1、第 1页（共 18页） 2021 年全国统一高考数学试卷（理科） （乙卷） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1设2()3()46zzzzi，则(z ) A12iB12iC1iD1i 2已知集合 |21Ss sn，nZ， |41Tt tn，nZ，则(ST ) ABSCTDZ 3 已知命题:pxR ，sin1x ； 命题:qxR ， | | 1 x e ， 则下列命题中为真命题的是() ApqBpq CpqD()pq 4设函数 1 ( ) 1 x f x x ，则下列函数中为奇函数的是() A(1)1f x B(
2、1)1f x C(1)1f x D(1)1f x 5在正方体 1111 ABCDABC D中，P为 11 B D的中点，则直线PB与 1 AD所成的角为() A 2 B 3 C 4 D 6 6将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训， 每名志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有( ) A60 种B120 种C240 种D480 种 7把函数( )yf x图像上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把所得曲线 向右平移 3 个单位长度，得到函数sin() 4 yx 的图像，则( )(f x ) A
3、 7 sin() 212 x Bsin() 212 x C 7 sin(2) 12 x Dsin(2) 12 x 8在区间(0,1)与(1,2)中各随机取 1 个数，则两数之和大于 7 4 的概率为() A 7 9 B 23 32 C 9 32 D 2 9 9 魏晋时期刘徽撰写的 海岛算经 是关于测量的数学著作， 其中第一题是测量海岛的高 如 图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高 度，称为“表高” ，EG称为“表距” ，GC和EH都称为“表目距” ，GC与EH的差称 为“表目距的差” ，则海岛的高(AB ) A 表高表距 表目距的差 表高B 表高表距
4、 表目距的差 表高 C 表高表距 表目距的差 表距D 表高表距 表目距的差 表距 第 2页（共 18页） 10设0a ，若xa为函数 2 ( )() ()f xa xaxb的极大值点，则() AabBabC 2 abaD 2 aba 11设B是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的上顶点，若C上的任意一点P都满足|2PBb， 则C的离心率的取值范围是() A 2 2 ，1)B 1 2 ，1)C(0， 2 2 D(0， 1 2 12设2 1.01aln，1.02bln，1.041c ，则() AabcBbcaCbacDcab 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20
5、分。 13已知双曲线 2 2 :1(0) x Cym m 的一条渐近线为30 xmy，则C的焦距为 14已知向量(1,3)a ，(3,4)b ，若()abb ，则 15 记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 面积为3，60B ， 22 3acac， 则b 16以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥 的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 共 6
6、0 分。 17 （12 分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有 无提高， 用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品， 得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7 新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y， 样本方差分别记为 2 1 s和 2 2 s （1）求x，y， 2 1 s， 2 2 s； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 22 12 2 10
7、ss yx ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不 第 3页（共 18页） 认为有显著提高） 18 （12 分）如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，1PDDC，M 为BC中点，且PBAM （1）求BC； （2）求二面角APMB的正弦值 19 （12 分）记 n S为数列 n a的前n项和， n b为数列 n S的前n项积，已知 21 2 nn Sb （1）证明：数列 n b是等差数列； （2）求 n a的通项公式 20 （12 分）己知函数( )()f xln ax，已知0 x 是函数yxf( ) x的极值点 （1）求a； （2）设函数 ( ) (
8、 ) ( ) xf x g x xf x 证明：( )1g x 21 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C xpy p的焦点为F，且F与圆 22 :(4)1M xy上点 的距离的最小值为 4 （1）求p； （2）若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求PAB面积的最大值 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，C的圆心为(2,1)C，半径为 1 （1）写出C的一个参数方程； （2）过点(4,1)F作C的两条切线以坐标原点为极点，
9、x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 求这两条切线的极坐标方程 选修 4-5：不等式选讲（10 分） 23已知函数( ) |3|f xxax （1）当1a 时，求不等式( ) 6f x 的解集； （2）若( )f xa ，求a的取值范围 第 4页（共 18页） 2021 年全国统一高考数学试卷（理科） （乙卷） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1设2()3()46zzzzi，则(z ) A12iB12iC1iD1i 【思路分析】利用待定系数法设出zabi，a，b是实数，根据条件建立方程进行求解即
10、 可 【解析】 ：设zabi，a，b是实数， 则zabi， 则由2()3()46zzzzi， 得223246abii ， 得4646abii， 得 44 66 a b ，得1a ，1b ， 即1zi ， 故选：C 【归纳总结】本题主要考查复数的基本运算，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键， 是基础题 2已知集合 |21Ss sn，nZ， |41Tt tn，nZ，则(ST ) ABSCTDZ 【思路分析】分别讨论当n是偶数、奇数时的集合元素情况，结合集合的基本运算进行判断 即可 【解析】 ：当n是偶数时，设2nk，则2141snk ， 当n是奇数时，设21nk，则2143snk ，kZ， 则
11、TS， 则STT ， 故选：C 【归纳总结】 本题主要考查集合的基本运算， 利用分类讨论思想结合交集定义是解决本题的 关键，是基础题 3 已知命题:pxR ，sin1x ； 命题:qxR ， | | 1 x e ， 则下列命题中为真命题的是() ApqBpq CpqD()pq 【思路分析】先分别判断命题p和命题q的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进 行判断，即可得到答案 【解析】 ：对于命题:pxR ，sin1x ， 当0 x 时，sin01x ，故命题p为真命题，p为假命题； 对于命题:qxR ， | | 1 x e ， 第 5页（共 18页） 因为|0 x ，又函数 x ye为单调
12、递增函数，故 | |0 1 x ee ， 故命题q为真命题，q为假命题， 所以pq为真命题，pq 为假命题，pq为假命题，()pq为假命题， 故选：A 【归纳总结】 本题考查了命题真假的判断， 解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的 判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题 4设函数 1 ( ) 1 x f x x ，则下列函数中为奇函数的是() A(1)1f x B(1)1f x C(1)1f x D(1)1f x 【思路分析】先根据函数( )f x的解析式，得到( )f x的对称中心，然后通过图象变换，使得 变换后的函数图象的对称中心为(0,0)，从而得到答案 【解析】 ：解法一：因为
13、 1(1)22 ( )1 111 xx f x xxx ， 所以函数( )f x的对称中心为( 1, 1) ， 所以将函数( )f x向右平移一个单位，向上平移一个单位， 得到函数(1)1yf x，该函数的对称中心为(0,0)， 故函数(1)1yf x为奇函数故选：B 解法二： （王亮老师补解）直接代入验证 1 (1)1f x x 为奇函数，满足条件 【归纳总结】本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定( )f x的对称中 心，考查了逻辑推理能力，属于基础题 5在正方体 1111 ABCDABC D中，P为 11 B D的中点，则直线PB与 1 AD所成的角为() A 2 B 3
14、 C 4 D 6 【思路分析】由 11 / /ADBC，得 1 PBC是直线PB与 1 AD所成的角（或所成角的补角） ，由此 利用余弦定理，求出直线PB与 1 AD所成的角 【解析】 ：解法一： 11 / /ADBC， 1 PBC是直线PB与 1 AD所成的角（或所成角的补角） ， 设正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2， 则 22 11 1 222 2 PBPC， 22 1 222 2BC ， 22 2( 2)6BP ， 222 11 1 1 6823 cos 22262 2 PBBCPC PBC PBBC ， 1 6 PBC ，直线PB与 1 AD所成的角为 6 故选：D 第
15、 6页（共 18页） 解法二： （王亮老师补解） 由 C1P平面 BDD1B1， 所以 C1PPB， 又 1111 11 22 C PC AC B , 则 1 1 sin 2 C BP,所以 1 6 C BP ） 【归纳总结】本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题 6将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训， 每名志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有( ) A60 种B120 种C240 种D480 种 【思路分析】5 分先选 2 人一组，然后 4 组全排列即可 【解析】 ：5 名志愿者
16、选 2 个 1 组，有 2 5 C种方法，然后 4 组进行全排列，有 4 4 A种， 共有 24 54 240C A 种， 故选：C 【归纳总结】本题主要考查排列组合的应用，利用先分组后排列的方法是解决本题的关键， 是基础题 7把函数( )yf x图像上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把所得曲线 向右平移 3 个单位长度，得到函数sin() 4 yx 的图像，则( )(f x ) A 7 sin() 212 x Bsin() 212 x C 7 sin(2) 12 x Dsin(2) 12 x 【思路分析】由题意利用函数sin()yAx的图像变换规律，得出结论 【解析】
17、：把函数( )yf x图像上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变， 再把所得曲线向右平移 3 个单位长度，得到函数sin() 4 yx 的图像， 把函数sin() 4 yx 的图像，向左平移 3 个单位长度， 得到sin()sin() 3412 yxx 的图像； 再把图像上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变， 可得 1 ( )sin() 212 f xx 的图像 故选：B 第 7页（共 18页） 【归纳总结】本题主要考查函数sin()yAx的图像变换规律，属基础题 8在区间(0,1)与(1,2)中各随机取 1 个数，则两数之和大于 7 4 的概率为() A 7 9 B
18、23 32 C 9 32 D 2 9 【思路分析】由题意可得可行域： 01 12 7 4 x y xy ，可得三角形的面积，结合几何概型即可得出 结论 【解析】 ：由题意可得可行域： 01 12 7 4 x y xy ，可得三角形的面积 1339 24432 ， 923 1 3232 故选：B 【归纳总结】本题考查了线性规划知识、三角形的面积、几何概型、对立事件的概率计算公 式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 9 魏晋时期刘徽撰写的 海岛算经 是关于测量的数学著作， 其中第一题是测量海岛的高 如 图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高 度，称为“
19、表高” ，EG称为“表距” ，GC和EH都称为“表目距” ，GC与EH的差称 为“表目距的差” ，则海岛的高(AB ) A 表高表距 表目距的差 表高B 表高表距 表目距的差 表高 C 表高表距 表目距的差 表距D 表高表距 表目距的差 表距 【思路分析】根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出 第 8页（共 18页） 【解析】 ： DEEH ABAH ， FGCG BACA ，故 EHCG AHCA ，即 EHCG AEEHAEEGGC ， 解得： EH EG AE CGEH ，AHAEEH， 故： ()DE AHDE AEEHDE EG ABDE EHEHCGEH 故
20、选：A 【归纳总结】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系，考查了 推理能力与计算能力，属于基础题 10设0a ，若xa为函数 2 ( )() ()f xa xaxb的极大值点，则() AabBabC 2 abaD 2 aba 【思路分析】分0a 及0a ，结合三次函数的性质及题意，通过图象发现a，b的大小关 系，进而得出答案 【解析】 ：解法一：令( )0f x ，解得xa或xb，即xa及xb是( )f x的两个零点， 当0a 时，由三次函数的性质可知，要使xa是( )f x的极大值点，则函数( )f x的大致图 象如下图所示， 则0ab； 当0a 时，由三次函数的性质
21、可知，要使xa是( )f x的极大值点，则函数( )f x的大致图 象如下图所示， 则0ba；综上， 2 aba故选：D 第 9页（共 18页） 解法二： （陕西刘兴老师补解）（陕西刘兴老师补解） 2 ( )2()()() ()(32)fxaxa xbxaaxaxba 令( )(32)g xaxba 因为xa，0ax；xa时，0ax 所以xa时，函数取得极大值，只需( )0g a ， 即(22 )0aab，得 2 aba，故选：D 【归纳总结】本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想， 属于中档题 11设B是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的上顶点，
22、若C上的任意一点P都满足|2PBb， 则C的离心率的取值范围是() A 2 2 ，1)B 1 2 ，1)C(0， 2 2 D(0， 1 2 【思路分析】由题意可得 22 22 222 1 ()4 xy ab xybb 至多一个解，根据判别式即可得到a与b的关 系式，再求出离心率的取值范围 【解析】 ：解法一：点B的坐标为(0, )b，因为C上的任意一点P都满足|2PBb， 所以点P的轨迹可以看成以B为圆心，2b为半径的圆与椭圆至多只有一个交点， 即 22 22 222 1 ()4 xy ab xybb 至多一个解，消去x，可得 22 222 2 230 ba ybyab b ， 22 222
23、2 44(3) 0 ba bab b ，整理可得 4224 440ba ba，即 222 (2)0ab， 解得 22 2ab， 2 2 2 1 2 b e a ，故e的范围为(0， 2 2 ，故选：C 解法二： （王亮老师补解）设( , )P x y ，则 2 2 22222 2 ()(1)2 y PBxybaybyb a 2 222 2 (1)2, a ybyabyb b b ，由题意知： 此二次函数在区间端点x b 处取最 大值， 2 2 1 b b a b ，所以 2222 22()abac ,则 2 0 2 e） 【归纳总结】本题考查了椭圆的方程和性质，考查了运算求解能力和转化与化归思
24、想，属于 中档题 12设2 1.01aln，1.02bln，1.041c ，则() AabcBbcaCbacDcab 【思路分析】构造函数( )2 (1)( 141)f xlnxx，01x， ( )(12 )( 141)h xlnxx，利用导数和函数的单调性即可判断 【解析】 ：解法一：2 1.011.0201alnln，1.02bln，ab， 第 10页（共 18页） 令( )2 (1)( 141)f xlnxx，01x， 令14 xt，则15t 2 1 4 t x ， 2 2 3 ( )2 ()12 (3)12 4 4 t g tlntln ttln ， 2 222 443(1)(3) (
25、 )10 333 ttttt g t ttt ，( )g t在(1, 5)上单调递增， ( )g tg（1）241240lnln ，( )0f x，ac， 同理令( )(12 )( 141)h xlnxx， 再令14 xt，则15t 2 1 4 t x ， 2 2 1 ( )()1(1)12 2 t tlntln ttln ， 2 22 2(1) ( )10 11 tt t tt ，( ) t在(1, 5)上单调递减， ( ) t（1）21 120lnln ，( )0h x，cb ，acb故选：B 解法二： （王亮老师补解）由2 1.011.0201alnln1.02bln，则排除 AD,结合
26、选项 BC， 只需判断 a,c 的大小，故设( )2ln(1)141f xxx， 22 ( )= 114 fx xx 14(1) 2(01) (1) 14 xx x xx ，又 2 22 14(1)2(2)0 xxxxxx 141xx ，( )0fx，( )f x在(0,1)上单增，(0.01)(0)0ff， 2ln1.011.041，ac，故选 B 【归纳总结】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转 化思想，属于难题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知双曲线 2 2 :1(0) x Cym m 的一条渐近线为30 xmy，则C
27、的焦距为4 【思路分析】根据题意，由双曲线的性质可得 3 m m，解可得m的值，即可得双曲线的 标准方程，据此计算c的值，即可得答案 【解析】 ：根据题意，双曲线 2 2 :1(0) x Cym m 的一条渐近线为30 xmy， 则有 3 m m，解可得3m ， 则双曲线的方程为 2 2 1 3 x y，则312c ， 其焦距24c ； 故答案为：4 第 11页（共 18页） 【归纳总结】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线方程的分析，属于基础题 14已知向量(1,3)a ，(3,4)b ，若()abb ，则 3 5 【思路分析】利用向量的坐标运算求得(13 ,34 )ab ，再由()
28、abb ，可得 ()0abb ，即可求解的值 【解析】 ：因为向量(1,3)a ，(3,4)b ， 则(13 ,34 )ab ， 又()abb ， 所以()3(1 3 )4(34 )15250abb ， 解得 3 5 故答案为： 3 5 【归纳总结】本题主要考查数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查方程思想与运算 求解能力，属于基础题 15 记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 面积为3，60B ， 22 3acac， 则b 2 2 【思路分析】由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得 【解析】 ：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，6
29、0B ， 22 3acac， 1 sin3 2 acB 22 13 3412 22 acacac， 又 222 cos 2 acb B ac 2 112 2 2 28 b b ， （负值舍） 故答案为：2 2 【归纳总结】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题 16以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥 的三视图， 则所选侧视图和俯视图的编号依次为或 （写出符合要求的一组答案 即可） 【思路分析】通过观察已知条件正视图，确定该三棱锥的长和高，结合长、高、以及侧视图 视图中的实线、虚线来确定俯视图图形 第 12页（共 18页） 【解析】 ：观察正视图，推出
30、三棱锥的长为 2 和高 1，图形的高也为 1，即可能为该三 棱锥的侧视图， 图形的长为 2，即可能为该三棱锥的俯视图， 当为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为， 当为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱 锥的俯视图为 故答案为：或 【归纳总结】 该题考查了三棱锥的三视图， 需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系， 以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中，需要较强空间想象，属于中等题 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考
31、题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 共 60 分。 17 （12 分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有 无提高， 用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品， 得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7 新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y， 样本方差分别记为 2 1 s和 2 2 s （1）求x，y， 2 1 s， 2 2 s； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设
32、备是否有显著提高（如果 22 12 2 10 ss yx ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不 认为有显著提高） 【思路分析】 （1）利用平均数和方差的计算公式进行计算即可； （2）比较yx与 22 12 2 10 ss 的大小，即可判断得到答案 【解析】：（1）由题中的数据可得， 1 (9.810.310.010.29.99.810.010.1 10.29.7)10 10 x ， 1 (10.1 10.410.1 10.010.1 10.310.610.510.410.5)10.3 10 y ， 2222222 1 1 (9.810)(10.310)(1010)(
33、10.210)(9.910)(9.810) 10 s 2222 (10 10)(10.1 10)(10.2 10)(9.710) 0.036； 222222 2 1 (10.1 10.3)(10.410.3)(10.1 10.3)(10.010.3)(10.1 10.3) 10 s 22222 (10.3 10.3)(10.6 10.3)(10.5 10.3)(10.4 10.3)(10.5 10.3) 0.04； （2）10.3 100.3yx， 22 12 0.0360.04 222 0.00760.174 1010 ss ， 第 13页（共 18页） 所以 22 12 2 10 ss y
34、x ， 故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高 【归纳总结】本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式， 考查了运算能力，属于基础题 18 （12 分）如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，1PDDC，M 为BC中点，且PBAM （1）求BC； （2）求二面角APMB的正弦值 【思路分析】 （1）连结BD，利用线面垂直的性质定理证明AMPD，从而可以证明AM 平面PBD，得到AMBD，证明Rt DABRt ABM，即可得到BC的长度； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法 求出平面的法向量，由向量
35、的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可 【解析】 ： （1）连结BD，因为PD 底面ABCD，且AM 平面ABCD， 则AMPD，又AMPB，PBPDP ，PB，PD 平面PBD， 所以AM 平面PBD，又BD 平面PBD，则AMBD， 所以90ABDDAM ，又90DAMMAB ， 则有ADBMAB ，所以Rt DABRt ABM， 则 ADBA ABBM ，所以 2 1 1 2 BC ，解得2BC ； （2）因为DA，DC，DP两两垂直，故以点D位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示， 则 2 ( 2,0,0), ( 2,1,0),(,1,0) 2 ABM，(0P，0，1)， 所以(2,0,
36、1)AP ， 22 (,1,0),(,0,0),(2, 1,1) 22 AMBMBP ， 设平面AMP的法向量为( , , )nx y z ， 则有 0 0 n AP n AM ，即 20 2 0 2 xz xy ， 令2x ，则1y ，2z ，故( 2,1,2)n ， 设平面BMP的法向量为( , , )mp q r ， 第 14页（共 18页） 则有 0 0 m BM m BP ，即 2 0 2 20 p pqr ， 令1q ，则1r ，故(0,1,1)m ， 所以 |33 14 |cos,| |1472 n m n m n m ， 设二面角APMB的平面角为， 则 222 3 1470
37、sin11,1() 1414 coscosn m ， 所以二面角APMB的正弦值为 70 14 【归纳总结】 本题考查了空间中线段长度求解以及二面角的求解， 在求解有关空间角问题的 时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属 于中档题 19 （12 分）记 n S为数列 n a的前n项和， n b为数列 n S的前n项积，已知 21 2 nn Sb （1）证明：数列 n b是等差数列； （2）求 n a的通项公式 【思路分析】（1） 由题意当1n 时，1 1 bS， 代入已知等式可得 1 b的值， 当2n时， 将 1 n n n b S b ， 代入 21
38、 2 nn Sb ，可得 1 1 2 bn bb ，进一步得到数列 n b是等差数列； 第 15页（共 18页） （2）由 111 3 2 aSb，可得 2 2 n n b ，代入已知等式可得 2 1 n n S n ，当2n时， 1 1 (1) nnn aSS n n ，进一步得到数列 n a的通项公式 【解析】 ： （1）证明：当1n 时， 11 bS， 由 11 21 1 bb ，解得 1 3 2 b ， 当2n时， 1 n n n b S b ，代入 21 2 nn Sb ， 消去 n S，可得 1 21 2 n nn b bb ，所以 1 1 2 bn bb ， 所以 n b是以 3
39、 2 为首项， 1 2 为公差的等差数列 （2）由题意，得 111 3 2 aSb， 由（1） ，可得 312 (1) 222 n n bn ， 由 21 2 nn Sb ，可得 2 1 n n S n ， 当2n时， 1 211 1(1) nnn nn aSS nnn n ，显然 1 a不满足该式， 所以 3 ,1 2 1 ,2 (1) n n a n n n 【归纳总结】本题考查了等差数列的概念，性质和通项公式，考查了方程思想，是基础题 20 （12 分）己知函数( )()f xln ax，已知0 x 是函数yxf( ) x的极值点 （1）求a； （2）设函数 ( ) ( ) ( ) xf
40、 x g x xf x 证明：( )1g x 【思路分析】 （1）确定函数( )f x的定义域，令( )( )g xxf x，由极值的定义得到( )0g x， 求出a的值，然后进行证明，即可得到a的值； （2）将问题转化为证明 (1) 1 (1) xlnx xlnx ，进一步转化为证明(1)(1)xlnxxlnx，令 ( )(1) (1)h xxx lnx，利用导数研究( )h x的单调性，证明( )(0)h xh，即可证明 【解答】 （1）解：由题意，( )f x的定义域为(, )a， 令( )( )g xxf x，则( )()g xxln ax，(, )xa ， 则 1 ( )()() x
41、 g xln axxln ax axax ， 因为0 x 是函数( )yxf x的极值点，则有( )0g x，即0lna ，所以1a ， 当1a 时， 1 ( )(1)(1)1 11 x g xlnxlnx xx ，且(0)0 g ， 因为 22 112 ( )0 1(1)(1) x gx xxx ， 第 16页（共 18页） 则( )g x在(,1)上单调递减， 所以当(, )xa 时，( )0g x， 当(0,1)x时，( )0g x， 所以1a 时，0 x 时函数( )yxf x的一个极大值 综上所述，1a ； （2）证明：由（1）可知，( )(1)xf xxlnx， 要证 ( ) 1
42、( ) xf x xf x ，即需证明 (1) 1 (1) xlnx xlnx ， 因为当(,0)x 时，(1)0 xlnx， 当(0,1)x时，(1)0 xlnx， 所以需证明(1)(1)xlnxxlnx，即(1) (1)0 xx lnx， 令( )(1) (1)h xxx lnx， 则 1 ( )(1)1(1) 1 h xxlnx x ， 所以(0)0 h ，当(,0)x 时，( )0h x， 当(0,1)x时，( )0h x， 所以0 x 为( )h x的极小值点， 所以( )(0)0h xh，即(1)(1)xlnxxlnx， 故 (1) 1 (1) xlnx xlnx ， 所以 ( )
43、 1 ( ) xf x xf x 【归纳总结】本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的极值问题，利用 导数证明不等式问题，此类问题经常构造函数，转化为证明函数的取值范围问题，考查了逻 辑推理能力与化简运算能力，属于难题 21 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C xpy p的焦点为F，且F与圆 22 :(4)1M xy上点 的距离的最小值为 4 （1）求p； （2）若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求PAB面积的最大值 【思路分析】 （1）由点F到圆M上的点最小值为 4 建立关于p的方程，解出即可； （2）对 2 1 4 yx求导，由导数的几何意义可得出直
44、线PA及PB的方程，进而得到点P的坐 标，再将AB的方程与抛物线方程联立，可得(2 ,)Pkb，|AB以及点P到直线AB的距离， 进而表示出PAB的面积，再求出其最小值即可 【解析】 ： （1）点(0,) 2 p F到圆M上的点的距离的最小值为| 1414 2 p FM ，解得 2p ； （2）由（1）知，抛物线的方程为 2 4xy，即 2 1 4 yx，则 1 2 yx ， 设切点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则易得 22 1122 :,: 2424 PAPB xxxx lyxlyx，从而得到 第 17页（共 18页） 1212 (,) 24 xxx x P ， 设
45、: AB lykxb，联立抛物线方程，消去y并整理可得 2 440 xkyb， 2 16160kb，即 2 0kb，且 12 4xxk， 12 4x xb ， (2 ,)Pkb， 2222 1212 |1()411616ABkxxx xkkb， 2 2 |22 | 1 pAB kb d k ， 3 2 2 1 |4() 2 PAB SAB dkb ， 又 点(2 ,)Pkb在 圆 22 :(4)1M xy上 ， 故 2 2 1(4) 4 b k ， 代 入 得 ， 32 2 1215 4() 4 PAB bb S ， 而 5 p yb ，3， 当5b 时，()20 5 PABmax S 【归纳
46、总结】本题考查圆锥曲线的综合运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解 能力，属于中档题 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，C的圆心为(2,1)C，半径为 1 （1）写出C的一个参数方程； （2）过点(4,1)F作C的两条切线以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 求这两条切线的极坐标方程 【思路分析】 （1）求出C的标准方程，即可求得C的参数方程； （2）求出直角坐标系中的切线方程，再由cosx，siny即可求解这两条切线的极
47、 坐标方程 【解析】 ： （1）C的圆心为(2,1)C，半径为 1， 则C的标准方程为 22 (2)(1)1xy， C的一个参数方程为 2cos ( 1sin x y 为参数） （2）由题意可知两条切线方程斜率存在， 设切线方程为1(4)yk x ，即410kxyk ， 圆心(2,1)C到切线的距离 2 |2141| 1 1 kk d k ，解得 3 3 k ， 所以切线方程为 3 (4)1 3 yx ， 因为cosx，siny， 所以这两条切线的极坐标方程为 3 sin( cos4)1 3 【归纳总结】本题主要考查圆的参数方程，普通方程与极坐标方程的转化，考查运算求解能 力，属于基础题 第
48、18页（共 18页） 选修 4-5：不等式选讲（10 分） 23已知函数( ) |3|f xxax （1）当1a 时，求不等式( ) 6f x 的解集； （2）若( )f xa ，求a的取值范围 【思路分析】 （1）将1a 代入( )f x中，根据( ) 6f x ，利用零点分段法解不等式即可； （2）利用绝对值三角不等式可得( )|3|f xa ，然后根据( )f xa ，得到|3|aa ，求 出a的取值范围 【解析】 ： （1）当1a 时， 22,3 ( ) |1|3|4,31 22,1 xx f xxxx xx ， ( ) 6f x， 3 226 x x 或 31 46 x 或 1 22 6 x x ， 4x或2x， 不等式的解集为(，42 ，) （2）由( ) |3|3| |3|f xxaxxaxa， min ( )|3|f xaa 3,3aaaa 或 3 2 a 或无解 综上：a的取值范围是 3 ( 2 ，) 【归纳总结】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题
