1、1 1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.) (1)【答案】 1 ln dx xy 【解析】方法 1方法 1：方程 y xy两边取对数得lnlnln y xyyy,再两边求微分, 11 ln1 ln1 dxydydydx xxy ln10 xy . 方法 2：方法 2：把 y xy变形得 lnyy xe,然后两边求微分得 ln ln1 ln1 ln yyy d
2、xed yyyy dyxy dy, 由此可得 1 . 1 ln dydx xy (2)【答案】 3 2 1 1 3 xC 【解析】由( )arcsinxf x dxxC ,两边求导数有 2 2 11 ( )arcsin1 ( ) 1 xf xxxx f x x , 于是有 1 ( )dxf x 222 1 11 2 xx dxx dx 22 1 11 2 x dx 3 2 1 1 3 xC . (3)【答案】0 c a (或 2 0 axc),b任意 【解析】对 2 yaxbxc两边求导得 00 22yaxb,yxaxb, 所以过 00 x ,y的切线方程为 000 2yyaxbxx,即 2
3、0000 2yaxbxcaxbxx. 又题设知切线过原点0 0 ,把0 xy代入上式,得 22 0000 2axbxcaxbx , 即 2 0 axc. 2 由于系数0a ,所以,系数应满足的关系为0 c a (或 2 0 axc),b任意. (4)【答案】1 0 00 T , , , 【解析】 因为A是范德蒙行列式,由 ij aa知0 ij Aaa .根据解与系数矩阵 秩的关系,所以方程组 T A XB有唯一解. 根据克莱姆法则,对于 21 1 111 21 2 222 21 3 333 21 11 11 11 11 n n n n n nnn xaaa xaaa xaaa xaaa , 易
4、见 123 0 n DA ,DDD. 所以 T A XB的解为 123 10 n x,xxx,即1 0 00 T , , ,. 【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组 11 112211 21 122222 1 122 , , . nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 或简记为 1 1 2 n ijji j a xb ,i, ,n 其系数行列式 11121 21222 12 0 n n nnnn aaa aaa D aaa , 则方程组有唯一解 1 2 j j D x,j, ,n. D 其中 j D是用常数项 12n b ,b ,b替
5、换D中第j列所成的行列式,即 3 11111111 21212212 111 ,j,jn ,j,jn j nn,jnn,jnn aabaa aabaa D aabaa . (5)【答案】(4.412,5.588) 【解析】可以用两种方法求解： (1)已知方差 22 0.9,对正态总体的数学期望进行估计,可根据 因 2 ( ,0.9 )XN,设有n个样本,样本均值 1 1 n i i XX n , 有 2 0.9 ( ,)XN n ,将其标准化,由公式 () (0,1) () XE X N D X n 得： ) 1 , 0( 1 N n X 由正态分布分为点的定义 2 1 1 X Pu n 可确
6、定临界值 2 u, 进而确定相应的置信区间 22 (,)xuxu nn . (2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值的置信区间问题. 由教材上已经求出的置信区间 22 ,xuxu nn , 其中 2 1,(0,1)P UuUN ,可以直接得出答案. 方法 1：方法 1： 由题设,95. 01,可见.05. 0查标准正态分布表知分位点.96. 1 2 u本 题9n ,5X , 因此,根据95. 096. 1 1 n X P ,有 5 1.960.95 1 9 P ,即4.4125.5880.95P, 4 1 x y O 1 2 1 2 故的置信度为 0.95 的置信区间是(4.412,
7、5.588). 方法 2：方法 2：由题设,95. 01, 22222 2 () 10.95,()0.975P UuPuUuuu 查得.96. 1 2 u 2 0.9,9n ,5X 代入 22 (,)xuxu nn 得置信区间(4.412,5.588). 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D) 【解析】方法 1方法 1：
8、由题设知,积分区域在极坐标系cos ,sinxryr中是 ,|0,0cos, 2 Drr 即是由 2 2 11 24 xy 与x轴在第一象限所围成的 平面图形,如右图. 由于D的最左边点的横坐标是0,最右点的横坐标是 1, 下边界方程是0y,上边界的方程是 2 yxx,从而D 的直角坐标表示是 2 01 0Dx,y |x,yxx, 故(D)正确. 方法方法 2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为 1 ,|0,0sin, 2 Drr 而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分, (C)中的积分区域是正方形01 01x,y |x,y, 所以,他们都是不正确的.故应选(D
9、). (2)【答案】(A) 【解析】由于级数 2 1 n n u 和 2 1 n n v 都收敛,可见级数 22 1 nn n uv 收敛.由不等式 22 2 nnnn u vuv 5 及比较判别法知级数 1 2 nn n u v 收敛,从而 1 2 nn n u v 收敛. 又因为 2 22 2 nnnnnn uvuvu v ,即级数 2 1 nn n uv 收敛,故应选(A). 设 2 1 11 2 nn u,vn, , n ,可知(B)不正确. 设 2 11 1 2 n un, , nn ,可知(C)不正确. 设 1 11 1 2 n nn u,vn, , nn ,可知(D)不正确. 注
10、：注：在本题中命题(D)“若级数 1 n n u 收敛,且(1,2,) nn uv n,则级数 1 n n v 也收敛.” 不正确,这表明： 比较判别法适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别,但对任意项级数 一般是不适用的.这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别. (3)【答案】(C) 【解析】伴随矩阵的基本关系式为AAA AA E , 现将A视为关系式中的矩阵A,则有()AAA E . 方法一方法一：由 1n AA 及 1 () A A A ,可得 12 1 ()(). nnA AAAAAA A 故应选(C). 方法二方法二：由()AAA E ,左乘A得 1 ()() n A
11、AAAA ,即 1 ()() n A EAAA . 故应选(C). (4)【答案】(D) 【解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解.若向量组 12 , s 线性 无关,即若 1 122 0 ss xxx,必有 12 0,0,0 s xxx. 既然 1, , m 与 1, , m kk不全为零,由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B)、 (C). 一般情况下,对于 112211 0, ssss kkkll 6 不能保证必有 1122 0, ss kkk及 11 0, ss ll故(A)不正确.由已知条件, 有 111111 0 mmmmmm kk , 又 1, , m 与 1, ,
12、 m kk不全为零,故 1111 , mmmm 线性相关. 故选(D). (5)【答案】(B) 【解析】依题意 12 121212 )( ,. ( )( )( )( )( ) PAABP ABP A BP ABA BP ABP A B P BP BP BP BP B 因( )0P B ,故有 1212 )(P ABA BP ABP A B.因此应选(B). 注注：有些考生错误地选择(D).他们认为(D)是全概率公式,对任何事件B都成立,但是忽略了 全概率公式中要求作为条件的事件 12 ,A A应满足 12 ()0, ()0P AP A,且 12 ,A A是对立事 件. 【相关知识点】条件概率公
13、式： () (|) ( ) P AB P B A P A . 三、(本题满分 6 分)三、(本题满分 6 分) 【解析】(1) 由于( )g x有二阶连续导数,故当0 x 时,( )f x也具有二阶连续导数,此 时,( )fx可直接计算,且( )fx连续；当0 x 时,需用导数的定义求(0) f . 当0 x 时, 22 ( )( )( )( )(1) ( ). xxx x g xeg xexg xg xxe fx xx 当0 x 时,由导数定义及洛必达法则,有 2 000 ( )( )( )(0) 1 (0)limlimlim 222 xxx xxx g xeg xegxeg f xx 洛洛
14、. 所以 2 ( )( )(1) ,0, ( ) (0) 1, 0. 2 x xg xg xxe x x fx g x (2)( )fx在0 x 点的连续性要用定义来判定.因为在0 x 处,有 2 00 ( )( )(1) lim( )lim x xx xg xg xxe fx x 7 0 ( )( )( )(1) lim 2 xx x g xxgxg xexe x 0 ( )(0) 1 lim(0) 22 x x gxeg f . 而( )fx在0 x 处是连续函数,所以( )fx在(,) 上为连续函数. 四、(本题满分 6 分)四、(本题满分 6 分) 【解析】由( )zf u可得( ),
15、( ) zuzu f uf u xxyy . 在方程( )( ) x y uup t dt两边分别对, x y求偏导数,得 ( )( ),( )( ). uuuu up xup y xxyy 所以 ( )( ) , 1( )1( ) up xup y xuyu . 于是 ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )0 1( )1( ) zzp x p yp x p y p yp xf u xyuu . 五、(本题满分 6 分)五、(本题满分 6 分) 【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘,应该用分部积分法. 【解析】方法 1:方法 1:因为 2 1 (1)111 x x
16、xxx xexdx dxxd eeee 分部积分 1 (1) 1111 ln(1), 1 x x xxxx x x xex dxde eeee x eC e 所以 2 0 limln(1)ln2. (1)1 xx x xx x xexe dxe ee 而limln(1)limln(1) 11 xx xxx xx xx xexe eee ee limln(1) 1 x x x x xe xe e 8 lim00 1 x x x e , 故原式ln2. 方法 2:方法 2: 22 000 1 (1)(1)1 xx xxx xexe dxdxxd eee 000 0 00 1111 1 (1)ln(
17、1)ln2. 1 x xxxx xx x xdxdxe dx eeee dee e 六、(本题满分 5 分)六、(本题满分 5 分) 【分析】由结论可知,若令( )( )xxf x,则( )( )( )xf xxfx.因此,只需证明( )x在 0,1内某一区间上满足罗尔定理的条件. 【解析】令( )( )xxf x,由积分中值定理可知,存在 1 (0, ) 2 ,使 11 22 00 1 ( )( )( ) 2 xf x dxx dx , 由已知条件,有 1 2 0 1 (1)2( )2( )( ), 2 fxf x dx 于是 (1)(1)( ),f 且( )x在( ,1)上可导,故由罗尔定
18、理可知,存在( ,1)(0,1),使得 ( )0, 即( )( )0.ff 【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数( )f x在积分区间 , a b上连续,则在 , a b上至 少存在一个点,使下式成立： ( )( )() b a f x dxfbaab . 这个公式叫做积分中值公式. 2.罗尔定理：如果函数( )f x满足 (1)在闭区间 , a b上连续； (2)在开区间a,b内可导； 9 (3)在区间端点处的函数值相等,即( )( )f af b, 那么在a,b内至少有一点(ab),使得 0f. 七、(本题满分 6 分)七、(本题满分 6 分) 【分析】利用函数的单调性的判定,如果在x
19、的某个区间上导函数 0fx,则函数 f x 单调递增,反之递减. 【解析】(1)设售出商品的销售额为R,则 2 2 (),( ). abc pba RpQpc R p pb pb 令0,R 得 0 ()0 abb pbabc cc . 当0() b pabc c 时,0R ,所以随单价p的增加,相应销售额R也将增加. 当() b pabc c 时,有0R,所以随单价p的增加,相应销售额R将减少. (2)由(1)可知,当() b pabc c 时,销售额R取得最大值,最大销售额为 2 max () aba Rbcabc cab c . 八、(本题满分 6 分)八、(本题满分 6 分) 【解析】令
20、 y z x ,则 dydz zx dxdx . 当0 x 时,原方程化为 2 1 dz zxzz dx ,即 2 1 dzdx x z ,其通解为 2 1 ln(1)lnzzxC 或 2 C 1zz x . 代回原变量,得通解 22 (0)yxyC x. 当0 x 时,原方程的解与0 x 时相同,理由如下: 令tx ,于是0t ,而且 222222 yxyyxyytydydy dxdy dtdx dtdxxxt . 10 从而有通解 22 (0)ytyC t,即 22 (0)yxyC x. 综合得,方程的通解为 22 yxyC. 注：注：由于未给定自变量x的取值范围,因而在本题求解过程中,引
21、入新未知函数 y z x 后得 222 1xyxz, 从而,应当分别对0 x 和0 x 求解,在类似的问题中,这一点应当牢记. 九、(本题满分 8 分)九、(本题满分 8 分) 【分析】本题的(1)是考查特征值的基本概念,而(2)是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题 转化成二次型求标准形的问题,用二次型的理论与方法来处理矩阵中的问题. 【解析】(1)因为3是A的特征值,故 3100 130031 31 38(2)0, 00311311 0011 y EAy y 所以2y . (2)由于 T AA,要 2 () () TT APAPP A P ,而 2 1000 0100 0054 0045 A
22、是对称矩阵,故可构造二次型 2T x A x,将其化为标准形 T yy.即有 2 A与合同.亦即 2T P A P . 方法一：方法一：配方法. 由于 22222 123434 558 T x A xxxxxx x 222222 12334444 2222 12344 81616 5()5 5255 49 5(), 55 xxxx xxxx xxxxx 那么,令 112233444 4 , 5 yx yxyxxyx即经坐标变换 11 11 22 33 44 1000 0100 , 4 001 5 0001 xy xy xy xy 有 22222 1234 9 5 5 T x A xyyyy.
23、所以,取 1000 0100 4 001 5 0001 P , ,有 2 1 1 () () 5 9 5 TT APAPP A P . 方法二：方法二：正交变换法. 二次型 22222 123434 558 T x A xxxxxx x对应的矩阵为 2 1000 0100 0054 0045 A , 其特征多项式 23 1000 0100 (1) (9) 0054 0045 EA . 2 A的特征值 1234 1,1,1,9.由 2 1 ()0EAx,即 1 2 3 4 00000 00000 00440 00440 x x x x , 和 2 4 ()0EAx,即 1 2 3 4 80000
24、 08000 00440 00440 x x x x , 分别求得对应 1,2,3 1的线性无关特征向量 12 123 (1,0,0,0) ,(0,1,0,0) ,(0,0,1, 1) TTT , 和 4 9的特征向量 4 (0,0,1,1)T. 对 123 , 用施密特正交化方法得 123 , ,再将 4 单位化为 4 ,其中： 1234 1111 (1,0,0,0) ,(0,1,0,0) ,(0,0,) ,(0,0,) 2222 TTTT . 取正交矩阵 1234 11 1000 0100 00 00 , 22 11 22 P , 则 122 1 1 1 9 T P A PP A P ,
25、即 2 1 1 () () 1 9 TT APAPP A P . 十、(本题满分 8 分)十、(本题满分 8 分) 【解析】证法 1：证法 1： (定义法)若有一组数 12 , t k k kk使得 1122 ()()()0, tt kkkk(1) 则因 12 , t 是0AX 的解,知0(1,2, ) i Ait,用A左乘上式的两边,有 12 ()0 t kkkk A.(2) 由于0A,故 12 0 t kkkk. 对(1)重新分组为 121122 ()0 ttt kkkkkkk.(3) 把(2)代入(3)得 1122 0 tt kkk. 由于 12 , t 是基础解系,它们线性无关,故必有
26、 12 0,0,0 t kkk. 13 代入(2)式得:0k . 因此向量组 12 , t 线性无关. 证法 2：证法 2： (用秩)经初等变换向量组的秩不变.把第一列的-1 倍分别加至其余各列,有 1212 ,. tt 因此 1212 ,. tt rr 由于 12 , t 是基础解系,它们是线性无关的,秩 12 , t rt ,又必不能 由 12 , t 线性表出(否则0A),故 12 ,1 t rt . 所以 12 ,1. t rt 即向量组 12 , t 线性无关. 十一、(本题满分 7 分)十一、(本题满分 7 分) 【解析】设一周 5 个工作日内发生故障的天数为X,则X服从二项分布即
27、(5,0.2)B. 由二项分布的概率计算公式,有 5 00.80.32768,P X 14 5 10.80.20.4096,P XC 232 5 20.80.20.2048,P XC 310120.05792.P XP XP XP X 设一周内所获利润Y(万元),则Y是X的函数,且 10,0, 5,1, () 0,2, 2,3. X X Yf X X X 若 若 若 若 由离散型随机变量数学期望计算公式, 10 0.327685 0.40962 0.057925.20896EY (万元). 【相关知识点】1.二项分布的概率计算公式： 若( , )YB n p,则(1) kkn k n P Yk
28、C pp ,0,1,kn. 2.离散型随机变量数学期望计算公式： 1 () n kk k E XxP Xx . 14 十二、(本题满分 6 分)十二、(本题满分 6 分) 【解析】一枚色子(骰子)接连掷两次,其样本空间中样本点总数为 36. 设事件 1 A “方程有实根” , 2 A “方程有重根” ,则 2 2 1 40 4 B ABCC . 用列举法求有利于 i A的样本点个数(1,2i ),具体做法见下表: 有利于的意思就是使不等式 2 4 B C 尽可能的成立,则需要B越大越好,C越小越好. 当B取遍 1,2,3,4,5,6 时,统计C可能出现的点数有多少种. B123456 有利于
29、1 A的样本点数012466 有利于 2 A的样本点数010100 由古典型概率计算公式得到 1 1246619 (), 3636 pP A 2 1 11 (). 3618 qP A 【相关知识点】古典型概率计算公式：(). i i A P A 有利于事件 的样本点数 样本空间的总数 十三、(本题满分 6 分)十三、(本题满分 6 分) 【解析】依题意, 12 , n XXX独立同分布,可见 222 12 , n XXX也独立同分布.由 (1,2,3,4) k k EXa k及方差计算公式,有 224222 242 222 242 2 11 ,(), 111 ,(). iiii nn nini
30、 ii EXaDXEXEXaa EZEXaDZDXaa nnn 因此,根据中心极限定理 2 2 42 () n n Za U aa n 的极限分布是标准正态分布,即当n充分大时, n Z近似服从参数为 2 42 2 (,) aa a n 的正态分 布. 【相关知识点】1.列维-林德伯格中心极限定理,又称独立同分布的中心极限定理： 设随机变量 12 , n XXX独立同分布,方差存在,记与 2 0 分别是它们 15 相同的期望和方差,则对任意实数x,恒有 1 1 lim()( ), n i n i PXnxx n 其中( ) x是标准正态分布函数. 2.方差计算公式： 22 ()()()D XE XEX.
