1、第十一讲：函数的奇偶性和周期性（共 2 课时） 【学习目标学习目标】 1. 会判断函数的奇偶性及根据奇偶性求参数； 2. 掌握单调性与奇偶性的综合问题； 3. 了解周期函数的定义。 【重点、难点重点、难点】 重点：函数的奇偶性与周期性判定； 难点：函数的奇偶性与周期性的应用。 【知识梳理知识梳理】 1 1、函数的奇偶性、函数的奇偶性 若对定义域内的一个x，都有则称( )f x为奇函数。 若对定义域内的一个x，都有则称( )f x为偶函数。 判断函数奇偶性的前提条件是： 2 2、奇偶函数的性质、奇偶函数的性质 (1)如果一个奇函数( )f x在=0 x处有定义，那么(0)=f (2)在公共定义域
2、内：两个奇函数之和、差为函数，两个偶函数的和、差为函数； 两个奇函数之积、商是函数，两个偶函数的积、商是函数； 一个奇函数与一个偶函数之积、商是函数； (3)奇函数的图象关于对称；偶函数的图象关于对称。 (4)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性， 偶函数在关于原点对称的区间上的 单调性(填“相同” 、 “相反”) 3 3、函数的周期性、函数的周期性 （1）周期函数 对于函数( )f x的定义域内的每一个x，都存在一个非零常数T，使得恒成立， 则称函数( )f x具有周期性，T叫做( )f x的一个周期。 （2）最小正周期 如果在周期函数 xf的所有周期中存在一个_，那么这个_就叫做 xf的最
3、小正周期。 【课前小测】 1. 下列函数为偶函数的是() sinAyx、 3 Byx、 x eyC、lnDyx、 2.设 xf为定义在上 R 的奇函数，当0 x时， xxf1log3，则2f 3 .1 .3.1.DCBA 3下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（） A2xy B sinyx C 2 logyxD |yx x 4. 若函数 xx xf 33与 xx xg 33的定义域均为 R，则（） A、 xgxf与均为偶函数B、 xf为奇函数， xg为偶函数 B、 xgxf与均为奇函数D、 xf为偶函数， xg为奇函数 5. 已 知 xf是 R 上 的 奇 函 数 ， 且 xfxf
4、 4， 当2 , 0 x时 ， 2 xxf， 则 7f A、3B、-3C、1D、-1 【典题分析典题分析】 题型题型 1 1：判断函数的奇偶性：判断函数的奇偶性 例例 1 1：判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性 2 1 (1) ( ) 22 1,(0) (2) ( ) 1,(0) x f x x xx f x xx 点评：奇、偶函数的判定方法 1定义法：先看函数( )f x的定义域是否关于原点对称（注意化简函数解析式） ，再计算是否 ()( )()( )fxf xfxf x 或成立。 图象法：( )f x为偶函数( )f x的图象关于y轴对称；( )f x为奇函数( )f x的图象关于
5、 原点对称。 【变式迁移】 1、判断函数 2 ( )1 21 x f x 的奇偶性： 题型题型 2 2：函数奇偶性的应用：函数奇偶性的应用 例 2、设函数 xf为偶函数，当, 0 x时， xxf 2 log，则2f A、 2 1 B、 2 1 C、2D、2 点评：利用奇偶性将所求值转化为已知区间上的函数值。 【变式迁移】 函数 xfy 是 R 上的奇函数，当0 x时， x xf2，则 _0 f，函数 xf的解析式 为_ 题型题型 3 3：函数的周期性及其应用：函数的周期性及其应用 例 3、已知定义在 R 上的函数 xf满足 2xfxf，当2 , 0 x时， xxf x 2 log2 ， 则20
6、19f A、5B、 2 1 C、2D、2 点评：利用周期性将所求值转化为已知区间上的函数值。 【变式迁移】 设 xf是定义在 R 上的周期为 3 的函数，当1 , 2x时， , 10 , 02, 24 2 xx xx xf，则 _ 4 21 ff 【课堂小结课堂小结】本节课你收获什么？ 【课后作业课后作业】 1、下列函数为奇函数的是() A.sinyxB.|yx C.yxx D.ln x y x 2、下列函数中，既是偶函数又在区间0,（）上单调递增的函数为（） A 1 yxB 2 logyx C|yxD 2 yx 41 3( )() 2 . . x x f x AByx CxDy 、函数的图象
7、 关于原点对称关于直线对称 关于 轴对称关于 轴对称 4、若 xf是 R 上的周期为 5 的奇函数，且满足 , 22, 11ff则 43ff=（） A、1B、1C、2D、2 5、设偶函数 xf的定义域为R，当 , 0 x时， xf是增函数，则 3,2fff的大 小关系是 （） A、 23fffB、 32fff C、 23fffD、 32fff 6、若函数 babxaxxf3 2 是偶函数，定义域为aa2 , 1，则_,ba 7、设 xf是R上的偶函数，且当2 , 0 x时， 1 2 xxf，则当0 , 2x时， _xf 8、已知 xf是定义在 R 上的函数，且满足 xf xf 1 2，当32 x时， xxf，则 _ 2 11 f 9、 xf为R上的奇函数，当0 x时， 132 2 xxxf，求 xf的解析式。
