1、a b ab AB C 三角形法则 a b ab AB CD 平行四边形法则 a b ab A B 三角形法则 O 第二十九讲：平面向量的概念及其运算（共 1 课时） 【学习目标】 1.了解向量的实际背景，理解向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。 2.掌握向量的加、减法的运算，并理解其几何意义。 3.掌握向量的数乘运算，并理解其几何意义以及两个向量共线（平行）的意义。 【重点、难点】 重点：平面向量基本概念与线性运算。 难点：共线向量概念及数乘运算。 【知识梳理】 1、向量的概念 （1）向量的定义：既有又有的量叫做向量。 （2）两个特殊向量 的向量叫做零向量，记作0 。的向量叫做单位向量
2、。 （3）平行向量（或共线向量） 的向量叫做平行向量，因为任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以 平行向量也叫做向量。 规定0 与任一向量平行。 向量a 与非零向量b 平行（共线）的充要条件是：。 （4）相等向量：且的向量叫做相等向量。 （5）相反向量：且的向量叫做相反向量。 2、向量的表示法 （1）几何表示法：用表示，如AB . （2）字母表示法：用表示，如a ，b ，c 等。 3、向量的线性运算 向量的加法: 定义：求两个向量和的运算 运算法则（几何意义） ： 向量的减法： 定义：向量a 加上向量b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即()abab 。求两个向量差的运算叫做 向量的减法。
3、 运算法则（几何意义） ： 向量的数乘 定义：实数与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a 。 运算法则（几何意义） ：a 的长度和方向规定如下： （1）|a ； （2）当0时，a 与a 的方向； 当0时，a 与a 的方向； 当0时，a ； 运算律 , ,a b c 为任意向量， 12 , , 为实数。 ab ；()abc ()a ；()a ()ab ； 12 ()ab 【典题分析】 题型 1：向量的概念 例 1下面的命题正确的有（）.(多选题) A方向相反的两个非零向量一定共线 B单位向量都相等 C若a ，b 满足ab 且a 与b 同向，则a b D“若A、B、C、D是不共线
4、的四点，且ABDC ”“四边形ABCD是平行四边形” 方法：准确辨别向量的基本概念； 【变式迁移】 1判断下列命题： 两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同； 若 /a b r r ，则a 与b 的方向相同或相反； 若 /a b r r 且 /b c ，则 /a c ； 若ab ，则2a b 其中正确的命题个数为（） A0 B1 C2 D3 2下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（） 任一向量与它的相反向量都不相等； 长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； 平行且模相等的两个向量是相等向量； 若a b ，则| |ab ； 两个向量相等，则它们的起点与终点相同 A0 B1 C2
5、D3 题型 2：向量的线性运算 例 2 在ABC中，,D E分别为,BC AC边上的中点，G为BE上的一点，且2GBGE，设ABa ， ACb ，试用, a b 表示,AD AG . 方法：未知向量由已知向量来表示，要注意寻找未知向量与已知向量的联系，一般要利用到平行四边形法 则、三角形法则、平行（共线）向量的性质。 【变式迁移】 1、如图，平行四边形ABCD中，,E F分别是BC、DC的中点，G为,DE BF的交点，若ABa , ADb ，试以, a b 表示,DE BF CG 。 2 （2014 新课标 I，文 6）设FED,分别为ABC的三边ABCABC,的中点，则 FCEB （） A.
6、BCB 1 2 AD CADD 1 2 BC 3设 D 为ABC 所在平面内一点3BCCD ，则（） （A） 14 33 ADABAC (B) 14 33 ADABAC （C） 41 33 ADABAC (D) 41 33 ADABAC 4在ABC中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，AD、BE 、CF交于点G，则： 11 22 EFCABC ； 11 22 BEABBC ；AD BEFC ； 0GAGBGC 上述结论中，正确的是（） AB CD 5如图，在平行四边形 ABCD 中，下列计算错误的是（） AAB ADAC BAC CDDOOA CAB ACCDAC D 0ACBADA
7、6已知ABC和点M满足 0MAMBMC .若存在实数m使得()AMm ABAC 成立，则m （） A1B 1 2 C 1 3 D 1 4 题型 3：三点共线问题 例 3 设两个非零向量a 与b 不共线. （1）若ABab ,28BCab ,3()CDab 求证：A、B、D三点共线； （2）试确定实数k，使kab 和akb 共线. 方法：三点共线问题可转化为证明两向量平行，再说明两个向量由公共点，从而可得三点共线。 【变式迁移】 1已知向量 1 e ， 2 e 是两个不共线的向量，若 12 2aee 与 12 bee 共线，则（） A2 B-2C 1 2 D 1 2 2设 12 ,e e 是平面
8、内两个不共线的向量， 1212 (1),2 ABaee ACbee（a0，b0） ，若 A，B，C 三点共线，则 12 ab 的最小值是（） A2B4C6 D8 3如图，在ABC中， 3 2 ACBC，点M，N分别在AC，BC上，且 1 3 AMAC， 1 2 BNBC.若BM与AN相交于点P，则 CP AB 的取值范围是_. 题型 4：向量的综合问题 例 4 如图，在ABC中， 1 3 ANNC ，P是BN上的一点，若 2 11 APmABAC ，则实数m 【变式迁移】 1如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M， N，若 3 5 ABAM ，AC mAN ，则m的值为_ 2如图在ABC中， 1 4 OCOA uuu ruur ， 1 2 ODOB uuu ruuu r ，AD与BC交于M点设OA a ，OB b （1）用a ，b 表示OM ； （2）已知线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M设 OEpOA， OFqOB，则 13 pq 是否为定值， 如果是定值，求出这个定值
