1、第 1 页 第一单元第一单元负数负数 1、负数的由来： 为了表示相反意义的两个量（如盈利亏损、收入支出） ，光有学过的 013.4 2 5 是远远不够的。所以出现了负数，以盈利为正、亏损为负；以收入为正、支出为负 2、负数负数：小于 0 的数叫负数（不包括 0） ，数轴上 0 左边的数叫做负数。 若一个数小于 0，则称它是一个负数。负数有无数个，其中有（负整数，负分数和负小数） 负数的写法：数字前面加负号“-”号，不可以省略例如：-2，-5.33，-45，-2 5 3、正数正数：大于 0 的数叫正数（不包括 0） ，数轴上 0 右边的数叫做正数 若一个数大于 0，则称它是一个正数。正数有无数个
2、，其中有（正整数，正分数和正小数） 正数的写法：数字前面可以加正号“+”号，也可以省略不写。例如：+2，5.33，+45，2 5 4、0 0 既不是正数，也不是负数，它是正、负数的分界限既不是正数，也不是负数，它是正、负数的分界限 负数都小于 0，正数都大于 0，负数都比正数小，正数都比负数大 5、数轴： 负数0正数 左边右边 6、比较两数的大小： 利用数轴：负数0正数或左边右边 利用正负数含义：正数之间比较大小，数字大的就大，数字小的就小。负数之间比较大小， 数字大的反而小，数字小的反而大 1 3 1 6 -1 3 -1 6 第二单元第二单元 百分数百分数(二) （一（一） 、折扣和成数、折
3、扣和成数 1、折扣：用于商品，现价是原价的百分之几，叫做折扣。通称“打折” 。 几折就是十分之几，也就是百分之几十。例如八折= 8 10 =80，六折五=6.5 10 = 65 100 =65 解决打折的问题，关键是先将打的折数转化为百分数或分数， 然后按照求比一个数多（少）百分之几（几分之几）的数的解题方法进行解答 正负 分界 0 正 负 分界 第 1 页 商品现在打八折：现在的售价是原价的 80 商品现在打六折五：现在的售价是原价的 65 2、成数： 几成就是十分之几，也就是百分之几十。例如一成= 1 10 =10，八成五=8.5 10 = 85 100 =80 解决成数的问题，关键是先将
4、成数转化为百分数或分数， 然后按照求比一个数多（少）百分之几（几分之几）的数的解题方法进行解答 这次衣服的进价增加一成：这次衣服的进价比原来的进价增加 10 今年小麦的收成是去年的八成五：今年小麦的收成是去年的 85 （二（二） 、税率和利率、税率和利率 1、税率 （1）纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴 纳给国家。 （2） 纳税的意义： 税收是国家财政收入的主要来源之一。 国家用收来的税款发展经济、 科技、 教育、文化和国防安全等事业。 （3）应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。 （4）税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。 （5）应纳税额的计算方法
5、：应纳税额=总收入税率收入额=应纳税额税率 2、利率 （1）存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。 （2）储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支 援国家建设，也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一些收入。 （3）本金：存入银行的钱叫做本金。 （4）利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。 （5）利率：利息与本金的比值叫做利率。 （6）利息的计算公式：利息本金利率时间利率利息时间本金100 （7）注意：如要上利息税（国债和教育储藏的利息不纳税） ，则： 税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息利息税率=利息(1-利息税率) 税后利息=本金利率时间(1-
6、利息税率) 购物策略：购物策略： 估计费用：根据实际的问题，选择合理的估算策略，进行估算。 购物策略：根据实际需要，对常见的几种优惠策略加以分析和比较，并能够最终选择最为优 惠的方案 学后反思：做事情运用策略的好处 第三单元第三单元 圆柱和圆锥圆柱和圆锥 一、圆柱一、圆柱 1、圆柱的形成：圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的。 圆柱也可以由长方形卷曲而得到。 （两种方式：1.以长方形的长为底面周长， 宽为高;2.以长方形的宽为底面周长，长为高。其中，第一种方式得到的圆柱 体体积较大。 ） 2、圆柱的高是两个底面之间的距离，一个圆柱有无数条高，他们的数值是相等的 3、圆柱的特征： （1）底面的特
7、征：圆柱的底面是完全相等的两个圆。 第 1 页 （2）侧面的特征：圆柱的侧面是一个曲面。 （3）高的特征：圆柱有无数条高 4、圆柱的切割：横切：切面是圆，表面积增加 2 倍底面积，即 S 增 =2r 竖切（过直径） ：切面是长方形（如果 h=2R，切面为正方形） ，该长方形的 长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，表面积增加两个长方形的面积，即 S 增=4rh 5、圆柱的侧面展开图：沿着高展开，展开图形是长方形，如果 h=2r，展开图形为正方 形 不沿着高展开，展开图形是平行四边形或不规则图形 无论怎么展开都得不到梯形 6、圆柱的相关计算公式：底面积：S 底=r 底面周长：C 底=d=2r 侧面积
8、：S 侧=2rh 表面积：S 表=2S 底+S 侧=2r+2rh 体积：V 柱=rh 考试常见题型：已知圆柱的底面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面周长 已知圆柱的底面周长和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面积 已知圆柱的底面周长和体积，求圆柱的侧面积，表面积，高，底面积 已知圆柱的底面面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积 已知圆柱的侧面积和高，求圆柱的底面半径，表面积，体积，底面积 以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公 式进行计算 无盖水桶的表面积=侧面积一个底面积 油桶的表面积=侧面积两个底面积 烟囱通风管的表面积=侧面积 只求侧面
9、积：灯罩、排水管、漆柱、通风管、压路机、卫生纸中轴、薯片盒包装 侧面积+一个底面积：玻璃杯、水桶、笔筒、帽子、游泳池 侧面积+两个底面积：油桶、米桶、罐桶类 二、圆锥二、圆锥 1、圆柱的形成：圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的 圆锥也可以由扇形卷曲而得到 2、圆锥的高是两个顶点与底面之间的距离，与圆柱不同，圆锥只有一条高 3、圆锥的特征： （1）底面的特征：圆锥的底面一个圆。 （2）侧面的特征：圆锥的侧面是一个曲面。 （3）高的特征：圆锥有一条高。 4、圆柱的切割：横切：切面是圆 竖切（过顶点和直径直径） ：切面是等腰三角形，该等腰三角形的高是圆 锥的高，底是圆锥的底面直径，面积增加
10、两个等腰三角形的面积， 即 S 增=2rh 5、圆锥的相关计算公式：底面积：S 底=r 第 1 页 底面周长：C 底=d=2r 体积：V 锥=1 3 rh 考试常见题型：已知圆锥的底面积和高，求体积，底面周长 已知圆锥的底面周长和高，求圆锥的体积，底面积 已知圆锥的底面周长和体积，求圆锥的高，底面积 以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆锥的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公 式进行计算 三、圆柱和圆锥的关系三、圆柱和圆锥的关系 1、圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的 3 倍。 2、圆柱与圆锥等底等体积，圆锥的高是圆柱的 3 倍。 3、圆柱与圆锥等高等体积，圆锥的底面积(注意：是底面积
11、而不是底面半径)是圆柱的 3 倍。 4、圆柱与圆锥等底等高，体积相差 2 3 Sh 题型总结 直接利用公式：分析清楚求的的是表面积，侧面积、底面积、体积 分析清楚半径变化导致底面周长、侧面积、底面积、体积的变化 分析清楚两个圆柱(或两个圆锥)半径、底面积、底面周长、侧面积、表面积、 体积之比 圆柱与圆锥关系的转换：包括削成最大体积的问题(正方体，长方体与圆柱圆锥之间) 横截面的问题 浸水体积问题：(水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积，等于盛水容积的底面积乘 以上升的高度)容积是圆柱或长方体，正方体 等体积转换问题： 一个圆柱融化后做成圆锥， 或圆柱中的溶液倒入圆锥， 都是体积不变的 问
12、题，注意不要乘以1 3 第四单元第四单元比例比例 1 1、比的意义、比的意义 （1）两个数相除又叫做两个数的比 （2）“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。 比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 （3）同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。 （4）比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。 （5）比的后项不能是零。 （6）根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数 值。 2 2、比的基本性质：、比的基本性质：比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0 除外） ，比值不变，这叫做 比的
13、基本性质。 3 3、 求比值和化简比求比值和化简比： 求比值的方法： 用比的前项除以后项， 它的结果是一个数值可以是整数， 第 1 页 也可以是小数或分数。 根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项 是互质的数。 4 4、按比例分配：、按比例分配： 在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法 通常叫做按比例分配。 方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。 5 5、比例的意义：、比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。 组成比例的四个数，叫做比例的项。 两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内
14、项。 6 6、比例的基本性质比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个两个内项的积。这叫做比例的基本性 质。 7 7、比和比例的区别、比和比例的区别 （1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项） ；比例表示两个比相等的式子，它 有四项（即两个内项和两个外项） 。 （2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例也有基本性质，它是解比例的依据。 8 8、成正比例的量成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相 对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正 比例关系。用字母表示y y x x =k=k（一定）（一定） 9
15、9、成反比例的量成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相 对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字 母表示 x xy=ky=k（一定）（一定） 1010、判断两种量成正比例还是成反比例的方法：、判断两种量成正比例还是成反比例的方法： 关键是看这两个相关联的量中相对就的两个数的商一定还是积一定，如果商一定，就成正比 例；如果积一定，就成反比例。 1111、比例尺：、比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 1212、比例尺的分类、比例尺的分类 （1）数值比例尺和线段比例尺（2）缩小比例尺和放大比例尺
16、 1313、图上距离：实际距离、图上距离：实际距离= =比例尺比例尺或或 图上距离图上距离 实际距离实际距离 = =比例尺比例尺 实际距离比例尺=图上距离图上距离比例尺=实际距离 1414、应用比例尺画图的步骤：、应用比例尺画图的步骤： （1）写出图的名称、（2）确定比例尺； （3）根据比例尺求出图上距离； （4）画图（画出单位长度） （5）标出实际距离，写清地点名称（6）标出比例尺 1515、图形的放大与缩小：形状相同，大小不同。 1616、用比例解决问题： 根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并正确判断这两种相关联的量成什么比例关系， 并根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解。 171
17、7、常见的数量关系式、常见的数量关系式： （成正比例或成反比例） 单价数量=总价单产量数量=总产量速度时间=路程工效工作时间=工作总量 第 1 页 总价 单价 =数量 总产量 单产量 =数量 路程 速度 =时间 工作总量 工作效率 =工作时间 总价 数量 =单价 总产量 数量 =单产量 路程 时间 =速度 工作总量 工作时间 =工作效率 18、已知图上距离和实际距离可以求比例尺。已知比例尺和图上距离可以求实际距离。已知 比例尺和实际距离可以求图上距离。计算时图距和实距单位必须统一。计算时图距和实距单位必须统一。 19、播种的总公顷数一定，每天播种的公顷数和要用的天数是不是成反比例？ 答：每天播
18、种的公顷数天数=播种的总公顷数 已知播种的总公顷数一定，就是每天播种的公顷数和要用的天数的积是一定的，所以 每天播种的公顷数和要用的天数成反比例。 20、判断下面各题的两个量是不是成比例，如果成比例，成什么比例？ （1）订阅中国少年报的份数和钱数。 因为 钱数 订阅中国少年报的份数 = 每份的钱数（一定） 所以，订阅中国少年报的份数和钱数成正比例。 （2）三角形的底一定，它的面积和高。 因为 三角形的面积 高 =1 2 （一定） 所以，它的面积和高成正比例。 （3）图上距离一定，实际距离和比例尺。 因为，实际距离比例尺=图上距离（一定） 所以，实际距离和比例尺成反比例。 （4）一条绳子的长度一
19、定，剪去的部分和剩下的部分。 因为，剪去的部分和剩下的部分不存在比值或积一定的关系， 所以，剪去的部分和剩下的部分不成比例。 （5）圆的面积和它的半径不成正比例，因为圆的面积和它的半径的比值不一定，所以圆圆 的面积和它的半径不成正比例的面积和它的半径不成正比例。 自行车里的数学：自行车里的数学： 前齿轮转数前齿轮齿数=后齿轮转数后齿轮齿数 蹬一圈走的路程=车轮周长（蹬一圈，后轮转动的圈数） 蹬一圈走的路程=车轮周长（前齿轮齿数：后齿轮齿数） 48:281.7148:24=248:20=2.448:182.6748:16=348:1448:143.433.43 40:2840:281.431.4
20、340:241.6740:20=240:182.2240:16=2.540:142.86 前、后齿轮齿数相差大的，比值就大，这种组合走的就远，因而车速快，但骑车人较费力 前、后齿轮齿数相差小的，比值就小，这种组合走的就近，因而车速慢，但骑车人较省力 自行车跑的快慢与两个条件有关：1、前后齿轮齿数的比值。2、车轮的大小（合理） 第五单元第五单元数学广角数学广角鸽巢问题鸽巢问题 第 1 页 1、鸽巣原理是一个重要而又基本的组合原理, 在解决数学问题时有非常重要的作用 什么是鸽巣原理, 先从一个简单的例子入手, 把 3 个苹果放在 2 个盒子里, 共有四种不同 的放法, 如下表 放法盒子 1盒子 2
21、 130 221 312 403 无论哪一种放法, 都可以说“必有一个盒子放了两个或两个以上的苹果” 。 这个结论是 在“任意放法”的情况下, 得出的一个“必然结果” 。 类似的, 如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里, 那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上 的鸽子 如果有 6 封信, 任意投入 5 个信箱里, 那么一定有一个信箱至少有 2 封信 我们把这些例子中的“苹果” 、 “鸽子” 、 “信”看作一种物体，把“盒子” 、 “鸽笼” 、 “信 箱”看作鸽巣, 可以得到鸽巣原理最简单的表达形式 利用公式进行解题：物体个数物体个数鸽巣个数鸽巣个数= =商商余数余数 至少个数至少个数= =商商+1+1 2、摸 2 个同色球计算方法。 要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多 1。 物体数颜色数物体数颜色数（至少数（至少数1 1）1 1 极端思想： 用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都 能保证一定有两个球是同色的。 公式：两种颜色：两种颜色：2 21 13 3（个）（个） 三种颜色：三种颜色：3 31 14 4（个）（个） 四种颜色：四种颜色：4 41 15 5（个）（个）
