1、第 37 讲等差数列及其前n和（一）（共（共 2 课时）课时） 【学习目标】【学习目标】 1.能够根据等差数列的概念判断数列是否为等差数列。 2.会熟练利用等差数列的通项公式、前n项和公式及其相关性质求解。 【知识梳理】【知识梳理】 1、等差数列的概念、等差数列的概念 （1）定义：如果一个数列从起，每一项与它的前一项的都等于同一个常数，那么这 个数列叫做等差数列，首项记作 1 a，公差记作d (2)表示形式： * 1121( ) nnnnnn aadaaaanN ； 12 2 nnn aaa 如果三数如果三数,a A b成等差数列，则成等差数列，则A叫做叫做ab和的的, ,A 2 2、通项公式
2、、通项公式 对于等差数列, nn aa则 m a 3、前、前n项和公式项和公式 1 () .: 2 n n n aa S 推导方法 4 4、等差数列、等差数列 n ad，公差为的常用性质 （1）若, mn mnpqaa则特别地，当2,mnp时 * 2 (2),( , kkmkm aaak mNmd .)是公差为的等差数列； *2 23243 (3),(; mmmmmmm SSSSSSSmNm d，.)也是等差数列，公差为 21 21 (4),; nn nnnn nn aS abnST bT 若均为等差数列且其前 项和为，则 1 (5); 2 n n Sd aa n 若是等差数列，则也是等差数列
3、，首项为，公差为 【典例分析】【典例分析】 题型题型 1：等差数列中的基本量计算：等差数列中的基本量计算 例 1：设等差数列 310 5,9 n aaa 满足 (1) (2) n nnn a anSSn 求的通项公式； 求的前 项和及使得最大的序号的值。 点评：（1）等差数列中含有五个量: 1, , n ad a, n n S，知道其中三个就可以求出另外两个。 具体求解时要注意：方程思想的运用；等差数列性质的运用。 （2）等差数列前n项和的最大值和最小值的求法： 函数的观点，利用二次函数的最值求解；不等式观点，通过不等式求解。 【题组训练】 45 22 1.0,5, .25.310.28.4
4、nn nnnn SaSa A anB anC SnnD Snn 多选 记为等差数列的前n项和，已知则（） 32415 2.+,2, . 12. 10.10.12 nn SaSSS aa ABCD 记为等差数列的前n项和，若3则（） 3.在等差数列 n a中，8 32 aa，前 7 项和49 7 S，则数列 n a的公差等于（） 5 6 . 3 20 .2 .1 .DCBA 1 4. , .23.32.35.38 n aa ABCD 中国古代数学名著算法统宗有以下问题“一个公公九个儿，若问生年总不知 自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”。在这个 问题中，记这位公公的第
5、n个儿子的年龄为则（） 5.在张丘建算经有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一 尺，计织三十日，问共织布几何？”（） A.30 尺B.60 尺C.90 尺D.120 尺 6.设等差数列 n a的前 n 项和为 n S，若数列 n a是单调递增数列，且满足9, 6 35 Sa，则 6 a的取值范 围是（） 7 , 3.7 , 3.6 , 3.6 , 3.DCBA 357 * 2 .7,26, 1 (1);(2)(), 1 nnn nnnnn n aaaaanS aSbnNbnT a 7 已知等差数列满足的前 项和为 求及令求数列的前 项和 题型 2：等差数列的
6、判定与证明 例 2.已知数列an的前n项和为Sn，a12，且满足an1Sn2 n1(nN N*) （1）证明：数列 2 S n n 为等差数列；(2)求S1S2Sn的值 点评点评：等差数列的判定方法有以下四种： （1）定义法： * 1 () nn aadnN 常数)( n a为等差数列 （2）等差中项法： * 12 2() nnn aaanN n a为等差数列 （3）通项公式法：( , n aanb a b是常数) * nN n a为等差数列 （4）前n项和公式法： 2 n Sanbn( ,a b为常数） n a为等差数列 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法 【题组训练】 1、已知数列 n a满足 n nn aaa22, 1 11 .证明：数列 n n a 2 是等差数列，并求出 n a的通项 公式； 2.已知数列 n a满足 2 1 ), 2( 4 4, 4 1 1 n n n n a bNnn a aa，设 （1）求证：数列 n b是等差数列； （2）求数列 n a的通项公式. 12211 .=1=222, 1 2. nnnnnnn n n aaaaaabaa b a 3 数列满足，设 （ ）求证：是等差数列 （ ）求的通项公式
