1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点 26圆的方程 玩前必备 1圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆确定一个圆最基本的要素是圆心和半径 2. 圆的标准方程 (1) 以(a，b)为圆心，r (r0)为半径的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2 (2) 特殊的，以(0，0)为圆心，r (r0)为半径的圆的标准方程为 x2y2r2 3. 圆的一般方程 方程 x2y2DxEyF0 可变形为 xD 2 2 yE 2 2 D 2E24F 4 . (1) 当 D2E24F0 时
2、，方程表示以 D 2 ，E 2 为圆心， D2E24F 2 为半径的圆； (2) 当 D2E24F0 时，该方程表示一个点 D 2 ，E 2 ； (3) 当 D2E24F0 时，该方程不表示任何图形 4. 直线与圆的位置关系的判断方法 设直线 l：AxByC0(A，B 不全为 0)，圆为(xa)2(yb)2r2(r0)，d 为圆心(a，b)到直线 l 的距离， 联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为. 方法 位置关系 几何法代数法 相交d0 相切dr0 相离dr0)，圆 O2：(xa2)2(yb2)2r22(r20)圆心距 O1O2d，则 方法 位置关系 几何法： 圆心距d与r
3、1， r2的关系 代数法：两圆方程联立 组成方程组的解的情况 两圆公切线的条数 相离dr1r2无解4 外切dr1r2一组实数解3 相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解2 内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解1 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 内含0d|r1r2|(r1r2)无解0 6求圆的弦长的常用方法 (1)几何法：设圆的半径为 r，弦心距为 d，弦长为 l，则(l 2) 2r2d2. (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： 设直线与圆的交点为 A(x1，y1)，B
4、(x2，y2)， 则|AB| 1k2|x1x2| （1k2）（x1x2）24x1x2. 注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题 玩转典例 题型一题型一求圆的方程求圆的方程 例例 1（2020河南濮阳.高三期末）若圆 C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与 y 轴相切，则圆 C 的方程为() A(x2)2(y2)23B(x2)2(y 3)23 C(x2)2(y2)24D(x2)2(y 3)24 答案D 解析因为圆 C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线 x2 上，又圆与 y 轴相切，所以半径 r2，设圆心 坐标为(2，b)，则(12)2b24，b23，b 3，选 D 玩转跟踪 1 (
5、1)圆心在 y 轴上且经过点(3，1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是() Ax2y210y0Bx2y210y0 Cx2y210 x0Dx2y210 x0 (2) 已知圆 C 经过 A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则圆 C 的方程为_ 答案(1)B(2) (x2)2y210 解析(1)设圆心为(0，b)，半径为 r，则 r|b|，圆的方程为 x2(yb)2b2. 9(1b)2b2，解得：b5.圆的方程为 x2y210y0. (2) 设圆心坐标为(a,0)，易知 a5212 a1232， 解得 a2，圆心为(2,0)，半径为 10，圆 C 的方程为(x2)2y210. 题型题
6、型二二判断直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系 例例 2（2020福建高三期末）若直线 :1(0)l ykxk与圆 22 :423 0C xx yy 相切，则直线 l 与圆 22 :(2)3D xy的位置关系是（ ） A相交B相切C相离D不确定 【答案】A 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【解析】圆C的方程可化为 22 212xy，故圆心为2,1C ，半径2 C r .由于直线l： 10kxy 和圆C相切，所以 2 21 1 2 1 k k ，结合k0解得1k ，所以直线l的方程为
7、 10 xy ，即10 xy .圆D的圆心为2,0D，半径为3 D r ，D到直线l的距离为 20 12 3 22 ，所以直线l与圆D相交.故选：A 玩转跟踪 1（2020包头市田家炳中学高三期中）直线 yx1 与圆 x2+y21 的位置关系为（） A相切B相离 C直线过圆心D相交但直线不过圆心 【答案】D 【解析】圆 x2+y21 的圆心坐标为(0,0)O，半径为 1， 因为圆心 (0,0)O 到直线 yx1 的距离为： 22 0 10 ( 1) 12 1 2 11 ， 所以直线 yx1 与圆 x2+y21 相交， 因为00 1，所以直线 yx1 与圆 x2+y21 的位置关系为相交但直线不
8、过圆心. 故选：D 题型题型三三直线与圆相交弦长问题直线与圆相交弦长问题 例例 3在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x2y30 被圆(x2)2(y1)24 截得的弦长为_ 答案 2 55 5 解析因为圆心(2，1)到直线 x2y30 的距离 d|223| 5 3 5，所以直线 x2y30 被圆截得的 弦长为 249 5 2 55 5 . 玩转跟踪 1（2020河南濮阳）斜率为 1 的直线 l 被圆 x2+y24x 截得的弦长为 4，则 l 的方程为（） Ayx3Byx+3Cyx2Dyx+2 【答案】C 【解析】由题设知圆心的坐标为（2，0），半径 r2，又弦长为 42r，所以直线 l 过圆心
9、（2，0），且斜 率为 1，直线 l 的方程为 yx2.故选：C. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 题型题型四四直线与圆相切问题直线与圆相切问题 例例 4过点 P(2,4)引圆(x1)2(y1)21 的切线，则切线方程为_； 答案x2 或 4x3y40 解析当直线的斜率不存在时，直线方程为 x2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符 合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为 y4k(x2)，即 kxy42k0，直线与圆相切，圆心到直线 的距离等于半径，即 d|k142k|
10、 k212 |3k| k211， 解得 k4 3，所求切线方程为 4 3xy42 4 30， 即 4x3y40.综上，所求切线方程为 x2 或 4x3y40. 玩转跟踪 1.过坐标原点且与圆 x24xy220 相切的直线方程为_ 答案yx 解析圆的标准方程为(x2)2y22.则圆心(2,0)，半径 r 2.设直线方程为 ykx.则 |2k| k21 2，解得 k 1，所以直线方程为 yx. 题型题型五五圆与圆的位置关系问题圆与圆的位置关系问题 例例 5（2020湖南张家界.高三期末）已知圆 22 :(3)(4)4Mxy与圆 22 :9N xy，则两圆的位 置关系为（） A内切B外切C相交D外离
11、 【答案】B 【解析】因为圆 22 :(3)(4)4Mxy的圆心为3, 4M，半径为 1 2r ； 圆 22 :9N xy的圆心为0,0N，半径为 2 3r ，因此圆心距为 12 9 165MNrr， 所以两圆外切.故选：B. 玩转跟踪 1.（2020贵州省思南中学高一期末）圆 x2+y2-2x-3=0 与圆 x2+y2-4x+2y+3=0 的位置关系是（） A相离B内含 C相切D相交 【答案】D 【解析】由于圆 x2+y22x30 的圆心为（1，0），半径等于 2， 而圆 x2+y24x+2y+30 即（x2）2+（y+1）22，表示以（2，1）为圆心，半径等于 2的圆 玩转数学培优题型篇安
12、老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 由于两个圆的圆心距为： 22 (2 1)( 1 0)2 ，2 2222 ，故两个圆相交，故选D 2.过两圆 x2y26x4y0 及 x2y24x2y40 的交点的直线方程是() Axy20Bxy20C5x3y20D不存在 答案A 解析过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为 x2y26x4y(x2y24x2y 4)0，即 xy20 玩转练习 1.（2019全国）若直线5x 与圆 22 60 xyxa相切，则(a ) A13B5C5D13 【答案】B 【解析】
13、根据题意，圆 22 60 xyxa即 22 (3)9xya， 其圆心为(3,0)，半径9ra， 若直线5x 与圆 22 60 xyxa相切，则圆的半径532r ， 则有92a，解可得：5a 2.（2018新课标）直线20 xy分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆 22 (2)2xy上，则 ABP面积的取值范围是() A2，6B4，8C 2，3 2D2 2，3 2 【答案】A 【解析】直线20 xy分别与x轴，y轴交于A，B两点， 令0 x ，得2y ，令0y ，得2x ，( 2,0)A，(0, 2)B，|442 2AB ， 点P在圆 22 (2)2xy上，设(22cosP，2sin )，
14、点P到直线20 xy的距离： |2sin()4| |22cos2sin2| 4 22 d ， sin() 1 4 ，1， |2sin()4| 4 2,3 2 2 d ， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 ABP面积的取值范围是： 1 2 22 2 ， 1 2 23 22 2 ，6 3（2016山东）已知圆 22 :20(0)M xyaya截直线0 xy所得线段的长度是2 2，则圆M与圆 22 :(1)(1)1Nxy的位置关系是() A内切B相交C外切D相离 【答案】B 【解析】圆的标准方
15、程为 222 :()(0)M xyaa a，则圆心为(0, )a，半径Ra， 圆心到直线0 xy的距离 2 a d ， 圆 22 :20(0)M xyaya截直线0 xy所得线段的长度是2 2， 22 222 2222 2 22 aa Rda，即 2 2 2 a ，即 2 4a ，2a ， 则圆心为(0,2)M，半径2R ，圆 22 :(1)(1)1Nxy的圆心为(1,1)N，半径1r ， 则 22 112MN ，3Rr，1Rr，RrMNRr，即两个圆相交 4（2016北京）圆 22 (1)2xy的圆心到直线3yx的距离为() A1B2C2D2 2 【答案】C 【解析】圆 22 (1)2xy的
16、圆心为( 1,0)， 圆 22 (1)2xy的圆心到直线3yx的距离为 | 13| 2 2 d 5（2016新课标）圆 22 28130 xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1，则(a ) A 4 3 B 3 4 C3D2 【答案】A 【解析】圆 22 28130 xyxy的圆心坐标为：(1,4)， 故圆心到直线10axy 的距离 2 |41| 1 1 a d a ，解得： 4 3 a ，故选A 6. （2019浙江） 已知圆C的圆心坐标是(0,)m， 半径长是r 若直线230 xy与圆C相切于点( 2, 1)A ， 则m ，r 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群
17、（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【答案】2，5 【解析】由圆心与切点的连线与切线垂直，得 11 22 m ，解得2m 圆心为(0, 2)，则半径 22 ( 20)( 12)5r 7.（2018新课标）直线1yx与圆 22 230 xyy交于A，B两点，则|AB 【答案】2 2 【解析】圆 22 230 xyy的圆心(0, 1)，半径为：2， 圆心到直线的距离为： |01 1| 2 2 ，所以 22 | 2 2( 2)2 2AB 8.（2020天津卷）已知直线380 xy和圆 222( 0)xyrr相交于,A B两点若| 6AB ，则r 的值为
18、_ 【答案】5 【详解】因为圆心0,0到直线380 xy的距离 8 4 1 3 d ， 由 22 | 2ABrd 可得 22 624r ，解得=5r故答案为：5 9 （2020江苏建邺.高三期中）已知圆 22 1216960 xyxy圆心为C，O为坐标原点，则以OC为 直径的圆的标准方程为_. 【答案】 22 3425xy 【解析】圆C的标准方程为 22 684xy，则点6, 8C， 线段OC的中点为3, 4M，且 2 2 6810OC ， 因此，以OC为直径的圆的标准方程为 22 3425xy. 故答案为： 22 3425xy. 10（2020景东彝族自治县第一中学高三月考）圆 C 的圆心为
19、点8, 3，且经过点5,1A，则圆 C 的方 程为_. 【答案】 22 8325xy 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【解析】由于圆 C 的圆心为点8, 3，且经过点5,1A， 圆的半径为r，则 22 2 853 125r , 所以圆的方程为 22 8325xy，故答案为： 22 8325xy. 11. （2020开封市第二十五中学高三期末） 若直线0 xy与圆 22 12xmy 相切， 则m（） A1B1C1或 3D3或 1 【答案】D 【解析】由题意，圆心坐标为( ,1)m，半径为
20、 2，因为直线 0 xy与圆 22 12xmy 相切， 所以，圆心到直线的距离等于半径，所以 1 2 2 m ，解得1m 或3m 故选：D 12.（2020江苏泰州.高三期末）过点( 3,1)P且与圆 22 4xy相切的直线方程_ 【答案】340 xy 【解析】因为点( 3,1)P在圆上，则过圆上点的切线方程为 00 434xxyyxy 化为一般式即为340 xy 13.（2020勃利县高级中学高三期末）若圆心坐标为2, 1的圆被直线10 xy 截得的弦长为2 2，则 这个圆的方程是（） A 22 212xyB 22 218xy C 22 214xyD 22 2112xy 【答案】C 【解析】
21、由题意得这个设圆的方程为: 22 2 21xyR 圆心到弦的距离为 2 211 2 11 d . 因为圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理. 所以 22 222r .所以圆的方程为： 22 214xy故选：C 14（2020黑龙江高三期末）圆 M：x2+y2+4x0 与圆 N：(x+6)2+(y3)29 的位置关系是（） A内切B相交C外切D相离 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【答案】C 【解析】 圆M的标准方程为 22 (2)4xy， 圆心为( 2,0)M ， 半径为2R ， 圆N的圆心为( 6,3)N ， 半径为3r ， 22 ( 26)(03)5MNRr ，两圆外切故选：C 15 （2020广东高三期末） 已知圆 C1： x2+y2+2x4y+40， 圆 C2： x2+y24x+4y10， 则圆 C1与圆 C2（） A相交B外切C内切D外离 【答案】D 【解析】 22 1: 121Cxy，圆心 1 1,2C ，半径 1 1r ， 22 2: 229Cxy，圆心 2 2, 2C ，半径 2 3r ，所以两圆心的距离 22 1212 1 2225+4CCr r ，所以圆 C1与 圆 C2外离.故选：D.
