C.3 2 D. 6 2 解析根据椭圆的定义可得 AF1AF24，又根据勾股定理，得 AF21AF2212.解得 AF12 2，AF22 2.所以 C2的离心率为 2 3 （2 2）（2 2） 6 2 . 答案D 4(福建，5)已知双曲线x 2 a2 y2 5 1 的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于()
14、A.3 14 14 B.3 2 4 C.3 2 D.4 3 解析右焦点为(3，0)，c3，又c2a2b2a259， a24，a2，ec a 3 2. 答案C 5.（2019 天津理 5）已知抛物线 2 4yx 的焦点为F，准线为l，若l与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线分别交于点A和点B，且| 4|ABOF（O为原点），则双曲线的离心率为 A.2B. 3 C.2D. 5 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 解析解析 因为抛物线 2 4yx的焦点为F，准线为l
15、，所以1,0F，准线l的方程为1x . 因为l与双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的两条渐近线分别交于点A和点B，且4ABOF（O为原 点），所以 2b AB a ，1OF ，所以 2 4 b a ，即2ba， 所以 22 5caba，所以双曲线的离心率为5 c e a 故选 D 题型题型三三双曲线的双曲线的渐近线渐近线 例例 5（2019 江苏 7）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 2 2 2 1(0) y xb b 经过点（3，4)，则该双曲线 的渐近线方程是. 解析解析 因为双曲线 2 2 2 1(0) y xb b 经过点(3,4)，所以 2 2 16 31 b ，解得
16、 2 2b ，即2b 又1a ，所以该双曲线的渐近线方程是2yx 玩转跟踪 1.(2018 全国卷)双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为3，则其渐近线方程为 A2 yxB3 yx C 2 2 yxD 3 2 yx 【解析】解法一由题意知，3 c e a ，所以3ca，所以 22 2bcaa，所以2 b a ，所 以该双曲线的渐近线方程为2 b yxx a ，故选 A 解法二 由 2 1 ( )3 cb e aa ，得2 b a ，所以该双曲线的渐近线方程为2 b yxx a 故选 A 2.（2017 新课标）已知双曲线C： 22 22 1(0,0) xy ab ab
17、的一条渐近线方程为 5 2 yx,且与椭圆 22 1 123 xy 有公共焦点，则C的方程为 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 A 22 1 810 xy B 22 1 45 xy C 22 1 54 xy D 22 1 43 xy 【解析】由题意可得： 5 2 b a ，3c ，又 222 abc，解得 2 4a ， 2 5b ， 则C的方程为 2 1 45 xy 选 B 玩转练习 1.（2020北京卷）已知双曲线 22 :1 63 xy C，则 C 的右焦点的坐标为_；C 的焦点到其
18、渐近线的 距离是_ 【答案】(1).3,0(2). 3 【详解】在双曲线C中， 6a ， 3b ，则 22 3cab ，则双曲线C的右焦点坐标为3,0， 双曲线C的渐近线方程为 2 2 yx ，即20 xy， 所以，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为 2 3 3 12 .故答案为：3,0； 3. 2.（2020全国 1 卷）已知 F 为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点，A 为 C 的右顶点，B 为 C 上的点， 且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为_. 【答案】2 【详解】联立 22 22 222 1 xc xy ab abc ，解
19、得 2 xc b y a ，所以 2 b BF a . 依题可得，3 BF AF ，AFca ，即 2 22 3 b ca a caa ca ，变形得3caa，2ca, 因此，双曲线C的离心率为2.故答案为：2 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 3.（2020全国 3 卷）设双曲线 C： 22 22 1 xy ab （a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为5P 是 C 上一点，且 F1PF2P若PF1F2的面积为 4，则 a=（） A. 1B. 2C. 4D. 8 【答案】
20、A 【解析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案. 【详解】5 c a ， 5ca ，根据双曲线的定义可得 12 2PFPFa， 1 2 12 1 |4 2 PF F PFFSP ，即 12 |8PFPF， 12 FPF P， 22 2 12 |2PFPFc， 2 2 1212 24PFPFPFPFc，即 22 540aa ，解得1a ，故选：A. 4.（2020新全国 1 山东）已知曲线 22 :1C mxny.（） A. 若 mn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B. 若 m=n0，则 C 是圆，其半径为n C. 若 mn0，则 C 是两条直线 【
21、答案】ACD 【详解】对于 A，若0mn，则 22 1mxny可化为 22 1 11 xy mn ， 因为0mn，所以 11 mn ，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故 A 正确； 对于 B，若0mn，则 22 1mxny可化为 22 1 xy n ， 此时曲线C表示圆心在原点，半径为 n n 的圆，故 B 不正确； 对于 C，若0mn ，则 22 1mxny可化为 22 1 11 xy mn ，此时曲线C表示双曲线， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 由 22 0mxny可得 m yx
22、 n ，故 C 正确； 对于 D，若0,0mn，则 22 1mxny可化为 2 1 y n ， n y n ，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故 D 正确；故选：ACD. 5.（2020天津卷）设双曲线C的方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ，过抛物线 2 4yx的焦点和点(0, )b的直线 为l若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（） A. 22 1 44 xy B. 2 2 1 4 y x C. 2 2 1 4 x yD. 22 1xy 【答案】D 【详解】由题可知，抛物线的焦点为1,0，所以直线l的方程为1 y x b ，即直线的斜率为b
23、， 又双曲线的渐近线的方程为 b yx a ，所以 b b a ，1 b b a ，因为0,0ab，解得1,1ab 故选：D 6（2019新课标）双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为( ) A2sin40B2cos40C 1 sin50 D 1 cos50 【答案】D 【解析】双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的渐近线方程为 b yx a ， 由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130，得tan130tan50 b a ， 则 sin50 tan50 cos50 b a ， 22222 22222 501 11 5
24、050 bcacsin aaacoscos ， 得 2 2 1 50 e cos ， 1 cos50 e 7（2016新课标）已知方程 22 22 1 3 xy mnmn 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则n的 取值范围是() A( 1,3)B( 1, 3)C(0,3)D(0, 3) 【答案】A 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【解析】双曲线两焦点间的距离为 4，2c ， 当焦点在x轴上时，可得： 22 4()(3)mnmn，解得： 2 1m ， 方程 22 22 1 3
25、xy mnmn 表示双曲线， 22 ()(3)0mnmn，可得：(1)(3)0nn， 解得：13n ，即n的取值范围是：( 1,3) 当焦点在y轴上时，可得： 22 4()(3)mnmn ，解得： 2 1m ，无解 8（2019全国）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ，过C的左焦点且垂直于x轴的直线交C于M，N 两点，若以MN为直径的圆经过C的右焦点，则C的离心率为() A21B2C3D2 【答案】A 【解析】设双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左焦点为 1 F，右焦点为 2 F， 以MN为直径的圆恰好过双曲线的右焦点， 112 | |FMF
26、F， 2 2 b c a ， 22 2caac， 2 210ee ，21e ，1e ，21e 9（2019新课标） 已知F是双曲线 22 :1 45 xy C的一个焦点， 点P在C上，O为坐标原点 若| |OPOF， 则OPF的面积为() A 3 2 B 5 2 C 7 2 D 9 2 【答案】B 【解析】如图，不妨设F为双曲线 22 :1 45 xy C的右焦点，P为第一象限点 由双曲线方程可得， 2 4a ， 2 5b ，则 22 3cab， 则以O为圆心，以 3 为半径的圆的方程为 22 9xy 联立 22 22 9 1 45 xy xy ，解得 2 14 ( 3 P， 5) 3 155
27、 3 232 OPF S 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 10 （2019新课标）双曲线 22 :1 42 xy C的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点若 | |POPF，则PFO的面积为() A 3 2 4 B 3 2 2 C2 2D3 2 【答案】A 【解析】双曲线 22 :1 42 xy C的右焦点为( 6F，0)，渐近线方程为： 2 2 yx ，不妨P在第一象限，可 得 2 tan 2 POF， 6 ( 2 P， 3) 2 ，所以PFO的面积为： 133 2 6
28、224 11（2019新课标）设F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的 圆与圆 222 xya交于P，Q两点若| |PQOF，则C的离心率为() A2B3C2D5 【答案】A 【解析】如图， 以OF为直径的圆的方程为 22 0 xycx，又圆O的方程为 222 xya， PQ所在直线方程为 2 a x c 把 2 a x c 代入 222 xya，得 2ab PQ c ， 再由| |PQOF，得 2ab c c ，即 2224 4()a cac， 2 2e，解得2e 12（2018天津）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab
29、 ab 的离心率为 2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲 线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 1 d和 2 d，且 12 6dd，则双曲线 的方程为() A 22 1 39 xy B 22 1 93 xy C 22 1 412 xy D 22 1 124 xy 【答案】A 【解析】由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 b yx a ，即0bxay，( ,0)F c，ACCD，BDCD，FECD，ACDB是梯形， F是AB的
30、中点， 12 3 2 dd EF ， 22 bc EFb ab ， 所以3b ，双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为 2，可得2 c a ， 可得： 22 2 4 ab a ，解得3a 则双曲线的方程为： 22 1 39 xy 故选：A 13（2018新课标）已知双曲线 2 2 :1 3 x Cy，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的 两条渐近线的交点分别为M，N若OMN为直角三角形，则| (MN ) A 3 2 B3C2 3D4 【答案】B 【解析】双曲线 2 2 :1 3 x Cy的渐近线方程为： 3 3 yx ，渐近线的夹角为：60，不妨设过(2,0)
31、F的直 线为：3(2)yx，则 3 3 3(2) yx yx 解得 3 (2M， 3) 2 ， 3 3 3(2) yx yx 解得：(3, 3)N，则 22 33 |(3)( 3)3 22 MN 14（2017全国）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为( ,0)F c，直线()yk xc与C的右支 有两个交点，则() A| b k a B| b k a C| c k a D| c k a 【答案】B 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【解析】双曲线 22
32、 22 :1(0,0) xy Cab ab 的渐近线方程为 b yx a ， 由直线()yk xc与C的右支有两个交点，且直线经过右焦点F，可得| b k a 15（2017天津）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点为F，离心率为2若经过F和(0,4)P两 点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为() A 22 1 44 xy B 22 1 88 xy C 22 1 48 xy D 22 1 84 xy 【答案】B 【解析】设双曲线的左焦点(,0)Fc，离心率2 c e a ，2ca， 则双曲线为等轴双曲线，即ab，双曲线的渐近线方程为 b yxx a ，
33、 则经过F和(0,4)P两点的直线的斜率 404 0 k cc ， 则 4 1 c ，4c ，则2 2ab，双曲线的标准方程： 22 1 88 xy 16（2017新课标）已知F是双曲线 2 2 :1 3 y C x 的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则APF的面积为() A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 2 【答案】D 【解析】由双曲线 2 2 :1 3 y C x 的右焦点(2,0)F，PF与x轴垂直，设(2, )y，0y ，则3y ， 则(2,3)P，APPF，则| 1AP ，| 3PF ，APF的面积 13 | 22 SAPPF， 同理当0y 时，则APF的面积 3 2 S
