1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 考点考点 6 6数列求通项数列求通项 玩前必备 1等差等比数列求 an的方法 列关于首项和公差或公比的方程組. 2已知数列的前 n 项和 Sn，求 an的方法 (1)第一步，令 n=1,求出 a1S1； (2)第二步，当 n2 时，求 anSnSn1； (3)第三步，检验 a1是否满足 n2 时得出的 an，如果适合，则将 an用一个式子表示；若不适合，将 an用分 段形式写出。 3已知 an与 Sn的关系式，求 an的方法 (1)第一步，令 n=1,求出 a1S1； (2)第二步，当 n2 时，根据已有 an与 Sn的关系式，令 nn1(或 nn1)，再写出
2、一个 an+1与 Sn+1(或 an 1与 Sn1)的关系式，然后两式相减，利用公式 anSnSn1消去 Sn，得出 an与 an+1(或 an与 an1)的关系式， 从而确定数列an是等差数列、等比数列或其他数列，然后求出通项公式。 4累加法求通项 5. 累乘法求通项 玩转典例 题型一由数列的前n项和Sn求数列的通项 例 1已知下面数列an的前 n 项和 Sn，求an的通项公式： (1)Sn2n23n； (2)Sn3nb. (3)已知数列an满足 a12a23a3nan2n，则 an. 解(1)a1S1231，当 n2 时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于 a1
3、也 适合此等式，an4n5. (2)a1S13b，当 n2 时，anSnSn1(3nb)(3n 1b)23n1. 当 b1 时，a1适合此等式当 b1 时，a1不适合此等式 当 b1 时，an23n 1；当 b1 时，an 3b，n1， 23n 1，n2. （3）当 n1 时，由已知，可得 a1212， a12a23a3nan2n， 故 a12a23a3(n1)an12n 1(n2)， 由得 nan2n2n 12n1， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 an2 n1 n .显然当 n1 时不满足上式，an 2，n1， 2n 1 n ，n2. 例例 2(2018 全国卷)记 n S为数列 n a
4、的前n项和，若21 nn Sa，则 6 S _ 【解析】 因为21 nn Sa，所以当1n时， 11 21aa，解得 1 1 a， 当2n时， 11 21 21 nnnnn aSSaa，所以 1 2 nn aa， 所以数列 n a是以1为首项，2 为公比的等比数列，所以 1 2 n n a， 所以 6 6 1 (1 2 ) 63 1 2 S 例例 3(2015新课标全国卷)Sn为数列an的前 n 项和已知 an0，a2n2an4Sn3. (1)求an的通项公式； (2)设 bn 1 anan1，求数列b n的前 n 项和 听前试做(1)由 a2n2an4Sn3，可知 a2n12an14Sn13
5、. ，得 a2n1a2n2(an1an)4an1，即 2(an1an)a2n1a2n(an1an)(an1an) 由 an0，得 an1an2.又 a212a14a13，解得 a11(舍去)或 a13. 所以an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an2n1，nN*. (2)由 an2n1 可知 bn 1 anan1 1 2n12n3 1 2 1 2n1 1 2n3 . 设数列bn的前 n 项和为 Tn，则 Tnb1b2bn 1 2 1 3 1 5 1 5 1 7 1 2n1 1 2n3 n 32n3. 玩转跟踪 1已知数列an的前 n 项和 Sn3n22n1，则其通项公式为_
6、答案an 2，n1， 6n5，n2 解析当 n1 时，a1S13122112； 当 n2 时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)1 6n5，显然当 n1 时，不满足上式故数列的通项公式为 an 2，n1， 6n5，n2. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 2.（2020福建省泉州市高三质检（理） ）记 n S为数列 n a的前 n 项和.已知0 n a ， 2 634 nnn Saa. （1）求 n a的通项公式； （2）设 22 1 1 nn n nn aa b a a ，求数列 n b的前 n 项和 n T. 【答案】 （1）31 n an（2） 9 2 4 34 n n T
7、n n 【解析】 （1）当1n 时， 2 111 634Saa，所以 1 4a 或 1（不合，舍去）. 因为 2 634 nnn Saa，所以当2n时， 2 111 634 nnn Saa ， 由得 22 11 633 nnnnn aaaaa ，所以 11 30 nnnn aaaa . 又0 n a ，所以 1 3 nn aa .因此 n a是首项为 4，公差为 3 的等差数列. 故43131 n ann. （2）由（1）得 22 313433 2 31 343134 n nn b nnnn ， 所以 333333 222 471031347 n T nn 3333339 22 4771031
8、344 34 n nn nnn 3.(2019 衡水 2 调）已知数列 n a满足： 21 123 1 333() 3 n n n aaaanN . （1）求数列 n a的通项公式； 解： （1）数列 n a满足 21 123 1 333() 3 n n n aaaanN ， 所以2n 时， 2 121 33, 3 n n n aaa 相减可得 1 1 3, 3 n n a 所以 1 . 3 n n a n=1 时, 1 2 . 3 a 综上可得 2 ,1, 3 1 ,2. 3 n n n a n （5 分） 题型二利用累加法 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 例 4(2015江苏)设数列an
9、满足 a11，且 an1ann1(nN*)，则数列 1 an前 10 项的和为_. 20 11 玩转跟踪 1已知数列an中，a13，a25，其前 n 项和 Sn满足 SnSn22Sn12n-1(n3)，试求数列an的通项 公式. 解由 SnSn22Sn12n 1得： SnSn1Sn1Sn22n 1，anan 12n 1 (n3). a2a1532，a3a2224，a4a38， anan12n 1， 以上各式相加得：ana1242n 1， ana12n232n22n1，an2n1 (n1). 题型三利用累乘法 例 5已知数列an满足：a11,2n 1anan 1(nN 且 n2)，则数列an的通
10、项公式是_. 解析n2 时， an an1 1 2n 1， a2 a1 1 2， a3 a2 1 42 2，an an12 1n，以上各式相乘得 a2 a1 a3 a2 an an12 1222n1an a12 2 1)(nn ，an2 n1 n 2 (n2). 又a11 满足 an2 n1 n 2 .an2 n1 n 2 (n1). 玩转跟踪 1.（2020眉山模拟）已知数列 n a的前n项和为 n S，且 1 41 21 n n S a n ， 1 1a ， * nN，则 n a的通项公式 ( n a ) AnB1n C21n D21n 【解答】解： 1 41 21 n n S a n ，
11、 1 (21)41 nn naS ， 1 (23)41(2) nn naSn ， 得： 1 (21)(23)4(2) nnn nanaa n ，整理得： 1 21( 2) 21 n n an n an ， 1232 1 12321 nnn n nnn aaaaa aa aaaaa 21 23 255 3 1 23 25 273 1 nnn nnn 21(2)nn， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 又 1 1a ，符合上式，21 n an故选：C 题型四证明等差等比求通项 例 6（2020江西省名高三第二次大联考（理） ）已知首项为 4 的数列 n a满足 1 1 22 1 n n n na
12、a n . （1）证明：数列 2 n n na 是等差数列. （2）令 2 log nn ba，求数列 n b的前n项和 n S. 【答案】 （1）见解析； （2） 2 1 log1 2 n n n Sn 【解析】 （1）证明：因为 1 1 22 1 n n n na a n ，所以 1 1 122n nn nana ， 所以 1 1 1 1 22 n n nn nana ，所以 1 1 1 1 22 n n nn nana .因为 1 4a ，所以 1 2 2 a . 故数列 2 n n na 是首项为 2，公差为 1 的等差数列. （2）解：由（1）可知1 2 n n na n，则 1 2
13、n n n a n . 因为 2 log nn ba，所以 2222 111 log2loglog 2log nn n nnn bn nnn ， 则 123nn Sbbbb 2222 341 log 2 1log2log3log 23 n n n 2222 341 log 2logloglog123 23 n n n 2 1 log1 2 n n n . 玩转跟踪 1. （2020 届山东省济宁市第一中学高三二轮检测） 已知数列 n a中， 1 1a ， 1 21 nn aan ， nn ban. （1）求证：数列 n b是等比数列; （2）求数列 n a的前n项和 n S. 【答案】 （1）
14、证明见解析 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 （2） 1 1 22 2 n n nn S 【解析】 （1）证明：因为 1 21, nnnn aanban 所以 11 121122 nnnnn banannanb , 又因为 11 120ba ,则 1 2 n n b b , 所以数列 n b是首项为 2,公比为 2 的等比数列. （2）由（1）知2n nn anb,所以2n n an, 所以 23 2 122232n n Sn 23 2222123 n n 1 2 12 11 22 1222 n n nnnn 玩转练习 1(2020三明质检)若 Sn为数列an的前 n 项和，且 Sn2an2，
15、则 S8等于() A255B256C510D511 答案C 解析当 n1 时，a1S12a12，据此可得 a12，当 n2 时，Sn2an2，Sn12an12， 两式作差可得 an2an2an1，则 an2an1，据此可得数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 其前 8 项和为 S82(12 8) 12 2925122510. 2(2020长春五校模拟)已知数列an的前 n 项和 Snn22n，则数列 1 anan1的前 6 项和为() A. 2 15 B. 4 15 C. 5 11 D.10 11 答案A 解析数列an的前 n 项和 Snn22n，Sn1n21，两式作差得到 an2n
16、1(n2)， 又当 n1 时，a1S112213，符合上式，所以 an2n1， 1 anan1 1 (2n1)(2n3) 1 2 1 2n1 1 2n3 裂项求和得到 S61 2 1 3 1 5 1 15 2 15，故选 A. 3. 如果数列an的前 n 项和 Sn3 2a n3，那么这个数列的通项公式是() Aan2(n2n1)Ban32nCan3n1Dan23n 答案D 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 解析由已知可得：a16，a218，由此可排除 A、B、C 4已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，Sn2an1，则 Sn() A2n 1 B(3 2) n1 C(2 3) n1 D
17、1 2n 1 答案B 解析当 n1 时，S12a2，又因 S1a11，所以 a21 2，S 211 2 3 2.显然只有 B 项符合 5设数列an的前 n 项和 Snn2，则 a8的值为() A15B16C49D64 答案A 解析a1S11，anSnSn1n2(n1)22n1(n2)a828115.故选 A 6. （2020涪城区校级模拟） 已知数列 n a中， 1 2a ， 2 1a ， 且满足 11 112 (2) 111 nnn n aaa ， 则( n a ) A 5 1 n n B 2 2nC3nD 6 2n 【解答】解： 11 112 (2) 111 nnn n aaa ， 数列
18、1 1 n a 是等差数列，其首项为 11 213 ，公差 21 11111 11236 d aa ， 1111 (1) 1366 n n n a ， 6 1 1 n a n ， 5 1 n n a n 故选：A 7若数列an满足 a11，an12nan，则数列an的通项公式 an_. 答案 (1) 2 2 n n 解析由于an 1 an 2n，故a2 a12 1，a3 a22 2， an an12 n1，将这 n1 个等式叠乘，得 an a12 12(n1) (1) 2 2 n n ，故 an (1) 2 2 n n . 8在数列an中，a11，an1an2n1，则数列的通项 an_. 答案
19、n2 解析an1an2n1. an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1(2n1)(2n3)531n2(n2) 当 n1 时，也适用 ann2. 9已知 Sn为正项数列an的前 n 项和，且满足 Sn1 2a 2 n1 2a n(nN*) (1)求 a1，a2，a3，a4的值； 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 (2)求数列an的通项公式 解：(1)由 Sn1 2a 2 n1 2a n(nN*)，可得 a11 2a 2 11 2a 1，解得 a11； S2a1a21 2a 2 21 2a 2，解得 a22；同理，a33，a44. (2)Sn1 2a 2 n1 2a n，当
20、n2 时，Sn11 2a 2 n11 2a n1， 得(anan11)(anan1)0.由于 anan10， 所以 anan11，又由(1)知 a11， 故数列an是首项为 1，公差为 1 的等差数列，故 ann. 10已知数列an满足 a11，an12an1(nN*) (1)求证：数列an1是等比数列，并写出数列an的通项公式； (2)若数列bn满足 1 1 4b 2 1 4b 3 1 4b 1 4 n b (an1)n，求数列bn的前 n 项和 Sn. 解析(1)证明：an12an1，an112(an1)， 又 a11，a1120，an10，an 11 an1 2， 数列an1是首项为 2
21、，公比为 2 的等比数列an12n，可得 an2n1. (2)解： 1 1 4b 2 1 4b 3 1 4b 1 4 n b (an1)n， 2 123 (.) 42 n bbbbnn ，2(b1b2b3bn)2nn2， 即 2(b1b2b3bn)n22n，Snb1b2b3bn1 2n 2n. 11.（2020福清市一模）已知数列 n a的前n项和为 n S，满足22 nn aS （）求 n a （）若数列 n b满足 * 1 4 () n n nn a bnN S S ， n b的前n项和 n T 【解答】解： （1）22 nn aS2n时， 11 22 nn aS ，可得： 1 220 n
22、nn aaa ，可得： 1 2 nn aa 1n 时， 11 22aa，解得 1 2a ，数列 n a是首项公比都为 2 的等比数列 2n n a （2）由（1）可得： 2(21) 2(21) 2 1 n n n S 11 211 (21)(21)2121 n n nnnn b 数列 n b的前n项和 22311 1111111 1 21212121212121 n nnn T 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 12 （2020邵阳一模）已知正项数列 n a中， 1 1a ， 22 11 230 nnnn aaaa （1）求数列 n a的通项公式； （2）若数列 nn ba是等差数列，且 1 2b ， 3 14b ，求数列 n b的前n项和 n S 【解答】解： （1）正项数列 n a中， 1 1a ， 22 11 230 nnnn aaaa 11 (3)()0 nnnn aaaa ， 1 3 nn aa ，数列 n a为等比数列 1 3n n a （2）设等差数列 nn ba的公差为d，且 1 2b ， 3 14b ， 2 143212d ，解得2d 12(1)21 n cnn 数列 n b的前n项和 21 (1321)1333n n Sn 2 (121)3131 222 nn nn n
