1、第 1页(共 17页) 2021 年全国统一高考数学试卷(文科) (乙卷) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1已知全集1U ,2,3,4,5,集合1M ,2,3N ,4,则()( U MN ) A5B1,2C3,4D1,2,3,4 2设43izi,则(z ) A34i B34i C34iD34i 3 已知命题:pxR ,sin1x ; 命题:qxR , | | 1 x e , 则下列命题中为真命题的是() ApqBpq CpqD()pq 4函数( )sincos 33 xx f x 的最小正周期和最大值分别是
2、() A3和2B3和 2C6和2D6和 2 5若x,y满足约束条件 4, 2, 3, xy xy y 则3zxy的最小值为() A18B10C6D4 6 225 coscos( 1212 ) A 1 2 B 3 3 C 2 2 D 3 2 7在区间 1 (0, ) 2 随机取 1 个数,则取到的数小于 1 3 的概率为() A 3 4 B 2 3 C 1 3 D 1 6 8下列函数中最小值为 4 的是() A 2 24yxxB 4 |sin| |sin| yx x C 2 22 xx y D 4 ylnx lnx 9设函数 1 ( ) 1 x f x x ,则下列函数中为奇函数的是() A(1
3、)1f x B(1)1f x C(1)1f x D(1)1f x 10在正方体 1111 ABCDABC D中,P为 11 B D的中点,则直线PB与 1 AD所成的角为() A 2 B 3 C 4 D 6 11设B是椭圆 2 2 :1 5 x Cy的上顶点,点P在C上,则|PB的最大值为() A 5 2 B6C5D2 12设0a ,若xa为函数 2 ( )() ()f xa xaxb的极大值点,则() AabBabC 2 abaD 2 aba 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 13已知向量(2,5)a ,( ,4)b ,若/ /ab ,则 第 2页(共 17页)
4、 14双曲线 22 1 45 xy 的右焦点到直线280 xy的距离为 15 记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 面积为3,60B , 22 3acac, 则b 16以图为正视图,在图中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥 的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为(写出符合要求的一组答案即可) 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考 题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题: 共 60 分。 17 (12 分)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标
5、有 无提高, 用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品, 得到各件产品该项指标数据如下: 旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7 新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y, 样本方差分别记为 2 1 s和 2 2 s (1)求x,y, 2 1 s, 2 2 s; (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果 22 12 2 10 ss yx ,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不 认为有显著提高
6、) 18 (12 分)如图,四棱锥PABCD的底面是矩形,PD 底面ABCD,M为BC的中点, 且PBAM (1)证明:平面PAM 平面PBD; (2)若1PDDC,求四棱锥PABCD的体积 第 3页(共 17页) 19 (12 分)设 n a是首项为 1 的等比数列,数列 n b满足 3 n n na b ,已知 1 a, 2 3a, 3 9a成 等差数列 (1)求 n a和 n b的通项公式; (2)记 n S和 n T分别为 n a和 n b的前n项和证明: 2 n n S T 20 (12 分)已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点F到准线的距离为 2 (1)求C的方程; (2
7、)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足9PQQF ,求直线OQ斜率的最大值 21 (12 分)已知函数 32 ( )1f xxxax (1)讨论( )f x的单调性; (2)求曲线( )yf x过坐标原点的切线与曲线( )yf x的公共点的坐标 (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的 第一题计分。选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分) 22 (10 分)在直角坐标系xOy中,C的圆心为(2,1)C,半径为 1 (1)写出C的一个参数方程; (2)过点(4,1)F作C的两条切线以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求这两条切线
8、的极坐标方程 选修 4-5:不等式选讲(10 分) 23已知函数( ) |3|f xxax (1)当1a 时,求不等式( ) 6f x 的解集; (2)若( )f xa ,求a的取值范围 第 4页(共 17页) 2021 年全国统一高考数学试卷(文科) (乙卷) 参考答案与试题解析 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1已知全集1U ,2,3,4,5,集合1M ,2,3N ,4,则()( U MN ) A5B1,2C3,4D1,2,3,4 【思路分析】利用并集定义先求出MN ,由此能求出() U MN 【解析】
9、:全集1U ,2,3,4,5,集合1M ,2,3N ,4, 1MN ,2,3,4, ()5 U MN 故选:A 【归纳总结】本题考查集合的运算,考查并集、补集定义等基础知识,考查运算求解能力等 数学核心素养,是基础题 2设43izi,则(z ) A34i B34i C34iD34i 【思路分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解析】 :解法一:由43izi,得 2 2 43(43 )() 3434 iii ziii ii 故选:C 解法二: (山西运城刘丽补解) :等式两边同乘可得43zi 。两边再同乘1即得结果为 34i,故选:C 【归纳总结】本题考查复数代数形式的乘
10、除运算,是基础题 3 已知命题:pxR ,sin1x ; 命题:qxR , | | 1 x e , 则下列命题中为真命题的是() ApqBpq CpqD()pq 【思路分析】先分别判断命题p和命题q的真假,然后由简单的复合命题的真假判断法则进 行判断,即可得到答案 【解析】 :对于命题:pxR ,sin1x , 当0 x 时,sin01x ,故命题p为真命题,p为假命题; 对于命题:qxR , | | 1 x e , 因为|0 x ,又函数 x ye为单调递增函数,故 | |0 1 x ee , 故命题q为真命题,q为假命题, 所以pq为真命题,pq 为假命题,pq为假命题,()pq为假命题,
11、 故选:A 【归纳总结】 本题考查了命题真假的判断, 解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的 判断方法,考查了逻辑推理能力,属于基础题 4函数( )sincos 33 xx f x 的最小正周期和最大值分别是() 第 5页(共 17页) A3和2B3和 2C6和2D6和 2 【思路分析】化简函数的表达式,再利用三角函数的周期,正弦函数的最值求解即可 【解析】 :( )sincos2sin() 3334 xxx f x , 2 6 1 3 T 当sin()1 34 x 时,函数( )f x取得最大值2; 函数( )f x的周期为6,最大值2 故选:C 【归纳总结】本题考查了辅助角公式、三角函
12、数的周期性与最值,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题 5若x,y满足约束条件 4, 2, 3, xy xy y 则3zxy的最小值为() A18B10C6D4 【思路分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优 解,把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解析】 :由约束条件作出可行域如图, 联立 3 4 y xy ,解得(1,3)A, 由3zxy,得3yxz ,由图可知,当直线3yxz 过A时, 直线在y轴上的截距最小,z有最小值为3 136 故选:C 【归纳总结】本题考查简单的线性规划,考查数形结合思想,是中档题 6 225 coscos( 1212 ) A
13、1 2 B 3 3 C 2 2 D 3 2 【思路分析】直接利用二倍角的余弦化简求值即可 第 6页(共 17页) 【解析】 :解法一: 225 coscos 1212 5 1cos1cos 66 22 11115 coscos 226226 13133 () 22222 故选:D 解法二: (山西运城刘丽补解) : 225 coscos 1212 22 3 cossincos 121226 【归纳总结】本题考查三角函数的化简求值和二倍角的余弦,是基础题 7在区间 1 (0, ) 2 随机取 1 个数,则取到的数小于 1 3 的概率为() A 3 4 B 2 3 C 1 3 D 1 6 【思路分
14、析】我们分别计算出区间 1 (0, ) 2 和 1 (0, ) 3 的长度,代入几何概型概率计算公式,即 可得到答案 【解析】 :由于试验的全部结果构成的区域长度为 11 0 22 , 构成该事件的区域长度为 11 0 33 , 所以取到的数小于 1 3 的概率 1 2 3 1 3 2 P 故选:B 【归纳总结】 本题主要考查几何概型的概率计算, 其中根据已知条件计算出基本事件总数对 应的几何量的大小,和满足条件的几何量的大小是解答本题的关键,属基础题 8下列函数中最小值为 4 的是() A 2 24yxxB 4 |sin| |sin| yx x C 2 22 xx y D 4 ylnx ln
15、x 【思路分析】利用二次函数的性质求出最值,即可判断选项A,根据基本不等式以及取最 值的条件,即可判断选项B,利用基本不等式求出最值,即可判断选项C,利用特殊值验 证,即可判断选项D 【解析】 :对于A, 22 24(1)3 3yxxx , 所以函数的最小值为 3,故选项A错误; 对于B,因为0 |sin| 1x,所以 44 |sin|2 |sin|4 |sin|sin| yxx xx , 当且仅当 4 |sin| |sin| x x ,即|sin| 2x 时取等号, 因为|sin| 1x ,所以等号取不到, 所以 4 |sin|4 |sin| yx x ,故选项B错误; 对于C,因为20 x
16、 ,所以 2 44 2222 24 22 xxxx xx y , 当且仅当22 x ,即1x 时取等号, 第 7页(共 17页) 所以函数的最小值为 4,故选项C正确; 对于D,因为当 1 x e 时, 14 1454 1 yln e ln e , 所以函数的最小值不是 4,故选项D错误 (详解 D) 当 x1 时, lnx0,所以 4 ylnx lnx 2 4 *4lnx lnx (当且仅当 lnx=2 即 x= 2 e时 取等号) ; 当 0 x1 时,lnx0,所以 4 ylnx lnx 4 )()lnx lnx ( -2 4 ()*()4lnx lnx (当且 仅当 lnx=-2 即
17、x= 2 1 e 取等号) ,综上, 4 ylnx lnx ), 44,(,所以选项 D 错 故选:C 【归纳总结】本题考查了函数最值的求解,涉及了二次函数最值的求解,利用基本不等式求 解最值的应用,在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件:一正、二定、三相等,考查 了转化思想,属于中档题 9设函数 1 ( ) 1 x f x x ,则下列函数中为奇函数的是() A(1)1f x B(1)1f x C(1)1f x D(1)1f x 【思路分析】先根据函数( )f x的解析式,得到( )f x的对称中心,然后通过图象变换,使得 变换后的函数图象的对称中心为(0,0),从而得到答案 【解析】 :
18、因为 1(1)22 ( )1 111 xx f x xxx , 所以函数( )f x的对称中心为( 1, 1) , 所以将函数( )f x向右平移一个单位,向上平移一个单位, 得到函数(1)1yf x,该函数的对称中心为(0,0), 故函数(1)1yf x为奇函数 故选:B 【归纳总结】本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换,解题的关键是确定( )f x的对称中 心,考查了逻辑推理能力,属于基础题 10在正方体 1111 ABCDABC D中,P为 11 B D的中点,则直线PB与 1 AD所成的角为() A 2 B 3 C 4 D 6 【思路分析】由 11 / /ADBC,得 1 PBC是直线
19、PB与 1 AD所成的角(或所成角的补角) ,由此 利用余弦定理,求出直线PB与 1 AD所成的角 【解析】 : 11 / /ADBC, 1 PBC是直线PB与 1 AD所成的角(或所成角的补角) , 设正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2, 则 22 11 1 222 2 PBPC, 22 1 222 2BC , 22 2( 2)6BP , 222 11 1 1 6823 cos 22262 2 PBBCPC PBC PBBC , 第 8页(共 17页) 1 6 PBC , 直线PB与 1 AD所成的角为 6 故选:D 【归纳总结】本题考查异面直线所成角和余弦定理,考查运算求解能
20、力,是基础题 11设B是椭圆 2 2 :1 5 x Cy的上顶点,点P在C上,则|PB的最大值为() A 5 2 B6C5D2 【思路分析】求出B的坐标,设( 5cosP,sin ),利用两点间距离公式,结合三角函数 的有界性,转化求解距离的最大值即可 【解析】 :解法一:B是椭圆 2 2 :1 5 x Cy的上顶点,所以(0,1)B, 点P在C上,设( 5cosP,sin ),0,2 ), 所以 222 |( 5cos0)(sin1)42sin2PBcos 22 125 42sin64(sin) 44 sin, 当 1 sin 4 时,|PB取得最大值,最大值为 5 2 故选:A 解法二:
21、(安徽滁州刘家范补解) :B是椭圆 2 2 :1 5 x Cy的上顶点,所以(0,1)B, 设 P),( 0 0 yx,因为点P在C上,所以 2 20 0 :1 5 x Cy,PB 2 = 2 0 2 ) 1()0( 0 yx =5(1- 2 0 y )+ 2 0 y -2 0 y +1=-4 2 0 y -2 0 y +6=-4( 0 y + 4 1 )+ 4 25 ,因为-1 0 y 1,所以 当 0 y = 4 1 时,PB 2 最大值为 4 25 , ,即 PB 最大值为 5 2 【归纳总结】本题考察的考点时椭圆的基本性质(纵坐标的范围) ,利用二次函数求最值的 的方法,考查划归转化思
22、想和计算能力,属中档题。 12设0a ,若xa为函数 2 ( )() ()f xa xaxb的极大值点,则() AabBabC 2 abaD 2 aba 【思路分析】分0a 及0a ,结合三次函数的性质及题意,通过图象发现a,b的大小关 第 9页(共 17页) 系,进而得出答案 【解析】 :令( )0f x ,解得xa或xb,即xa及xb是( )f x的两个零点, 当0a 时,由三次函数的性质可知,要使xa是( )f x的极大值点,则函数( )f x的大致图 象如下图所示, 则0ab; 当0a 时,由三次函数的性质可知,要使xa是( )f x的极大值点,则函数( )f x的大致图 象如下图所示
23、, 则0ba; 综上, 2 aba 故选:D 【归纳总结】本题考查三次函数的图象及性质,考查导数知识的运用,考查数形结合思想, 属于中档题 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 13已知向量(2,5)a ,( ,4)b ,若/ /ab ,则 8 5 【思路分析】根据题意,由/ /ab ,可得关于的方程,再求出即可 【解析】 :因为(2,5)a ,( ,4)b ,/ /ab , 所以850,解得 8 5 故答案为: 8 5 【归纳总结】本题考查向量平行的坐标表示,涉及向量的坐标计算,属于基础题 14双曲线 22 1 45 xy 的右焦点到直线280 xy的距离为5 【思
24、路分析】求出双曲线的右焦点的坐标,利用点到直线的距离公式求解即可 第 10页(共 17页) 【解析】 :双曲线 22 1 45 xy 的右焦点(3,0), 所以右焦点到直线280 xy的距离为 22 |308| 5 12 d 故答案为:5 【归纳总结】本题考查双曲线的简单性质,点到直线的距离公式,是基础题 15 记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 面积为3,60B , 22 3acac, 则b 2 2 【思路分析】由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程,解方程可得 【解析】 :ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,60B , 22 3acac, 1
25、sin3 2 acB 22 13 3412 22 acacac, 又 222 cos 2 acb B ac 2 112 2 2 28 b b , (负值舍) 故答案为:2 2 【归纳总结】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用,属基础题 16以图为正视图,在图中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥 的三视图, 则所选侧视图和俯视图的编号依次为或 (写出符合要求的一组答案 即可) 【思路分析】通过观察已知条件正视图,确定该三棱锥的长和高,结合长、高、以及侧视图 视图中的实线、虚线来确定俯视图图形 【解析】 :观察正视图,推出三棱锥的长为 2 和高 1,图形的高也为 1,即可能为该三
26、棱锥的侧视图, 图形的长为 2,即可能为该三棱锥的俯视图, 当为侧视图时,结合侧视图中的直线,可以确定该三棱锥的俯视图为, 当为侧视图时,结合侧视图虚线,虚线所在的位置有立体图形的轮廓线,可以确定该三棱 锥的俯视图为 故答案为:或 【归纳总结】 该题考查了三棱锥的三视图, 需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系, 第 11页(共 17页) 以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中,需要较强空间想象,属于中等题 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考 题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考
27、题: 共 60 分。 17 (12 分)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有 无提高, 用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品, 得到各件产品该项指标数据如下: 旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7 新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y, 样本方差分别记为 2 1 s和 2 2 s (1)求x,y, 2 1 s, 2 2 s; (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果 22 12
28、 2 10 ss yx ,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不 认为有显著提高) 【思路分析】 (1)利用平均数和方差的计算公式进行计算即可; (2)比较yx与 22 12 2 10 ss 的大小,即可判断得到答案 【解析】:(1)由题中的数据可得, 1 (9.810.310.010.29.99.810.010.1 10.29.7)10 10 x , 1 (10.1 10.410.1 10.010.1 10.310.610.510.410.5)10.3 10 y , 2222222 1 1 (9.810)(10.310)(1010)(10.210)(9.910)(9.
29、810) 10 s 2222 (10 10)(10.1 10)(10.2 10)(9.710) 0.036; 222222 2 1 (10.1 10.3)(10.410.3)(10.1 10.3)(10.010.3)(10.1 10.3) 10 s 22222 (10.3 10.3)(10.6 10.3)(10.5 10.3)(10.4 10.3)(10.5 10.3) 0.04; 解法二: (安徽滁州刘家范补快速解) : 1 10( 0.20.300.20.10.200.10.20.3)10010 10 x , 1 10(0.10.40.100.10.30.60.50.40.5)100.31
30、0.3 10 y , (2)10.3 100.3yx, 22 12 0.0360.04 222 0.00760.174 1010 ss , 所以 22 12 2 10 ss yx , 故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高 【归纳总结】本题考查了样本特征数的计算,解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式, 第 12页(共 17页) 考查了运算能力,属于基础题 18 (12 分)如图,四棱锥PABCD的底面是矩形,PD 底面ABCD,M为BC的中点, 且PBAM (1)证明:平面PAM 平面PBD; (2)若1PDDC,求四棱锥PABCD的体积 【思路分析】 (1)通过线面垂线即可证明
31、;即只需证明AM 平面PBD (2) 根据PD 底面ABCD,可得PD即为四棱锥PABCD的高,利用体积公式计算即可 【解答】 (1)证明:PD 底面ABCD,AM 平面ABCD, PDAM, 又PBAM, PDPBP ,PB,PD 平面PBD AM平面PBD AM 平面PAM, 平面PAM 平面PBD; (2)解:由PD 底面ABCD, PD即为四棱锥PABCD的高,DPB是直角三角形; ABCD底面是矩形,1PDDC,M为BC的中点,且PBAM 设2ADBCa,取CP的中点为F因为点 E 是 CD 中点,连接MF,AF,EF,AE, 可得/ /MFPB,/ /EFDP, 那么AMMF且 1
32、 2 EF 2 1 4 4 AEa, 2 1AMa, 22 AFEFAE 那么AMF是直角三角形, DPB是直角三角形, 根据勾股定理: 2 24BPa,则 2 24 2 a MF ; 由AMF是直角三角形, 可得 222 AMMFAF, 解得 2 2 a 底面ABCD的面积2S , 第 13页(共 17页) 则四棱锥PABCD的体积 112 12 333 Vh S 解法二: (安徽滁州刘家范补解第二小题) : 由(1)知:AM 平面PBD又BD 平面PBD,AM BD 设AM BD=O,底面 ABCD 是矩形, AD/ /BC,易证:OADOMB,又 M 为中点, 2 1 AD MB OA
33、OM OD OB , 若设 BC=x,1DC 由,得 BM= 2 1 x,OB= 3 1 BD=1x 3 1 2 , OM= 3 1 AM=1 4 x 3 1 2 , OMB 中, 222 ODOBBD,即)(1x 9 1 2 +)(1 4 x 9 1 2 = 4 1 x 2 , 解得:x=2,底面ABCD的面积2S , 则四棱锥PABCD的体积 112 12 333 Vh S 【归纳总结】本题考查平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力与思维能力,体积计算, 考查运算求解能力,是中档题 19 (12 分)设 n a是首项为 1 的等比数列,数列 n b满足 3 n n na b ,已知 1 a
34、, 2 3a, 3 9a成 等差数列 (1)求 n a和 n b的通项公式; (2)记 n S和 n T分别为 n a和 n b的前n项和证明: 2 n n S T 【思路分析】 (1) 根据 1 a, 2 3a, 3 9a成等差数列, n a是首项为 1 的等比数列, 求出公比q, 进一步求出 n a和 n b的通项公式; (2)分别利用等比数列的前n项和公式和错位相减法,求出 n S和 n T,再利用作差法证明 2 n n S T 【解析】 : (1) 1 a, 2 3a, 3 9a成等差数列, 213 69aaa, n a是首项为 1 的等比数列,设其公比为q, 则 2 619qq ,
35、1 3 q, 第 14页(共 17页) 11 1 1 ( ) 3 nn n aa q , 1 ( ) 33 nn n na bn (2)证明:由(1)知 1 1 ( ) 3 n n a , 1 ( ) 3 n n bn, 1 1 1 1( ) 311 3 ( ) 1 223 1 3 n n n S , 12 111 1 ( )2( )( ) 333 n n Tn , 231 1111 1 ( )2( )( ) 3333 n n Tn , 得, 1 2111 1( ) ( ) 3233 nn n Tn , 1 3111 ( )( ) 4432 3 nn n n T , 11 3111311 (
36、)( )( )0 244323443 nnnn n Sn T , 2 n n S T 【归纳总结】本题考查了等差数列与等比数列的性质,等比数列的前n项和公式和利用错位 相减法求数列的前n项和,考查了方程思想和转化思想,属中档题 20 (12 分)已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点F到准线的距离为 2 (1)求C的方程; (2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足9PQQF ,求直线OQ斜率的最大值 【思路分析】 (1)根据焦点F到准线的距离为 2 求出p,进而得到抛物线方程, (2)设出点Q的坐标,按照向量关系得出P点坐标,再代入抛物线方程中,利用基本不等 式即可求出最值 【解答
37、】 (1)解:由题意知,2p , 2 4yx (2)解法一:由(1)知,抛物线 2 :4C yx,(1,0)F, 设点Q的坐标为( , )m n, 则(1,)QFmn , 9(99 , 9 )PQQFmn P点坐标为(109,10 )mn, 将点P代入C得 2 1004036nm, 整理得 22 10036259 4010 nn m , 2 10101 9 2593 25 nn K mn n n ,当3n 时取最大值 故答案为: 1 3 第 15页(共 17页) 解法二: (安徽滁州刘家范另解) : ) 2 10 259 nn K mn ,同乘以分母可得: 2 25910nKn(), 整理得
38、2 251090KnnK,当 K=0 时,n=0;当 K0 时,n 有根,0,解得: 0k 3 1 k 3 1 且,综上: 3 1 k 3 1 ,所以 k 的最大值为 1 3 故答案为: 1 3 【归纳总结】本题考查抛物线的性质,考察基本不等式求最值,属于中档题 21 (12 分)已知函数 32 ( )1f xxxax (1)讨论( )f x的单调性; (2)求曲线( )yf x过坐标原点的切线与曲线( )yf x的公共点的坐标 【思路分析】 (1) 对函数( )f x求导, 分 1 3 a及 1 3 a 讨论导函数与零的关系, 进而得出( )f x 的单调性情况; (2)先设出切点,表示出切
39、线方程,根据切线过原点,可求得切线方程,将切线方程与曲 线( )yf x联立,即可求得公共点坐标 【解析】 : (1) 2 ( )32fxxxa,412a, 当0,即 1 3 a时,由于( )fx的图象是开口向上的抛物线,故此时( ) 0fx,则( )f x在 R上单调递增; 当0,即 1 3 a 时,令( )0fx,解得 12 113113 , 33 aa xx , 令( )0fx,解得 1 xx或 2 xx,令( )0fx,解得 12 xxx, ( )f x在 1 (,)x, 2 (x,)单调递增,在 1 (x, 2) x单调递减; 综 上 , 当 1 3 a时 ,( )f x在R上 单
40、调 递 增 ; 当 1 3 a 时 ,( )f x在 113113 (,),(,) 33 aa 单调递增,在 113113 (,) 33 aa 单调递减 (2)设曲线( )yf x过坐标原点的切线为l,切点为 322 0000000 (,1),()32x xxaxfxxxa, 则切线方程为 322 000000 (1)(32)()yxxaxxxa xx, 将原点代入切线方程有, 32 00 210 xx ,解得 0 1x , 切线方程为(1)yax, 令 32 1(1)xxaxax ,即 32 10 xxx ,解得1x 或1x , 曲 线( )yf x过 坐 标 原 点 的 切 线 与 曲 线
41、( )yf x的 公 共 点 的 坐 标 为(1,1)a 和 ( 1,1)a 【归纳总结】 本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性, 考查分类讨论思想 及运算求解能力,属于中档题 (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的 第一题计分。选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分) 22 (10 分)在直角坐标系xOy中,C的圆心为(2,1)C,半径为 1 第 16页(共 17页) (1)写出C的一个参数方程; (2)过点(4,1)F作C的两条切线以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求这两条切线的极坐标方程 【思路分析】 (
42、1)求出C的标准方程,即可求得C的参数方程; (2)求出直角坐标系中的切线方程,再由cosx,siny即可求解这两条切线的极 坐标方程 【解析】 : (1)C的圆心为(2,1)C,半径为 1, 则C的标准方程为 22 (2)(1)1xy, C的一个参数方程为 2cos ( 1sin x y 为参数) (2)由题意可知两条切线方程斜率存在, 设切线方程为1(4)yk x ,即410kxyk , 圆心(2,1)C到切线的距离 2 |2141| 1 1 kk d k ,解得 3 3 k , 所以切线方程为 3 (4)1 3 yx , 因为cosx,siny, 所以这两条切线的极坐标方程为 3 sin
43、( cos4)1 3 【归纳总结】本题主要考查圆的参数方程,普通方程与极坐标方程的转化,考查运算求解能 力,属于基础题 选修 4-5:不等式选讲(10 分) 23已知函数( ) |3|f xxax (1)当1a 时,求不等式( ) 6f x 的解集; (2)若( )f xa ,求a的取值范围 【思路分析】 (1)将1a 代入( )f x中,根据( ) 6f x ,利用零点分段法解不等式即可; (2)利用绝对值三角不等式可得( )|3|f xa ,然后根据( )f xa ,得到|3|aa ,求 出a的取值范围 【解析】 : (1)当1a 时, 22,3 ( ) |1|3|4, 31 22,1 xx f xxxx xx , ( ) 6f x, 3 226 x x 或 31 46 x 或 1 22 6 x x , 4x或2x, 不等式的解集为(,42 ,) (2)( ) |3|3| |3|f xxaxxaxa, 若( )f xa ,则|3|aa , 两边平方可得 22 69aaa,解得 3 2 a , 第 17页(共 17页) 即a的取值范围是 3 ( 2 ,) 【归纳总结】本题主要考查绝对值不等式的解法,考查运算求解能力,属于基础题