1、高三数学试卷（文科）高三数学试卷（文科） 第第卷卷 一、选择题：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题自要求的 1设集合3, 2,0,1,2,3A ， 2 60Bx xx，则AB（） A0,1,2B2,0,1C3,2D2,3 2 10 1 3i （） A10 3 B 10 3 C10D10 3设向量3,2a ，,bm n ，若ab ，则（） A320nmB320mnC320nmD320mn 4双曲线 22 1mxy的渐近线方程为2yx ，则m（） A4B2C 1 2 D 1 4 5如图，根据已知的散点图，得到y关于x的线性回归方程为 0.2ybx，则 b （） A1.5B1.8
2、C2D1.6 6设，是两个不同的平面，a，b，c是三条不同的直线下列说法不正确的是（） A若/a b，/a c，则/b cB若a，b，则/a b C若ab，则/bD若，b，a，ab，则a 7抛物线 2 1 2 xy上一点4,Pm到焦点F的距离为（） A 33 8 B5C 257 8 D33 8已知a，b都是正实数，则“ 33 1 loglog b a ”是“ 1 3 3 b a ”的（） A充要条件B必要不充分条件 C充分不必要条件D既不充分也不必要条件 9执行如图所示的程序框图，输出的点都在函数（） A252yx的图象上B232yx的图象上 Ccos yx的图象上D2sin yx的图象上 1
3、0 在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c 已知3a ，15 cossinbAaB， 则ABC 面积的最大值是（） A 3 15 2 B 3 15 4 C 3 15 8 D 3 15 16 11早期的毕达哥拉斯学派学者注意到用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四 面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等已知正二十面体是由 20 个等边 三角形所组成的正多面体， 共有 12 个顶点， 30 条棱， 20 个面， 正二十面体的体积公式为 3 155 5 12 Va （其中a为棱长） ，已知一个正二十面体各棱长之和为30 3，则该正二十面体内切
4、球的半径为（） A 35 2 B 35 4 C 35 6 D 35 12 12已知函数 sin x f xex，若 3 log 11af， 4 log 3 2bf， 2 1 log 3 2 cf ，则a，b，c的 大小关系是（） AacbBbac CcbaDabc 第第卷卷 二、填空题：二、填空题： 13 3 2 log4 _ 14若实数x，y满足约束条件 0 7510 0 xy xy x ，则2zxy的最大值为_ 15黄金矩形的短边与长边的比值为黄金分割比 51 2 黄金矩形能够给画面带来美感，如图，在黄金矩 形画框ABCD中，设BAC，BCA，则tan_ 16 如图， 已知抛物线 2 1:
5、 8Cyx， 圆 22 2: 40Cxyx， 过圆心 2 C的直线l与抛物线和圆依次交于P， M，N，Q，则PMQN_ 三三、解答题解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤1721 题为必考题，每个试题考生都必须 作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题（一）必考题 17已知 n a是等差数列， 1 1a ， 8 50a （1）求 n a的通项公式； （2）求数列 22 n n a的前n项和 n S 18为了解中学生是否近视与性别的相关性，某研究机构分别调查了甲、乙、丙三个地区的 100 名中学生 是否近视的情况，得到三个2 2列联表如表所示 甲地区乙地区丙地
6、区 近视不近视合计 男212950 女193150 合计4060100 近视不近视合计 男252550 女153550 合计4060100 近视不近视合计 男232750 女173350 合计4060100 （1）分别估计甲、乙两地区的中学男生中男生近视的概率； （2）根据列联表的数据，在这三个地区中，中学生是否近视与性别关联性最强与最弱的地区分别是哪个地 区？ 附： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中nabcd 19如图，在三棱锥ABCD中，2BCBD，2 2ABCD，2 3AC ，ABBD （1）证明：平面ABC 平面ABD； （2）在侧面ACD内求作一点H，使得BH 平面
7、ACD，写出作法（无需证明） ，并求线段AH的长 20已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 2 5 5 ，且焦距为 8 （1）求C的方程； （2）设直线l的倾斜角为 3 ，且与C交于A，B两点，求AOB（O为坐标原点）面积的最大值 21已知函数 2 x xaxa f x e （1）当0a 时，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程； （2）若关于x的方程 2x f xe在0,上有解，求实数a的取值范围 （二）选考题：（二）选考题： 22选修 4-4：坐标系与参数方程 太极图被称为“中华第一图” 从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、 武
8、术到韩国国旗，太极图无不跃居其上这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因 而被称为“阴阳鱼太极图” 在如图所示的极坐标中，阴阳鱼图案中实线部分中的弧 AB， OB， OA所在 圆的圆心分别为0,0， 1, 2 ， 3 1, 2 ，曲线 1 M是弧 AB，曲线 2 M是弧 OB，曲线 3 M是弧 OA （1）分别写出 1 M， 2 M， 3 M的极坐标方程； （2）曲线M由 1 M， 2 M， 3 M构成，若点P在M上，且3OP ，求P的极坐标 23选修 4-5：不等式选讲 已知函数 2 f xxaxax （1）当0a 时，求不等式 2f x 的解集； （2）若1,x 时， 0f x
9、 ，求a的取值范围 参考答案参考答案 1D【解析】由题意可得2,3B ，则2,3AB 2D【解析】 10 1 3i10 1 3i 3B【解析】因为ab ，所以320a bmn 4A【解析】由题意可得 2 1 a m ， 2 1b ，则 2 2 4 b m a 5D 【解析】因为 12345 3 5 x ， 23578 5 5 y ， 所以 530.2b，解得 1.6b 6C 【解析】由平行公理知 A 对； 垂直于同一平面的两条直线平行，故 B 对； 若ab，a，则/b或b在平面内，故 C 错误； 由面面垂直性质定理知 D 对 7C 【解析】依题意可得 2 1 4 2 m，所以32m ， 则 1
10、257 32 288 p PFm 8A 【解析】由 33 1 loglog b a ，得ab，则ab ， 从而33 ab ，即 1 3 3 b a ； 由 1 3 3 b a ，得ab， 因为0a ，0b ，所以 11 0 ab ， 所以 33 11 loglog ab ，即 33 1 loglog b a 故“ 33 1 loglog b a ”是“ 1 3 3 b a ”的充要条件 9B 【解析】由程序框图知，第一次输出0,1，第二次输出1, 1， 第三次输出2, 1，第四次输出3,1， 经检验得，这些点都在函数232yx的图象上，选 B 10B 【解析】因为15 cossinbAaB，所
11、以15sincossinsinBAAB， 所以15cossinAA，即tan15A ， 则 15 sin 4 A ， 1 cos 4 A 由余弦定理可得 222 2cosabcbcA， 即 22 113 92 222 bcbcbcbcbc，则6bc ， 故ABC的面积 11153 15 sin6 2244 SbcA 11B 【解析】由题可知，正二十面体的棱长3a ， 设正二十面体内切球的半径为r， 所以 22 155 5 13 20 3412 ara ，解得 35 4 r 12D 【解析】由题意可得 cos x fxex， 当0 x 时，1 x e ，1cos1x ，则 0fx， 故 f x在
12、0,上单调递增 因为 33 log 11log 92， 42 log 3log3 223， 24 1 0log 3log 31 2 ， 所以abc 13 2 3 【解析】 3 22 12 log4log 4 33 1415 【解析】作出可行域（图略）知， 当直线2zxy经过点5,5A时，z取得最大值，且最大值为 15 15 1 2 【解析】由题意可得， 251 tan 251 ， 51 tan 2 ， 则 5151 1 22 tan 25151 1 22 164 【解析】由抛物线 2 1: 8Cyx，得焦点为2,0F 圆的标准方程为 2 2 24xy，所以圆心为2,0，半径2r 设 11 ,P
13、 x y， 22 ,Q xy， 设直线:2l xmy，将直线l代入抛物线方程可得 2 8160ymy， 即 12 16y y ， 2 12 12 4 64 y y x x ， 故 12 224PMQNPFQFx x 17解： （1）因为 1 1a ， 8 50a ，所以公差 50 1 7 8 1 d ， 则 n a的通项公式为1 7176 n ann （2）由（1）知2222 76 nn n an， 所以 12 2 1 2 1 76 22752 1 22 n n n nn Snn 18解： （1）甲地区的中学男生中男生近视的概率的估计值为 21 0.42 50 ， 乙地区的中学男生中男生近视的
14、概率的估计值为 25 0.5 50 （2） 2 2 10021 31 19 29 40 60 50 50 K 甲 ， 2 2 10025 35 15 25 40 60 50 50 K 乙 ， 2 2 10023 33 17 27 40 60 50 50 K 丙 ， 因为21 31 19 29100，25 35 15 25500，23 33 17 27300， 所以 222 KKK 乙丙甲， 故在这三个地区中，乙地区的中学生是否近视与性别关联性最强，甲地区的中学生是否近视与性别关联性 19 （1）证明：因为 2BCBD，2 2ABCD，2 3AC ， 所以 222 ABBCAC， 222 BDB
15、CCD， 则ABBC，BDBC 因为ABBDB，所以BC 平面ABD， 又BC 平面ABC，所以平面ABC 平面ABD （2）解： （作法）取CD的中点E，连接AE， 过B作BHAE，垂足H即为要求作的点 因为ABBD，ABBC，BCBDB， 所以AB 平面BCD，连接BE，则ABBE 由（1）知BDBC，则2BE ， 则 22 10AEABBE 由等面积法可得 22 242 10 51010 BH ， 故 22 4 10 5 AHABBH 20解： （1）依题意可知 2 2 222 2 5 1 5 28 b a c abc ，解得 2 2 20 4 a b 故C的方程为 22 1 204 x
16、y （2）依题意可设直线l的方程为3yxm， 联立 22 3 1 204 yxm xy ，整理得 22 1610 35200 xmxm， 则 22 30064 5200mm ，解得88m 设 11 ,A x y， 22 ,B xy，则 12 5 3 8 m xx ， 2 12 520 16 m x x ， 222 2 1212 755205320 1 342 6444 mmm ABxxx x ， 原点到直线l的距离 21 3 mm d ， 则AOB的面积 2 2 2 5325120 115320 222416 m mm SdAB ， 当且仅当 2 32m ，即4 2m 时，AOB的面积有最大值
17、，且最大值为2 5 21解： （1）当0a 时， 2 x x f x e ，则 1 1f e ， 2 2 x xx fx e ， 1 1f e ， 所以方程为 11 1yx ee ，即 1 yx e ， 所以曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为 1 yx e （2）由 2x f xe，可得 2 10 x exaxa 令 2 1 x g xexaxa，则 2 x gxexxa， 令 0gx，解得 1 2x ， 2 xa 当0a 时， 0gx在0,上恒成立， 所以函数 g x在0,上单调递增， 所以 min 01g xga，由10a ，解得1a ，所以01a 当0a 时，则0,a ， 显然在
18、0, a上， 0gx， g x单调递减； 在, a上， 0gx， g x单调递增 故函数 g x在xa 处取得最小值，且 min 1 a g xgaae， 因为0a ，所以10 a ae ，符合条件，故0a 综上，实数a的取值范围是,1 22解： （1）由题意得， 1 3 :2, 22 M ， 2 :2sin0, 2 M ， 3 3 :2sin, 2 M （2）解方程 2sin30, 2 ，得 3 ，此时P的极坐标为 3, 3 ； 解方程 3 2sin3, 2 ，得 4 3 ，此时P的极坐标为 4 3, 3 故P的极坐标为 3, 3 ， 4 3, 3 23解： （1）当0a 时，原不等式可化为 2 2xx，即 2 20 xx， 解得21x ， 所以11x ，即原不等式的解集为1,1 （2）当1a 时，因为1,x ， 所以由 0f x ，可得0 xax xa， 即10 xax，显然恒成立，所以1a 满足题意； 当1a 时， 1, 1 1 , xxaxa f x xaxxa ， 因为当1xa 时， 0f x 显然不能成立，所以1a 不满足题意 综上，a的取值范围是, 1
